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2019届二轮复习（理）专题46双曲线学案（全国通用）
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1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程及简单性质．
2.了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用．
3.理解数形结合的思想．
1．双曲线的定义
平面内动点与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|大于零)，则点的轨迹叫双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距．集合P＝{M |MF1|－|MF2 ＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：
(1)若a
(3)若a>c时，则集合P为空集．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1
(a>0，b>0)
－＝1
(a>0，b>0)
图 形
性 质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)
高频考点一 双曲线的定义及应用
【例1】(1)设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e，过F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若△F1AB是以B为直角顶点的等腰直角三角形，则e2＝( )
A.1＋2 B.4－2
C.5－2 D.3＋2
(2)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C左支上一点，A(0，6)，当△APF周长最小时，该三角形的面积为 .
解析 (1)如图所示，因为|AF1|－|AF2|＝2a，|BF1|－|BF2|＝2a，|BF1|＝|AF2|＋|BF2|，
(2)设左焦点为F1，|PF|－|PF1|＝2a＝2，
∴|PF|＝2＋|PF1|，△APF的周长为|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋|AP|＋2＋|PF1|，△APF周长最小即为|AP|＋|PF1|最小，当A，P，F1在一条直线时最小，过AF1的直线方程为＋＝1.
与x2－＝1联立，解得P点坐标为(－2，2)，
此时S＝S△AF1F－S△F1PF＝12.
答案 (1)C (2)12
【变式探究】(1)已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为 ．
(2)设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为 ．
答案 (1)－y2＝1 (2)－＝1
解析 (1)由双曲线渐近线方程为y＝±x，可设该双曲线的标准方程为－y2＝λ(λ≠0)，已知该双曲线过点(4，)，所以－()2＝λ，即λ＝1，
故所求双曲线的标准方程为－y2＝1.
【变式探究】
(1)设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝( )
A．1 B．17
C．1或17 D．以上答案均不对
(2)已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为( )
A．5 B．5＋4 C．7 D．9
解析 (1)由双曲线定义 PF1|－|PF2 ＝8，又|PF1|＝9，∴|PF2|＝1或17，但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c－a＝6－4＝2>1，∴|PF2|＝17.
(2)如图所示，设双曲线的右焦点为E，则E(4，0)．由双曲线的定义及标准方程得|PF|－|PE|＝4，则|PF|＋|PA|＝4＋|PE|＋|PA|.由图可得，当A，P，E三点共线时，(|PE|＋|PA|)min＝|AE|＝5，从而|PF|＋|PA|的最小值为9.
答案 (1)B (2)D
高频考点二 双曲线的标准方程
【例2】(1)已知F1，F2是双曲线E：－＝1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为( )
A. B. C. D.2
(2)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为( )
A.－y2＝1 B.x2－＝1
C.－＝1 D.－＝1
(2)由题意得c＝，＝，则a＝2，b＝1，所以双曲线的方程为－y2＝1.
答案 (1)A (2)A
【变式探究】 (1)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
(2)设双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为(，4)，则此双曲线的标准方程是 ．
解析 (1)由题意知，双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线为y＝2x，所以＝2，即b2＝4a2.又双曲线的一个焦点是直线l与x轴的交点，所以该焦点的坐标为(－5，0)，所以c＝5，即a2＋b2＝25，联立得
解得a2＝5，b2＝20，故双曲线的方程为－＝1.
答案 (1)A (2)－＝1
【举一反三】 (1)设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|＝|A2B2|，其中A1，B1和A2，B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
(2)已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则·的最小值为 .
解析 (1)因为有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，所以直线A1B1和A2B2关于x轴对称，并且直线A1B1和A2B2与x轴的夹角为30°，双曲线的渐近线与x轴的夹角大于30°且小于等于60°，否则不满足题意.可得＞tan 30°，即＞，＞，所以e＞.同样的，当≤tan 60°，即≤3时，≤3，即4a2≥c2，∴e2≤4，∵e＞1，所以1＜e≤2.
所以双曲线的离心率的范围是.
(2)由题可知A1(－1，0)，F2(2，0).设P(x，y)(x≥1)，
则＝(－1－x，－y)，＝(2－x，－y)，·＝(－1－x)(2－x)＋y2＝x2－x－2＋y2＝x2－x－2＋3(x2－1)＝4x2－x－5.
因为x≥1，函数f(x)＝4x2－x－5的图象的对称轴为x＝，所以当x＝1时，·取得最小值－2.
答案 (1)A (2)－2
【方法规律】与双曲线有关的范围问题的解题思路
(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解.
(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决.
【变式探究】 根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)虚轴长为12，离心率为；
(2)焦距为26，且经过点M(0，12)；
(3)经过两点P(－3，2)和Q(－6，－7)．
(2)∵双曲线经过点M(0，12)，∴M(0，12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12.
又2c＝26，∴c＝13，∴b2＝c2－a2＝25.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
(3)设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn＞0)．
∴解得
∴双曲线的标准方程为－＝1.
高频考点三 双曲线的几何性质
例3、已知双曲线－＝1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析 由双曲线－＝1(b>0)知其渐近线方程为y＝±x，
又圆的方程为x2＋y2＝4，①
不妨设渐近线与圆在第一象限的交点为B，将y＝x代入方程①式，
可得点B.
由双曲线和圆的对称性得四边形ABCD为矩形，其相邻两边长为，，
故＝2b，得b2＝12.
故双曲线的方程为－＝1.
答案 D
【感悟提升】(1)双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线－＝1(a>0，b>0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±满足关系式e2＝1＋k2.
