2019届二轮复习（理）专题53排列与组合学案（全国通用）

1.理解排列、组合的概念；

2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式；

3.能解决简单的实际问题.

1．排列与组合的概念

2.排列数与组合数

(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数．

(2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．

3．排列数、组合数的公式及性质

高频考点一　 排列问题

【例1】 (1)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有(　　)

A.192种  B.216种

C.240种   D.288种

(2)把5件不同产品摆成一排.若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有        种.

(2)记其余两种产品为D，E，A，B相邻视为一个元素，先与D，E排列，有AA种方法；再将C插入，仅有3个空位可选，共有AAC＝2×6×3＝36种不同的摆法.

答案　(1)B　(2)36

【方法规律】(1)第(1)题求解的关键是按特殊元素甲、乙的位置进行分类.注意特殊元素(位置)的优先原则，即先排有限制条件的元素或有限制条件的位置.对于分类过多的问题，可利用间接法.

(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法等常用的解题方法.

【变式探究】 (1) 7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法种数为(　　)

A.120   B.240   C.360   D.480

(2)某班准备从甲、乙等七人中选派四人发言，要求甲乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有(　　)

A.30   B.600   C.720   D.840

解析　(1)第一步，从甲、乙、丙三人选一个加到前排，有3种，第二步，前排3人形成了4个空，任选一个空加一人，有4种，第三步，后排4人形成了5个空，任选一个空加一人有5种，此时形成6个空，任选一个空加一人，有6种，根据分步计数原理有3×4×5×6＝360种方法.

(2)若只有甲乙其中一人参加，有CCA＝480种方法；若甲乙两人都参加，有CCA＝240种方法，则共有480＋240＝720种方法，故选C.

答案　(1)C　(2)C

高频考点二　组合问题

【例2】某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.

(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？

(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？

(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？

(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？

(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？

(4)选取2种假货有CC种，选取3件假货有C种，共有选取方式CC＋C＝2 100＋455＝2 555种.

∴至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种.

(5)选取3件的总数为C，因此共有选取方式

C－C＝6 545－455＝6 090种.

∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.

【方法规律】组合问题常有以下两类题型变化：

(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型；“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.

(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.

【变式探究】 (1)现有6个不同的白球，4个不同的黑球，任取4个球，则至少有两个黑球的取法种数是(　　)

A.90   B.115   C.210   D.385

(2)若从1，2，3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有(　　)

A.60种   B.63种   C.65种   D.66种

解析　(1)分三类，取2个黑球有CC＝90种，取3个黑球有CC＝24种，取4个黑球有C＝1种，故共有90＋24＋1＝115种取法，选B.

(2)共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，∴共有不同的取法有C＋C＋CC＝66(种).

答案　(1)B　(2)D

高频考点三　排列、组合的综合应用

【例3】 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内．

(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？

(2)恰有2个盒不放球，共有几种放法？

【规律方法】排列组合的综合题目，一般是先取出符合要求的元素组合(分组)，再对取出的元素排列，分组时要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标准．

【变式探究】 (1)某校高二年级共有6个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为(　　)

A．AC  B.AC

C．AA  D．2A

(2)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖．将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有        种(用数字作答)．

解析　(1)法一　将4人平均分成两组有C种方法，将此两组分配到6个班级中的2个班有A(种)．

所以不同的安排方法有CA(种)．

法二　先从6个班级中选2个班级有C种不同方法，然后安排学生有CC种，故有CC＝AC(种)．

(2)分两类：第一类：3张中奖奖券分给3个人，共A种分法；

第二类：3张中奖奖券分给2个人相当于把3张中奖奖券分两组再分给4人中的2人，

共有CA种分法．总获奖情况共有A＋CA＝60(种)．

答案　(1)B　(2)60

1.（2018年浙江卷）从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成           个没有重复数字的四位数.(用数字作答)

【答案】1260

【解析】若不取零，则排列数为若取零，则排列数为

因此一共有个没有重复数字的四位数.

