2019届二轮复习（理）专题54二项式定理学案（全国通用）


1.能用计数原理证明二项式定理；
2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.

1．二项式定理
二项式定理
(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N )
二项展开式的通项公式
Tr＋1＝Can－rbr，它表示第r＋1项
二项式系数
二项展开式中各项的系数C，C，…，C
2.二项式系数的性质
(1)当0≤k≤n时，C与C的关系是C＝C．
(2)二项式系数先增后减中间项最大
当n为偶数时，第＋1项的二项式系数最大，最大值为Cn；当n为奇数时，第项和项的二项式系数最大，最大值为．
(3)各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n，
C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1．

高频考点一　求二项展开式中的特定项或指定项的系数
例1、已知在的展开式中，第6项为常数项.
(1)求n；
(2)求含x2的项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项.
解　(1)通项公式为
Tk＋1＝Cxx－＝Cx.
因为第6项为常数项，所以k＝5时，＝0，即n＝10.
(2)令＝2，得k＝2，
故含x2的项的系数是C＝.

【举一反三】(1)在(－1)4的展开式中，x的系数为 .
(2) (x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(　　)
A.10 B.20
C.30 D.60
答案　(1)6　(2)C
解析　(1)由题意可知Tk＋1＝C()4－k(－1)k＝，令＝1解得k＝2，所以展开式中x的系数为C(－1)2＝6.
(2)方法一　利用二项展开式的通项公式求解.
(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，
含y2的项为T3＝C(x2＋x)3·y2.
其中(x2＋x)3中含x5的项为Cx4·x＝Cx5.
所以x5y2的系数为CC＝30.故选C.
方法二　利用组合知识求解.
(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为CC＝30.故选C.
高频考点二　已知二项展开式某项的系数求参数
例2、 (a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝ .
答案　3

【感悟提升】求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项公式即可.
【变式探究】(1) (x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为 .(用数字填写答案)
(2) (x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝ .(用数字填写答案)
答案　(1)20　(2)
解析　(1)x2y7＝x·(xy7)，其系数为C，
x2y7＝y·(x2y6)，其系数为－C，
∴x2y7的系数为C－C＝8－28＝－20.
(2)设通项为Tk＋1＝Cx10－kak，令10－k＝7，
∴k＝3，∴x7的系数为Ca3＝15，
∴a3＝，∴a＝.
高频考点三　二项式系数的和或各项系数的和的问题
例3、(1)若二项式的展开式中各项系数的和是512，则展开式中的常数项为(　　)
A.－27C B.27C
C.－9C D.9C
(2) (1－3x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，求|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝(　　)
A.1 024 B.243
C.32 D.24
解析　(1)令x＝1得2n＝512，所以n＝9，故的展开式的通项为Tr＋1＝C(3x2)9－r＝(－1)rC·39－rx18－3r，令18－3r＝0得r＝6，所以常数项为T7＝(－1)6C·33＝27C.
(2)令x＝－1得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝[1－(－3)]5＝45＝1 024.
答案　(1)B　(2)A
【举一反三】在(2x－3y)10的展开式中，求：
(1)二项式系数的和；
(2)各项系数的和；
(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；
(4)奇数项系数和与偶数项系数和；
(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.学 ]
解　设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，( )各项系数的和为a0＋a1＋…＋a10，奇数项系数和为a0＋a2＋…＋a10，偶数项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9，x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9，x的偶次项系数和为a0＋a2＋a4＋…＋a10.
由于( )是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和.