(2)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用b2＝c2－a2和e＝转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．
【变式探究】(1)设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点是F，左，右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为( )
A．± B．±
C．±1 D．±
(2)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则( )
A．对任意的a，b，e1e2
C．对任意的a，b，e1>e2
D．当a>b时，e1>e2；当a
解析 (1)如图，双曲线－＝1的右焦点F(c,0)，左，右顶点分别为A1(－a,0)，A2(a,0)，
(2)e1＝，e2＝.不妨令e10)，得bma时，有>，即e1>e2；当b
例4、(1)过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|等于( )
A. B．2
C．6 D．4
答案 D
(2)若双曲线E：－y2＝1(a>0)的离心率等于，直线y＝kx－1与双曲线E的右支交于A，B两点．
①求k的取值范围；
②若|AB|＝6，点C是双曲线上一点，且＝m(＋)，求k，m的值．
解 ①由得
故双曲线E的方程为x2－y2＝1.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由
得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.( )
∵直线与双曲线右支交于A，B两点，
故
即所以1
∴|AB|＝·
＝2＝6，
整理得28k4－55k2＋25＝0，∴k2＝或k2＝，
又1
设C(x3，y3)，由＝m(＋)，
得(x3，y3)＝m(x1＋x2，y1＋y2)＝(4m,8m)．
∵点C是双曲线上一点．
∴80m2－64m2＝1，得m＝±.
故k＝，m＝±.学 .
【感悟提升】(1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x或y的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定．
(2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验．
【变式探究】已知双曲线C的两个焦点分别为F1(－2,0)，F2(2，0)，双曲线C上一点P到F1，F2的距离差的绝对值等于2.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)经过点M(2,1)作直线l交双曲线C的右支于A，B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程；
(3)已知定点G(1,2)，点D是双曲线C右支上的动点，求|DF1|＋|DG|的最小值．
(2)设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则
两式相减，得3(x1－x2)(x1＋x2)－(y1－y2)(y1＋y2)＝0.
因为M(2,1)为AB的中点，所以
所以12(x1－x2)－2(y1－y2)＝0，即kAB＝＝6，
故AB所在直线l的方程为y－1＝6(x－2)，
即6x－y－11＝0.
(3)由已知，得|DF1|－|DF2|＝2，
即|DF1|＝|DF2|＋2，
所以|DF1|＋|DG|＝|DF2|＋|DG|＋2≥|GF2|＋2，当且仅当G，D，F2三点共线时取等号．
因为|GF2|＝＝，所以|DF2|＋|DG|＋2≥|GF2|＋2＝＋2，故|DF1|＋|DG|的最小值为＋2.
1. （2018年浙江卷）双曲线的焦点坐标是
A. (−，0)，(，0) B. (−2，0)，(2，0)
C. (0，−)，(0，) D. (0，−2)，(0，2)
【答案】B
2. （2018年天津卷）已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点. 设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设双曲线的右焦点坐标为（c>0），则，
由可得：，
不妨设：，
双曲线的一条渐近线方程为：，
据此可得：，，
则，则，
双曲线的离心率：，
据此可得：，则双曲线的方程为.
本题选择C选项.
3. （2018年全国I卷理数）已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三角形，则|MN|=
A. B. 3 C. D. 4
【答案】B
4. （2018年全国Ⅲ卷理数）设是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为
A. B. 2 C. D.
【答案】C
【解析】由题可知，
在中，
在中,
故选C.
5. （2018年全国Ⅱ卷理数）双曲线的离心率为，则其渐近线方程为
A. B. C. D.
【答案】A
1.【2017课标II，理9】若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【解析】
【解析】由几何关系可得，双曲线的渐近线方程为，圆心到渐近线距离为，则点到直线的距离为，
即，整理可得，双曲线的离心率．故选A．
5.【2017天津，理5】已知双曲线的左焦点为，离心率为.若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为
（A） （B）（C）（D）
【答案】B
6.【2017北京，理9】若双曲线的离心率为，则实数m= .
【答案】2
【解析】 ，所以 ，解得 .
7.【2017课标1，理】已知双曲线C：（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN=60°，则C的离心率为 .
【答案】
【解析】如图所示，作，因为圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则为双曲线的渐近线上的点，且， ，
而，所以，
点到直线的距离，
在中， ，代入计算得，即，
由得，
所以.
9.【2017课标3，理5】已知双曲线C： (a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点，则C的方程为
A． B． C． D．
【答案】B
10.【2017山东，理14】在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线交于两点，若，则该双曲线的渐近线方程为 .
【答案】
【解析】 ，
因为 ，所以渐近线方程为.学 .
1. 【2016高考新课标1卷】已知方程表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是( )
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
2.【2016高考新课标2理数】已知是双曲线的左，右焦点，点在上，与轴垂直，,则的离心率为（ ）
（A） （B） （C） （D）2
【答案】A
【解析】因为垂直于轴，所以，因为，即，化简得，故双曲线离心率.选A.
3.【2016高考浙江理数】已知椭圆C1：+y2=1(m>1)与双曲线C2：–y2=1(n>0)的焦点重合，e1， e2分别为C1，C2的离心率，则（ ）
A．m>n且e1e2>1 B．m>n且e1e2<1 C．m1 D．m
【解析】由题意知，即，由于m＞1，n＞0，可得m＞n，
又= ，故．故选A．
4.【2016高考天津理数】已知双曲线（b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径
长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（ ）
（A）（B）（C）（D）
【答案】D
【解析】根据对称性，不妨设A在第一象限，，∴，
∴，故双曲线的方程为，故选D.
5.【2016高考山东理数】已知双曲线E： （a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是 .