2. (2017·全国Ⅱ)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有(　　)

A．12种  B．18种  C．24种  D．36种

答案　D

解析　由题意可知，其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得安排方式为C·C·A＝36(种)，或列式为C·C·C＝3××2＝36(种)．故选D.

3. (2017·浙江)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，则共有        种不同的选法．(用数字作答)

答案　660

1.【2016高考新课标2理数】如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（    ）

（A）24            （B）18             （C）12               （D）9

【答案】B

【解析】由题意，小明从街道的E处出发到F处最短路径的条数为6，再从F处到G处最短路径的条数为3，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为，故选B.

2.【2016年高考四川理数】用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为

（A）24       　（B）48     　（C）60      　（D）72

【答案】D

【解析】由题意，要组成没有重复数字的五位奇数，则个位数应该为1或3或5，其他位置共有种排法，所以奇数的个数为，故选D.  

1.【2015高考广东，理4】袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球。从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（      ）

   A．1               B.                   C.                 D.

【答案】B．

2.【2015高考新课标1，理10】的展开式中，的系数为(   )

（A）10        （B）20          （C）30       （D）60

【答案】C

【解析】在的5个因式中，2个取因式中剩余的3个因式中1个取，其余因式取y,故的系数为=30，故选 C.

3.【2015高考四川，理6】用数字0， 1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（    ）

（A）144个       （B）120个       （C）96个        （D）72个

【答案】B

【解析】据题意，万位上只能排4、5.若万位上排4，则有个；若万位上排5，则有个.所以共有个.选B.

4、【2015高考广东，理12】某高三毕业班有人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了        条毕业留言．（用数字作答）

【答案】．

5.【2015高考上海，理8】在报名的名男教师和名女教师中，选取人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为         （结果用数值表示）．

【答案】120

【解析】由题意得，去掉选5名女教师情况即可：

1．（2014·北京卷）把5件不同产品摆成一排．若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有        种．

【答案】36　

【解析】AAA＝6×2×3＝36.

2．（2014·广东卷）设集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|xi∈{－1，0，1}，i＝1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素个数为(　　)

A．60  B．90  C．120  D．130

【答案】D　

【解析】本题考查排列组合等知识，考查的是用排列组合思想去解决问题，主要根据范围利用分类讨论思想求解．由“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”考虑x1，x2，x3，x4，x5的可能取值，设集合M＝{0}，N＝{－1，1}．

当x1，x2，x3，x4，x5中有2个取值为0时，另外3个从N中取，共有C×23种方法；当x1，x2，x3，x4，x5中有3个取值为0时，另外2个从N中取，共有C×22种方法；

当x1，x2，x3，x4，x5中有4个取值为0时，另外1个从N中取，共有C×2种方法．

故总共有C×23＋C×22＋C×2＝130种方法，

即满足题意的元素个数为130.

3．（ 2014·广东卷）从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为        ．

【答案】　

4．（2014·辽宁卷）6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为(　　)

A．144  B．120  C．72  D．24

【答案】D　【解析】这是一个元素不相邻问题，采用插空法，AC＝24.

5．（2014·全国卷）有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有(　　)

A．60种  B．70种 

C．75种  D．150种

【答案】C　

【解析】由题意，从6名男医生中选2名，5名女医生中选1名组成一个医疗小组，不同的选法共有CC＝75(种)．  

6．（2014·四川卷）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有(　　)

A．192种  B．216种

C．240种  D．288种

【答案】B　

【解析】当甲在最左端时，有A＝120(种)排法；当甲不在最左端时，乙必须在最左端，且甲也不在最右端，有AAA＝4×24＝96(种)排法，共计120＋96＝216(种)排法．故选B.

7．(2014·重庆卷)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是(　　)

A．72  B．120  C．144  D．168

【答案】B