2019届二轮复习（理）专题48曲线与方程学案（全国通用）


1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系；
2.了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究曲线的简单性质；
3.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程.

1.曲线与方程
在平面直角坐标系中，如果曲线C与方程F(x，y)＝0之间具有如下关系：
(1)曲线C上点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解；
(2)以方程F(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上．那么，曲线C叫做方程F(x，y)＝0的曲线，方程F(x，y)＝0叫做曲线C的方程．
2.求动点的轨迹方程的一般步骤
(1)建系——建立适当的坐标系.
(2)设点——设轨迹上的任一点P(x，y).
(3)列式——列出动点P所满足的关系式.
(4)代换——依条件式的特点，将其转化为x，y的方程式，并化简.
(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.
3.两曲线的交点
设曲线C1的方程为F1(x，y)＝0，曲线C2的方程为F2(x，y)＝0，则C1，C2的交点坐标即为方程组的实数解.
若此方程组无解，则两曲线无交点.

高频考点一　定义法求轨迹方程
例1、已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程.
解　由已知得圆M的圆心为M(－1，0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1，0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.
因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，
所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4＞|MN|＝2.
由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左，右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为＋＝1(x≠－2).
【方法规律】(1)求轨迹方程时，若动点与定点、定线间的等量关系满足圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，则可直接根据定义先确定轨迹类型，再写出其方程.
(2)理解解析几何中有关曲线的定义是解题关键.
(3)利用定义法求轨迹方程时，还要看所求轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制.
【变式探究】已知两个定圆O1和O2，它们的半径分别是1和2，且|O1O2|＝4.动圆M与圆O1内切，又与圆O2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．
解　


高频考点二　直接法求轨迹方程
例2、已知动圆过定点A(4，0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.
(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；
(2)已知点B(－1，0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明：直线l过定点.
(1)解　如图，设动圆圆心为O1(x，y)，

由题意，|O1A|＝|O1M|，
当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥MN交MN于H，则H是MN的中点.
∴|O1M|＝，
又|O1A|＝，
∴＝，化简得y2＝8x(x≠0).
当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标(0，0)也满足方程y2＝8x，
∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.
(2)证明　由题意，设直线l的方程为y＝kx＋b(k≠0)，


即y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0，
(kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝0，
2kx1x2＋(b＋k)(x1＋x2)＋2b＝0③
将①，②代入③得2kb2＋(k＋b)(8－2bk)＋2k2b＝0，
∴k＝－b，此时Δ>0，
∴直线l的方程为y＝k(x－1)，即直线l过定点(1，0).
【方法技巧】利用直接法求轨迹方程
(1)利用直接法求解轨迹方程的关键是根据条件准确列出方程，然后进行化简.
(2)运用直接法应注意的问题
①在用直接法求轨迹方程时，在化简的过程中，有时破坏了方程的同解性，此时就要补上遗漏的点或删除多余的点，这是不能忽视的.
②若方程的化简过程是恒等变形，则最后的验证可以省略.
【举一反三】在平面直角坐标系xOy中，点P(a，b)为动点，F1，F2分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的左，右焦点．已知△F1PF2为等腰三角形．
(1)求椭圆的离心率e；
(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF2上的点，满足·＝－2，求点M的轨迹方程．
解　(1)设F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)．
由题意，可得|PF2|＝|F1F2|，即＝2c，
整理得22＋－1＝0，
得＝－1(舍去)或＝.所以e＝.

则＝，＝(x，y＋c)．
由y＝(x－c)，得c＝x－y.
于是＝，＝(x，x)，由·＝－2，
即·x＋·x＝－2.
化简得18x2－16xy－15＝0.
将y＝代入c＝x－y，
得c＝>0.
所以x>0.
因此，点M的轨迹方程是18x2－16xy－15＝0(x>0)．
【变式探究】已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个焦点为(，0)，离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若动点P(x0，y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．
解　(1)由题意知c＝，＝，
所以a＝3，b2＝a2－c2＝4，
故椭圆C的标准方程为＋＝1.

所以k是方程(x－9)x2－2x0y0x＋y－4＝0(x0≠±3)的一个根，同理－是方程(x－9)x2－2x0y0x＋y－4＝0(x0≠±3)的另一个根，
所以k·(－)＝，得x＋y＝13，其中x0≠±3，
所以此时点P的轨迹方程为x＋y＝13(x0≠±3)．
因为P(±3，±2)满足x＋y＝13，
综上可知，点P的轨迹方程为x＋y＝13.
【感悟提升】直接法求轨迹方程的常见类型及解题策略：
(1)题目给出等量关系，求轨迹方程．直接代入即可得出方程．
(2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程．可利用已知条件寻找等量关系，得出方程．
【变式探究】(1)已知A，B为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为N.若2＝λ·，其中λ为常数，则动点M的轨迹不可能是(　　)
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线
答案　C

(2)如图所示，A(m，m)和B(n，－n)两点分别在射线OS，OT(点S、T分别在第一、四象限)上移动，且·＝－，O为坐标原点，动点P满足＝＋.