【答案】2
6.【2016年高考北京理数】双曲线（，）的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则 .
【答案】2
【解析】∵是正方形，∴，即直线方程为，此为双曲线的渐近线，因此，又由题意，∴，．故填：2．
7.【2016高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy中，双曲线的焦距是 ▲ .
【答案】
【解析】．焦距为2c ]
故答案应填：。
8. 【2016高考上海理数】
双曲线的左、右焦点分别为，直线过且与双曲线交于两点。
（1）若的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
（2）设，若的斜率存在，且，求的斜率.
【答案】（1）．（2）.
【解析】
（2）由已知，，．
设，，直线．显然．
由，得．
因为与双曲线交于两点，所以，且．
设的中点为．
由即，知，故．
而，，，
所以，得，故的斜率为．
1.【2015高考福建，理3】若双曲线 的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则 等于（ ）
A．11 B．9 C．5 D．3
【答案】B
2.【2015高考四川，理5】过双曲线的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则（ ）
(A) (B) (C)6 （D）
【答案】D
【解析】双曲线的右焦点为，过F与x轴垂直的直线为，渐近线方程为，将代入得：.选D.
3.【2015高考广东，理7】已知双曲线：的离心率，且其右焦点，则双曲线的方程为（ ）
A． B. C. D.
【答案】B．
【解析】因为所求双曲线的右焦点为且离心率为，所以，，所以所求双曲线方程为，故选B．
4.【2015高考新课标1，理5】已知M（）是双曲线C：上的一点，是C上的两个焦点，若，则的取值范围是( )
（A）（-，） （B）（-，）
（C）（，） （D）（，）
【答案】A
【解析】由题知，，所以= =，解得，故选A. ]
5.【2015高考湖北，理8】将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位长度，得到离心率为的双曲线，则（ ）
A．对任意的， B．当时，；当时，
C．对任意的， D．当时，；当时，
【答案】D
【解析】依题意，，，
因为，由于，，，
所以当时，，，，，所以；
当时，，，而，所以，所以.
所以当时，；当时，.
6.【2015高考重庆，理10】设双曲线（a>0,b>0）的右焦点为1，过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点，过B,C分别作AC，AB的垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是 （ ）
A、 B、
C、 D、
【答案】A
7.【2015高考安徽，理4】下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】由题意，选项的焦点在轴，故排除，项的渐近线方程为，即，故选C.
8.【2015高考新课标2，理11】已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设双曲线方程为，如图所示，，，过点作轴，垂足为，在中，，，故点的坐标为，代入双曲线方程得，即，所以，故选D．
9.【2015高考北京，理10】已知双曲线的一条渐近线为，则 ．
【答案】
【解析】双曲线的渐近线方程为，，,则学 .
10【2015高考湖南，理13】设是双曲线：的一个焦点，若上存在点，使线段的中点恰为其虚轴的一个端点，则的离心率为 .
【答案】.
11.【2015高考浙江，理9】双曲线的焦距是 ，渐近线方程是 ．
【答案】，.
【解析】由题意得：，，，∴焦距为，
渐近线方程为.
12.【2015高考上海，理9】已知点和的横坐标相同，的纵坐标是的纵坐标的倍，和的轨迹分别为双曲线和．若的渐近线方程为，则的渐近线方程为 ．
【答案】
【解析】由题意得：：，设，则，所以，即的渐近线方程为
13.【2015江苏高考，12】在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点。若点到直线的距离大于c恒成立，则是实数c的最大值为 .
【答案】
【解析】设，因为直线平行于渐近线，所以点到直线的距离恒大于直线与渐近线之间距离，因此c的最大值为直线与渐近线之间距离，为。
1．（2014·湖北卷）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )
A. B. C．3 D．2
【答案】A
2．（2014·北京卷）设双曲线C经过点(2，2)，且与－x2＝1具有相同渐近线，则C的方程为 ；渐近线方程为 ．
【答案】－＝1 y＝±2x
【解析】设双曲线C的方程为－x2＝λ，将(2，2)代入得－22＝－3＝λ，∴双曲线C的方程为－＝1.令－x2＝0得渐近线方程为y＝±2x.
3．（2014·全国卷）已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1，F2，点A在C上．若|F1A|＝2|F2A|，则cos∠AF2F1＝( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据题意，|F1A|－|F2A|＝2a，因为|F1A|＝2|F2A|，所以|F2A|＝2a，|F1A|＝4a.又因为双曲线的离心率e＝＝2，所以c＝2a，|F1F2|＝2c＝4a，所以在△AF1F2中，根据余弦定理可得cos∠AF2F1＝＝＝.
4．（2014·福建卷）已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别为l1：y＝2x，l2：y＝－2x.
(1)求双曲线E的离心率．
(2)如图16，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点(A，B分别在第一、四象限)，且△OAB的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，说明理由．
图16
【解析】解：方法一：
(1)因为双曲线E的渐近线分别为y＝2x，y＝－2x，
所以＝2，
所以＝2，
故c＝a，
从而双曲线E的离心率
e＝＝.
(2)由(1)知，双曲线E的方程为－＝1.
设直线l与x轴相交于点C.
以下证明：当直线l不与x轴垂直时，双曲线E：－＝1也满足条件．
设直线l的方程为y＝kx＋m，依题意，得k>2或k<－2，则C.记A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得y1＝，同理得y2＝.
由S△OAB＝|OC|·|y1－y2|，得
·＝8，
即m2＝4＝4(k2－4)．
由得(4－k2)x2－2kmx－m2－16＝0.