(5)x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9＝；
x的偶次项系数和为a0＋a2＋a4＋…＋a10＝.
【变式探究】已知f(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n (m，n∈N )的展开式中x的系数为11.
(1)求x2的系数取最小值时n的值；
(2)当x2的系数取得最小值时，求f(x)展开式中x的奇次幂项的系数之和.
解　(1)由已知得C＋2C＝11，∴m＋2n＝11，
x2的系数为C＋22C＝＋2n(n－1) + +k ]
＝＋(11－m)＝2＋.
∵m∈N ，
∴m＝5时，x2的系数取得最小值22，此时n＝3.
(2)由(1)知，当x2的系数取得最小值时，m＝5，n＝3，
∴f(x)＝(1＋x)5＋(1＋2x)3.
设这时f(x)的展开式为
f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，
令x＝1，a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝25＋33＝59，
令x＝－1，a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－1，
两式相减得2(a1＋a3＋a5)＝60，
故展开式中x的奇次幂项的系数之和为30.
高频考点四　二项式定理的应用
例4、(1)求证：1＋2＋22＋…＋25n－1(n∈N＋)能被31整除；
(2)(设复数x＝(i是虚数单位)，则Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2 017＝(　　)
A.i B.－I C.－1＋i D.－1－i

(2)解析　x＝＝＝－1＋i，
Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2 017
＝(1＋x)2 017－1＝i2 017－1＝i－1.
答案　C
【方法规律】(1)整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中要关注展开式的最后几项.而求近似值则应关注展开式的前几项.
(2)二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式.
【举一反三】 设a∈ ，且0≤a<13，若512 016＋a能被13整除，则a＝(　　)
A.0 B.1 C.11 D.12
解析　∵512 016＋a＝(52－1)2 016＋a＝C·522 016－C·522 015＋C·522 014＋…－C·52＋1＋a能被13整除，且0≤a<13，∴1＋a能被13整除，故a＝12.
答案　D
【感悟提升】(1)整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中要关注展开式的最后几项，而求近似值则应关注展开式的前几项.
(2)二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式.
【变式探究】1－90C＋902C－903C＋…＋(－1)k90kC＋…＋9010C除以88的余数是(　　)
A.－1 B.1 C.－87 D.87
答案　B


1. （2018年全国Ⅲ卷理数）的展开式中的系数为
A. 10 B. 20 C. 40 D. 80 ]
【答案】C
【解析】由题可得
令,则，所以，故选C.
2. （2018年浙江卷）二项式的展开式的常数项是 ．
【答案】7
【解析】二项式的展开式的通项公式为,
令得，故所求的常数项为

3. （2018年天津卷）在的展开式中，的系数为 .
【答案】

1.(2017·全国Ⅰ)(1＋x)6的展开式中x2项的系数为(　　) 学, , ,X,X,K]
A．15 B．20 C．30 D．35
答案　C
解析　因为(1＋x)6的通项为Cxk，所以(1＋x)6的展开式中含x2的项为1·Cx2和·Cx4.
因为C＋C＝2C＝2×＝30，所以(1＋x)6的展开式中x2项的系数为30，故选C.
2.(2017·全国Ⅲ)(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为(　　)
A．－80 B．－40 C．40 D．80
答案　C
解析　因为x3y3＝x·(x2y3)，其系数为－C·22＝－40，x3y3＝y·(x3y2)，其系数为C·23＝80.
所以x3y3的系数为80－40＝40.故选C.
1.【2016年高考四川理数】设i为虚数单位，则的展开式中含x4的项为
（A）－15x4 （B）15x4 （C）－20i x4 （D）20i x4
【答案】A
【解析】二项式展开的通项，令，得，则展开式中含的项为，故选A.
2.【2016年高考北京理数】在的展开式中，的系数为 .（用数字作答）
【答案】60.
【解析】根据二项展开的通项公式可知，的系数为。
3.【2016高考新课标1卷】的展开式中,x3的系数是 .（用数字填写答案）
【答案】10
【解析】的展开式的通项为(，1，2，…，5)，令得，所以的系数是.
4.【2016高考天津理数】的展开式中x2的系数为 .(用数字作答)
【答案】－56