因为4－k2<0，
所以Δ＝4k2m2＋4(4－k2)(m2＋16)＝－16(4k2－m2－16)．
又因为m2＝4(k2－4)，
所以Δ＝0，即l与双曲线E有且只有一个公共点．
因此，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为－＝1.
方法二：(1)同方法一．
方法三：(1)同方法一．
(2)当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．依题意得k>2或k<－2.
由得(4－k2)x2－2kmx－m2＝0，
因为4－k2<0，Δ>0，所以x1x2＝，
又因为△OAB的面积为8，
所以 |OA|·|OB|· sin∠AOB＝8，又易知sin∠AOB＝，
所以·＝8，化简得x1x2＝4.
所以＝4，即m2＝4(k2－4)．
由(1)得双曲线E的方程为－＝1，
由得(4－k2)x2－2kmx－m2－4a2＝0.
因为4－k2<0，直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当Δ＝4k2m2＋4(4－k2)(m2＋4a2)＝0，
即(k2－4)(a2－4)＝0，所以a2＝4，
所以双曲线E的方程为－＝1.
当l⊥x轴时，由△OAB的面积等于8可得l：x＝2，又易知l：x＝2与双曲线E：－＝1有且只有一个公共点．
综上所述，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为－＝1.
5．（2014·广东卷）若实数k满足0
C．虚半轴长相等 D．离心率相等
【答案】A
6．（2014·湖南卷）如图17，O为坐标原点，椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1；双曲线C2：－＝1的左、右焦点分别为F3，F4，离心率为e2.已知e1e2＝，且|F2F4|＝－1.
(1)求C1，C2的方程；
(2)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点．当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值．
图17
【解析】解： (1)因为e1e2＝，所以·＝，即a4－b4＝a4，因此a2＝2b2，从而F2(b，0)，F4(b，0)，于是b－b＝|F2F4|＝－1，所以b＝1，a2＝2.故C1，C2的方程分别为＋y2＝1，－y2＝1.
(2)因AB不垂直于y轴，且过点F1(－1，0)，故可设直线AB的方程为x＝my－1，由得(m2＋2)y2－2my－1＝0.
易知此方程的判别式大于0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1，y2是上述方程的两个实根，所以y1＋y2＝，y1y2＝.
因此x1＋x2＝m(y1＋y2)－2＝，于是AB的中点为M，故直线PQ的斜率为－，PQ的方程为y＝－x，即mx＋2y＝0.
由得(2－m2)x2＝4，所以2－m2>0，且x2＝，y2＝，从而|PQ|＝2＝2.设点A到直线PQ的距离为d，则点B到直线PQ的距离也为d，所以2d＝.因为点A，B在直线mx＋2y＝0的异侧，所以(mx1＋2y1)(mx2＋2y2)<0，于是|mx1＋2y1|＋|mx2＋2y2|＝|mx1＋2y1－mx2－2y2|，从而2d＝.
又因为|y1－y2|＝＝，所以2d＝.
故四边形APBQ的面积S＝|PQ|·2d＝＝2·.
而0<2－m2≤2，故当m＝0时，S取最小值2.
综上所述，四边形APBQ面积的最小值为2.
7．（2014·江西卷）如图17所示，已知双曲线C：－y2＝1(a>0)的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线上，AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA(O为坐标原点)．
图17
(1)求双曲线C的方程；
(2)过C上一点P(x0，y0)(y0≠0)的直线l：－y0y＝1与直线AF相交于点M，与直线x＝相交于点N.证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值．
【解析】解：(1)设F(c，0)，因为b＝1，所以c＝.
由题意，直线OB的方程为y＝－x，直线BF的方程为y＝(x－c)，所以B.
又直线OA的方程为y＝x，
则A，所以kAB＝＝.
又因为AB⊥OB，所以·＝－1，解得a2＝3，故双曲线C的方程为－y2＝1.
(2)由(1)知a＝，则直线l的方程为－y0y＝1(y0≠0)，即y＝(y0≠0)．
因为直线AF的方程为x＝2，所以直线l与AF的交点为M，直线l与直线x＝的交点为N，，
则＝＝＝·. ]
又P(x0，y0)是C上一点，则－y＝1，
代入上式得＝·＝·＝，所以＝＝，为定值．
8．（2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为( )
A. B．3
C.m D．3m
【答案】A
【解析】双曲线的一条渐近线的方程为x＋y＝0.根据双曲线方程得a2＝3m，b2＝3，所以c＝，双曲线的右焦点坐标为(，0)．故双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为＝.
9．（2014·山东卷）已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为( )
A. x±y＝0 B. x±y＝0
C. x±2y＝0 D. 2x±y＝0
【答案】A
【解析】椭圆C1的离心率e1＝，双曲线C2的离心率e2＝.由e1e2＝·＝×＝，解得＝，所以＝，所以双曲线C2的渐近线方程是y＝±x.故选A.
10．（2014·天津卷）已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
【答案】A
11．（2014·浙江卷）设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A，B.若点P(m，0)满足|PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率是 ．
【答案】.
【解析】双曲线的渐近线为y＝±x，渐近线与直线x－3y＋m＝0
的交点为A，B.设AB的中点为D，由|PA|＝|PB|知AB与DP垂直，则D，kDP＝－3，解得a2＝4b2，故该双曲线的离心率是 .
12．（2014·重庆卷）设F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D．3
【答案】B
【解析】不妨设P为双曲线右支上一点，根据双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝2a，联立|PF1|＋|PF2|＝3b，平方相减得|PF1|·|PF2|＝，则由题设条件，得＝ab，整理得＝，∴e＝＝＝＝.
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程及简单性质．
2.了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用．
3.理解数形结合的思想．
1．双曲线的定义
平面内动点与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|大于零)，则点的轨迹叫双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距．集合P＝{M |MF1|－|MF2 ＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：
(1)若a
(3)若a>c时，则集合P为空集．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1
(a>0，b>0)
－＝1
(a>0，b>0)
图 形
性 质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)
高频考点一 双曲线的定义及应用
【例1】(1)设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e，过F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若△F1AB是以B为直角顶点的等腰直角三角形，则e2＝( )
A.1＋2 B.4－2
C.5－2 D.3＋2
(2)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C左支上一点，A(0，6)，当△APF周长最小时，该三角形的面积为 .
解析 (1)如图所示，因为|AF1|－|AF2|＝2a，|BF1|－|BF2|＝2a，|BF1|＝|AF2|＋|BF2|，
(2)设左焦点为F1，|PF|－|PF1|＝2a＝2，
∴|PF|＝2＋|PF1|，△APF的周长为|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋|AP|＋2＋|PF1|，△APF周长最小即为|AP|＋|PF1|最小，当A，P，F1在一条直线时最小，过AF1的直线方程为＋＝1.
与x2－＝1联立，解得P点坐标为(－2，2)，
此时S＝S△AF1F－S△F1PF＝12.
答案 (1)C (2)12
【变式探究】(1)已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为 ．
(2)设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为 ．
答案 (1)－y2＝1 (2)－＝1
解析 (1)由双曲线渐近线方程为y＝±x，可设该双曲线的标准方程为－y2＝λ(λ≠0)，已知该双曲线过点(4，)，所以－()2＝λ，即λ＝1，
故所求双曲线的标准方程为－y2＝1.
【变式探究】
(1)设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|＝( )
A．1 B．17
C．1或17 D．以上答案均不对
(2)已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为( )
A．5 B．5＋4 C．7 D．9
解析 (1)由双曲线定义 PF1|－|PF2 ＝8，又|PF1|＝9，∴|PF2|＝1或17，但应注意双曲线的右顶点到右焦点距离最小为c－a＝6－4＝2>1，∴|PF2|＝17.
(2)如图所示，设双曲线的右焦点为E，则E(4，0)．由双曲线的定义及标准方程得|PF|－|PE|＝4，则|PF|＋|PA|＝4＋|PE|＋|PA|.由图可得，当A，P，E三点共线时，(|PE|＋|PA|)min＝|AE|＝5，从而|PF|＋|PA|的最小值为9.
答案 (1)B (2)D
高频考点二 双曲线的标准方程
【例2】(1)已知F1，F2是双曲线E：－＝1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为( )
A. B. C. D.2
(2)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为( )
A.－y2＝1 B.x2－＝1
C.－＝1 D.－＝1
(2)由题意得c＝，＝，则a＝2，b＝1，所以双曲线的方程为－y2＝1.
答案 (1)A (2)A
【变式探究】 (1)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
(2)设双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为(，4)，则此双曲线的标准方程是 ．
解析 (1)由题意知，双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线为y＝2x，所以＝2，即b2＝4a2.又双曲线的一个焦点是直线l与x轴的交点，所以该焦点的坐标为(－5，0)，所以c＝5，即a2＋b2＝25，联立得
解得a2＝5，b2＝20，故双曲线的方程为－＝1.
答案 (1)A (2)－＝1
【举一反三】 (1)设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|＝|A2B2|，其中A1，B1和A2，B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
(2)已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则·的最小值为 .
解析 (1)因为有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，所以直线A1B1和A2B2关于x轴对称，并且直线A1B1和A2B2与x轴的夹角为30°，双曲线的渐近线与x轴的夹角大于30°且小于等于60°，否则不满足题意.可得＞tan 30°，即＞，＞，所以e＞.同样的，当≤tan 60°，即≤3时，≤3，即4a2≥c2，∴e2≤4，∵e＞1，所以1＜e≤2.
所以双曲线的离心率的范围是.
(2)由题可知A1(－1，0)，F2(2，0).设P(x，y)(x≥1)，
则＝(－1－x，－y)，＝(2－x，－y)，·＝(－1－x)(2－x)＋y2＝x2－x－2＋y2＝x2－x－2＋3(x2－1)＝4x2－x－5.
因为x≥1，函数f(x)＝4x2－x－5的图象的对称轴为x＝，所以当x＝1时，·取得最小值－2.
答案 (1)A (2)－2
【方法规律】与双曲线有关的范围问题的解题思路
(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解.
(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决.
【变式探究】 根据下列条件，求双曲线的标准方程：
(1)虚轴长为12，离心率为；
(2)焦距为26，且经过点M(0，12)；
(3)经过两点P(－3，2)和Q(－6，－7)．
(2)∵双曲线经过点M(0，12)，∴M(0，12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12.
又2c＝26，∴c＝13，∴b2＝c2－a2＝25.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
(3)设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn＞0)．
∴解得
∴双曲线的标准方程为－＝1.
高频考点三 双曲线的几何性质
例3、已知双曲线－＝1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析 由双曲线－＝1(b>0)知其渐近线方程为y＝±x，
又圆的方程为x2＋y2＝4，①
不妨设渐近线与圆在第一象限的交点为B，将y＝x代入方程①式，
可得点B.
由双曲线和圆的对称性得四边形ABCD为矩形，其相邻两边长为，，
故＝2b，得b2＝12.
故双曲线的方程为－＝1.
答案 D
【感悟提升】(1)双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线－＝1(a>0，b>0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±满足关系式e2＝1＋k2.