5.【2016高考山东理数】若（ax2+）5的展开式中x5的系数是—80，则实数a= .
【答案】－2
【解析】因为，所以由，因此
1.【2015高考陕西，理4】二项式的展开式中的系数为15，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】二项式的展开式的通项是，令得的系数是，因为的系数为15，所以，即，解得：或，因为，所以，故选C．
2.【2015高考湖北，理3】已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）
A. B． C． D．
【答案】D
【解析】因为的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以，解得，
所以二项式中奇数项的二项式系数和为.
3..【2015高考重庆，理12】的展开式中的系数是 (用数字作答).
【答案】
【解析】二项展开式通项为，令，解得，因此的系数为.
4.【2015高考广东，理9】在的展开式中，的系数为 .
【答案】6．

5.【2015高考四川，理11】在的展开式中，含的项的系数是 （用数字作答）.
【答案】-40.
【解析】，所以的系数为.
6.【2015高考天津，理12】在 的展开式中，的系数为 .
【答案】
【解析】展开式的通项为，由得，所以，所以该项系数为.
7.【2015高考安徽，理11】的展开式中的系数是 .（用数字填写答案）
【答案】35
【解析】由题意，二项式展开的通项，令，得，则的系数是. ]
8.【2015高考福建，理11】 的展开式中，的系数等于 ．（用数字作答）
【答案】80
【解析】 的展开式中项为，所以的系数等于80．
9.【2015高考北京，理9】在的展开式中，的系数为 ．（用数字作答）
【答案】40
【解析】利用通项公式，，令，得出的系数为
10.【2015高考新课标2，理15】的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则 ．
【答案】3

11.【2015高考湖南，理6】已知的展开式中含的项的系数为30，则（ ）
A. B. C.6 D-6
【答案】D.
【解析】，令，可得，故选D.
12.【2015高考上海，理11】在的展开式中，项的系数为 （结果用数值表示）．
【答案】45
【解析】因为，所以项只能在展开式中，即为，系数为
1．（2014·安徽卷）设a≠0，n是大于1的自然数，的展开式为a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.若点Ai(i，ai)(i＝0，1，2)的位置如图1­3所示，则a＝ .

【答案】3　

2．（2014·福建卷）用a代表红球，b代表蓝球，c代表黑球．由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由 (1＋a)(1＋b)的展开式1＋a＋b＋ab表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来．依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是(　　)
A．(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5
B．(1＋a5)(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c)5
C．(1＋a)5(1＋b＋b2＋b3＋b4＋b5)(1＋c5)
D．(1＋a5)(1＋b)5(1＋c＋c2＋c3＋c4＋c5)
【答案】A　
【解析】从5个无区别的红球中取出若干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球，共6种情况，则其所有取法为1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5；从5个无区别的蓝球中取出若干个球，由所有的蓝球都取出或都不取出，得其所有取法为1＋b5；从5个有区别的黑球中取出若干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球，共6种情况，则其所有取法为1＋Cc＋Cc2＋Cc3＋Cc4＋Cc5＝(1＋c)5，根据分步乘法计数原理得，适合要求的所有取法是(1＋a＋a2＋a3＋a4＋a5)(1＋b5)(1＋c)5.
3．（2014·湖北卷）若二项式的展开式中的系数是84，则实数a＝(　　)
A．2 B. C．1 D.
【答案】C　
【解析】展开式中含的项是T6＝C(2x)2＝C22a5x－3，故含的项的系数是C22a5＝84，解得a＝1.故选C.
4．（2014·新课标全国卷Ⅰ） (x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为 ．(用数字填写答案)
【答案】－20　
【解析】(x＋y)8的展开式中xy7的系数为C＝8，x2y6的系数为C＝28，故(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y8的系数为8－28＝－20.
5．（2014·山东卷）若的展开式中x3项的系数为20，则a2＋b2的最小值为 ．
【答案】2　

6．（2014·四川卷）在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为(　　)
A．30 B．20 C．15 D．10
【答案】C　
【解析】x(1＋x)6的展开式中x3项的系数与(1＋x)6的展开式中x2项的系数相同，故其系数为C＝15.
7．(2014·浙江卷)在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝(　　)
A．45 B．60 C．120 D．210
【答案】C　
【解析】含xmyn项的系数为f(m，n)＝CC，故原式＝CC＋CC＋CC＋CC＝120，故选C.