(2)求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用b2＝c2－a2和e＝转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．
【变式探究】(1)设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点是F，左，右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为( )
A．± B．±
C．±1 D．±
(2)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则( )
A．对任意的a，b，e1
C．对任意的a，b，e1>e2
D．当a>b时，e1>e2；当a
解析 (1)如图，双曲线－＝1的右焦点F(c,0)，左，右顶点分别为A1(－a,0)，A2(a,0)，
(2)e1＝，e2＝.不妨令e1
例4、(1)过双曲线x2－＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|等于( )
A. B．2
C．6 D．4
答案 D
(2)若双曲线E：－y2＝1(a>0)的离心率等于，直线y＝kx－1与双曲线E的右支交于A，B两点．
①求k的取值范围；
②若|AB|＝6，点C是双曲线上一点，且＝m(＋)，求k，m的值．
解 ①由得
故双曲线E的方程为x2－y2＝1.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由
得(1－k2)x2＋2kx－2＝0.( )
∵直线与双曲线右支交于A，B两点，
故
即所以1
∴|AB|＝·
＝2＝6，
整理得28k4－55k2＋25＝0，∴k2＝或k2＝，
又1
设C(x3，y3)，由＝m(＋)，
得(x3，y3)＝m(x1＋x2，y1＋y2)＝(4m,8m)．
∵点C是双曲线上一点．
∴80m2－64m2＝1，得m＝±.
故k＝，m＝±.学 .
【感悟提升】(1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x或y的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定．
(2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验．
【变式探究】已知双曲线C的两个焦点分别为F1(－2,0)，F2(2，0)，双曲线C上一点P到F1，F2的距离差的绝对值等于2.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)经过点M(2,1)作直线l交双曲线C的右支于A，B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程；
(3)已知定点G(1,2)，点D是双曲线C右支上的动点，求|DF1|＋|DG|的最小值．
(2)设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则
两式相减，得3(x1－x2)(x1＋x2)－(y1－y2)(y1＋y2)＝0.
因为M(2,1)为AB的中点，所以
所以12(x1－x2)－2(y1－y2)＝0，即kAB＝＝6，
故AB所在直线l的方程为y－1＝6(x－2)，
即6x－y－11＝0.
(3)由已知，得|DF1|－|DF2|＝2，
即|DF1|＝|DF2|＋2，
所以|DF1|＋|DG|＝|DF2|＋|DG|＋2≥|GF2|＋2，当且仅当G，D，F2三点共线时取等号．
因为|GF2|＝＝，所以|DF2|＋|DG|＋2≥|GF2|＋2＝＋2，故|DF1|＋|DG|的最小值为＋2.
1. （2018年浙江卷）双曲线的焦点坐标是
A. (−，0)，(，0) B. (−2，0)，(2，0)
C. (0，−)，(0，) D. (0，−2)，(0，2)
【答案】B
2. （2018年天津卷）已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点. 设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设双曲线的右焦点坐标为（c>0），则，
由可得：，
不妨设：，
双曲线的一条渐近线方程为：，
据此可得：，，
则，则，
双曲线的离心率：，
据此可得：，则双曲线的方程为.
本题选择C选项.
3. （2018年全国I卷理数）已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三角形，则|MN|=
A. B. 3 C. D. 4
【答案】B
4. （2018年全国Ⅲ卷理数）设是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为
A. B. 2 C. D.
【答案】C
【解析】由题可知，
在中，
在中,
故选C.
5. （2018年全国Ⅱ卷理数）双曲线的离心率为，则其渐近线方程为
A. B. C. D.
【答案】A
1.【2017课标II，理9】若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【解析】
【解析】由几何关系可得，双曲线的渐近线方程为，圆心到渐近线距离为，则点到直线的距离为，
即，整理可得，双曲线的离心率．故选A．
5.【2017天津，理5】已知双曲线的左焦点为，离心率为.若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为
（A） （B）（C）（D）
【答案】B
6.【2017北京，理9】若双曲线的离心率为，则实数m= .
【答案】2
【解析】 ，所以 ，解得 .
7.【2017课标1，理】已知双曲线C：（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN=60°，则C的离心率为 .
【答案】
【解析】如图所示，作，因为圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则为双曲线的渐近线上的点，且， ，
而，所以，
点到直线的距离，
在中， ，代入计算得，即，
由得，
所以.
9.【2017课标3，理5】已知双曲线C： (a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点，则C的方程为
A． B． C． D．
【答案】B
10.【2017山东，理14】在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线交于两点，若，则该双曲线的渐近线方程为 .
【答案】
【解析】 ，
因为 ，所以渐近线方程为.学 .
1. 【2016高考新课标1卷】已知方程表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是( )
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
2.【2016高考新课标2理数】已知是双曲线的左，右焦点，点在上，与轴垂直，,则的离心率为（ ）
（A） （B） （C） （D）2
【答案】A
【解析】因为垂直于轴，所以，因为，即，化简得，故双曲线离心率.选A.
3.【2016高考浙江理数】已知椭圆C1：+y2=1(m>1)与双曲线C2：–y2=1(n>0)的焦点重合，e1， e2分别为C1，C2的离心率，则（ ）
A．m>n且e1e2>1 B．m>n且e1e2<1 C．m
【解析】由题意知，即，由于m＞1，n＞0，可得m＞n，
又= ，故．故选A．
4.【2016高考天津理数】已知双曲线（b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径
长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（ ）
（A）（B）（C）（D）
【答案】D
【解析】根据对称性，不妨设A在第一象限，，∴，
∴，故双曲线的方程为，故选D.
5.【2016高考山东理数】已知双曲线E： （a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是 .
【答案】2
6.【2016年高考北京理数】双曲线（，）的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点，若正方形OABC的边长为2，则 .
【答案】2
【解析】∵是正方形，∴，即直线方程为，此为双曲线的渐近线，因此，又由题意，∴，．故填：2．
7.【2016高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy中，双曲线的焦距是 ▲ .
【答案】
【解析】．焦距为2c ]
故答案应填：。
8. 【2016高考上海理数】
双曲线的左、右焦点分别为，直线过且与双曲线交于两点。
（1）若的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；
（2）设，若的斜率存在，且，求的斜率.
【答案】（1）．（2）.
【解析】
（2）由已知，，．
设，，直线．显然．
由，得．
因为与双曲线交于两点，所以，且．
设的中点为．
由即，知，故．
而，，，
所以，得，故的斜率为．
1.【2015高考福建，理3】若双曲线 的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则 等于（ ）
A．11 B．9 C．5 D．3
【答案】B
2.【2015高考四川，理5】过双曲线的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则（ ）
(A) (B) (C)6 （D）
【答案】D
【解析】双曲线的右焦点为，过F与x轴垂直的直线为，渐近线方程为，将代入得：.选D.
3.【2015高考广东，理7】已知双曲线：的离心率，且其右焦点，则双曲线的方程为（ ）
A． B. C. D.
【答案】B．
【解析】因为所求双曲线的右焦点为且离心率为，所以，，所以所求双曲线方程为，故选B．
4.【2015高考新课标1，理5】已知M（）是双曲线C：上的一点，是C上的两个焦点，若，则的取值范围是( )
（A）（-，） （B）（-，）
（C）（，） （D）（，）
【答案】A
【解析】由题知，，所以= =，解得，故选A. ]
5.【2015高考湖北，理8】将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位长度，得到离心率为的双曲线，则（ ）
A．对任意的， B．当时，；当时，
C．对任意的， D．当时，；当时，
【答案】D
【解析】依题意，，，
因为，由于，，，
所以当时，，，，，所以；
当时，，，而，所以，所以.
所以当时，；当时，.
6.【2015高考重庆，理10】设双曲线（a>0,b>0）的右焦点为1，过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点，过B,C分别作AC，AB的垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是 （ ）
A、 B、
C、 D、
【答案】A
7.【2015高考安徽，理4】下列双曲线中，焦点在轴上且渐近线方程为的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】由题意，选项的焦点在轴，故排除，项的渐近线方程为，即，故选C.
8.【2015高考新课标2，理11】已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设双曲线方程为，如图所示，，，过点作轴，垂足为，在中，，，故点的坐标为，代入双曲线方程得，即，所以，故选D．
9.【2015高考北京，理10】已知双曲线的一条渐近线为，则 ．
【答案】
【解析】双曲线的渐近线方程为，，,则学 .
10【2015高考湖南，理13】设是双曲线：的一个焦点，若上存在点，使线段的中点恰为其虚轴的一个端点，则的离心率为 .
【答案】.
11.【2015高考浙江，理9】双曲线的焦距是 ，渐近线方程是 ．
【答案】，.
【解析】由题意得：，，，∴焦距为，
渐近线方程为.
12.【2015高考上海，理9】已知点和的横坐标相同，的纵坐标是的纵坐标的倍，和的轨迹分别为双曲线和．若的渐近线方程为，则的渐近线方程为 ．
【答案】
【解析】由题意得：：，设，则，所以，即的渐近线方程为
13.【2015江苏高考，12】在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点。若点到直线的距离大于c恒成立，则是实数c的最大值为 .
【答案】
【解析】设，因为直线平行于渐近线，所以点到直线的距离恒大于直线与渐近线之间距离，因此c的最大值为直线与渐近线之间距离，为。
1．（2014·湖北卷）已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )
A. B. C．3 D．2
【答案】A
2．（2014·北京卷）设双曲线C经过点(2，2)，且与－x2＝1具有相同渐近线，则C的方程为 ；渐近线方程为 ．
【答案】－＝1 y＝±2x
【解析】设双曲线C的方程为－x2＝λ，将(2，2)代入得－22＝－3＝λ，∴双曲线C的方程为－＝1.令－x2＝0得渐近线方程为y＝±2x.
3．（2014·全国卷）已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1，F2，点A在C上．若|F1A|＝2|F2A|，则cos∠AF2F1＝( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】根据题意，|F1A|－|F2A|＝2a，因为|F1A|＝2|F2A|，所以|F2A|＝2a，|F1A|＝4a.又因为双曲线的离心率e＝＝2，所以c＝2a，|F1F2|＝2c＝4a，所以在△AF1F2中，根据余弦定理可得cos∠AF2F1＝＝＝.
4．（2014·福建卷）已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别为l1：y＝2x，l2：y＝－2x.
(1)求双曲线E的离心率．
(2)如图16，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点(A，B分别在第一、四象限)，且△OAB的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，说明理由．
图16
【解析】解：方法一：
(1)因为双曲线E的渐近线分别为y＝2x，y＝－2x，
所以＝2，
所以＝2，
故c＝a，
从而双曲线E的离心率
e＝＝.
(2)由(1)知，双曲线E的方程为－＝1.
设直线l与x轴相交于点C.
以下证明：当直线l不与x轴垂直时，双曲线E：－＝1也满足条件．
设直线l的方程为y＝kx＋m，依题意，得k>2或k<－2，则C.记A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由得y1＝，同理得y2＝.
由S△OAB＝|OC|·|y1－y2|，得
·＝8，
即m2＝4＝4(k2－4)．
由得(4－k2)x2－2kmx－m2－16＝0.
因为4－k2<0，
所以Δ＝4k2m2＋4(4－k2)(m2＋16)＝－16(4k2－m2－16)．
又因为m2＝4(k2－4)，
所以Δ＝0，即l与双曲线E有且只有一个公共点．
因此，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为－＝1.
方法二：(1)同方法一．
方法三：(1)同方法一．
(2)当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．依题意得k>2或k<－2.
由得(4－k2)x2－2kmx－m2＝0，
因为4－k2<0，Δ>0，所以x1x2＝，
又因为△OAB的面积为8，
所以 |OA|·|OB|· sin∠AOB＝8，又易知sin∠AOB＝，
所以·＝8，化简得x1x2＝4.
所以＝4，即m2＝4(k2－4)．
由(1)得双曲线E的方程为－＝1，
由得(4－k2)x2－2kmx－m2－4a2＝0.
因为4－k2<0，直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当Δ＝4k2m2＋4(4－k2)(m2＋4a2)＝0，
即(k2－4)(a2－4)＝0，所以a2＝4，
所以双曲线E的方程为－＝1.
当l⊥x轴时，由△OAB的面积等于8可得l：x＝2，又易知l：x＝2与双曲线E：－＝1有且只有一个公共点．
综上所述，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为－＝1.
5．（2014·广东卷）若实数k满足0
C．虚半轴长相等 D．离心率相等
【答案】A
6．（2014·湖南卷）如图17，O为坐标原点，椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1；双曲线C2：－＝1的左、右焦点分别为F3，F4，离心率为e2.已知e1e2＝，且|F2F4|＝－1.
(1)求C1，C2的方程；
(2)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点．当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值．
图17
【解析】解： (1)因为e1e2＝，所以·＝，即a4－b4＝a4，因此a2＝2b2，从而F2(b，0)，F4(b，0)，于是b－b＝|F2F4|＝－1，所以b＝1，a2＝2.故C1，C2的方程分别为＋y2＝1，－y2＝1.
(2)因AB不垂直于y轴，且过点F1(－1，0)，故可设直线AB的方程为x＝my－1，由得(m2＋2)y2－2my－1＝0.
易知此方程的判别式大于0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1，y2是上述方程的两个实根，所以y1＋y2＝，y1y2＝.
因此x1＋x2＝m(y1＋y2)－2＝，于是AB的中点为M，故直线PQ的斜率为－，PQ的方程为y＝－x，即mx＋2y＝0.
由得(2－m2)x2＝4，所以2－m2>0，且x2＝，y2＝，从而|PQ|＝2＝2.设点A到直线PQ的距离为d，则点B到直线PQ的距离也为d，所以2d＝.因为点A，B在直线mx＋2y＝0的异侧，所以(mx1＋2y1)(mx2＋2y2)<0，于是|mx1＋2y1|＋|mx2＋2y2|＝|mx1＋2y1－mx2－2y2|，从而2d＝.
又因为|y1－y2|＝＝，所以2d＝.
故四边形APBQ的面积S＝|PQ|·2d＝＝2·.
而0<2－m2≤2，故当m＝0时，S取最小值2.
综上所述，四边形APBQ面积的最小值为2.
7．（2014·江西卷）如图17所示，已知双曲线C：－y2＝1(a>0)的右焦点为F，点A，B分别在C的两条渐近线上，AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA(O为坐标原点)．
图17
(1)求双曲线C的方程；
(2)过C上一点P(x0，y0)(y0≠0)的直线l：－y0y＝1与直线AF相交于点M，与直线x＝相交于点N.证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值．
【解析】解：(1)设F(c，0)，因为b＝1，所以c＝.
由题意，直线OB的方程为y＝－x，直线BF的方程为y＝(x－c)，所以B.
又直线OA的方程为y＝x，
则A，所以kAB＝＝.
又因为AB⊥OB，所以·＝－1，解得a2＝3，故双曲线C的方程为－y2＝1.
(2)由(1)知a＝，则直线l的方程为－y0y＝1(y0≠0)，即y＝(y0≠0)．
因为直线AF的方程为x＝2，所以直线l与AF的交点为M，直线l与直线x＝的交点为N，，
则＝＝＝·. ]
又P(x0，y0)是C上一点，则－y＝1，
代入上式得＝·＝·＝，所以＝＝，为定值．
8．（2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为( )
A. B．3
C.m D．3m
【答案】A
【解析】双曲线的一条渐近线的方程为x＋y＝0.根据双曲线方程得a2＝3m，b2＝3，所以c＝，双曲线的右焦点坐标为(，0)．故双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为＝.
9．（2014·山东卷）已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为( )
A. x±y＝0 B. x±y＝0
C. x±2y＝0 D. 2x±y＝0
【答案】A
【解析】椭圆C1的离心率e1＝，双曲线C2的离心率e2＝.由e1e2＝·＝×＝，解得＝，所以＝，所以双曲线C2的渐近线方程是y＝±x.故选A.
10．（2014·天津卷）已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
【答案】A
11．（2014·浙江卷）设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A，B.若点P(m，0)满足|PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率是 ．
【答案】.
【解析】双曲线的渐近线为y＝±x，渐近线与直线x－3y＋m＝0
的交点为A，B.设AB的中点为D，由|PA|＝|PB|知AB与DP垂直，则D，kDP＝－3，解得a2＝4b2，故该双曲线的离心率是 .
12．（2014·重庆卷）设F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D．3
【答案】B
【解析】不妨设P为双曲线右支上一点，根据双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝2a，联立|PF1|＋|PF2|＝3b，平方相减得|PF1|·|PF2|＝，则由题设条件，得＝ab，整理得＝，∴e＝＝＝＝.
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