①求mn的值；
②求动点P的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？
解　①∵·＝(m，m)·(n，－n)
＝－2mn＝－，∴mn＝.
②设P(x，y) (x>0)，由＝＋，
得(x，y)＝(m，m)＋(n，－n)＝(m＋n，m－n)．
∴　整理得x2－＝4mn，
又mn＝，∴P点的轨迹方程为x2－＝1 (x>0)．
它表示以原点为中心，焦点在x轴上，实轴长为2，焦距为4的双曲线x2－＝1的右支．
高频考点三　相关点法求轨迹方程
例3、如图，动圆C1：x2＋y2＝t2，1＜t＜3，与椭圆C2：＋y2＝1相交于A，B，C，D四点.点A1，A2分别为C2的左，右顶点.求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程.


将④代入③得－y2＝1(x＜－3，y＜0).
因此点M的轨迹方程为－y2＝1(x＜－3，y＜0).
【方法规律】“相关点法”的基本步骤：
(1)设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x0，y0)；
(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式
(3)代换：将上述关系式代入主动点满足的曲线方程，便可得到所求被动点的轨迹方程.
【变式探究】设直线x－y＝4a与抛物线y2＝4ax交于两点A，B(a为定值)，C为抛物线上任意一点，求△ABC的重心的轨迹方程．
解　设△ABC的重心为G(x，y)，


又点C(x0，y0)在抛物线上，
∴将点C的坐标代入抛物线的方程得：
(3y－4a)2＝4a(3x－12a)，即(y－)2＝(x－4a)．
又点C与A，B不重合，∴x0≠(6±2)a，
∴△ABC的重心的轨迹方程为
(y－)2＝(x－4a)(x≠(6±)a)．
【感悟提升】“相关点法”的基本步骤：
(1)设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x1，y1)；
(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式
(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程．
【变式探究】设F(1,0)，M点在x轴上，P点在y轴上，且＝2，⊥，当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹方程．
]

2. （2018年天津卷）已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点. 设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设双曲线的右焦点坐标为（c>0），则，
由可得：，
不妨设：，
双曲线的一条渐近线方程为：，
据此可得：，，
则，则，
双曲线的离心率：，
据此可得：，则双曲线的方程为.
本题选择C选项.
5. （2018年全国Ⅱ卷理数）双曲线的离心率为，则其渐近线方程为
A. B. C. D.
【答案】A

4. （2018年天津卷）设椭圆(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B. 已知椭圆的离心率为，点A的坐标为，且.
（I）求椭圆的方程；
（II）设直线l：与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q. 若(O为原点) ，求k的值.
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)或
【解析】（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c，由已知有，
又由a2=b2+c2，可得2a=3b．由已知可得，，，
由，可得ab=6，从而a=3，b=2．
所以，椭圆的方程为．

5. （2018年江苏卷）如图，在平面直角坐标系中，椭圆C过点，焦点，圆O的直径为．

（1）求椭圆C及圆O的方程；
（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P． | ]
①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；
②直线l与椭圆C交于两点．若的面积为，求直线l的方程．
【答案】（1）椭圆C的方程为；圆O的方程为
（2）①点P的坐标为；②直线l的方程为

（2）①设直线l与圆O相切于，则，
所以直线l的方程为，即．
由，消去y，得
．（ ）
因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，
所以．
因为，所以．
因此，点P的坐标为．
②因为三角形OAB的面积为，所以，从而．
设，
由（ ）得，
所以
．
因为，
所以，即，
解得舍去），则，因此P的坐标为．
综上，直线l的方程为．

5. （2018年全国Ⅱ卷理数）设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．
（1）求的方程；
（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．
【答案】(1) y=x–1,(2)或．
【解析】
（1）由题意得F（1，0），l的方程为y=k（x–1）（k>0）．
设A（x1，y1），B（x2，y2）．
由得．
，故．
所以．
由题设知，解得k=–1（舍去），k=1．
因此l的方程为y=x–1．

1.【2017天津，理5】已知双曲线的左焦点为，离心率为.若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为
（A） （B）（C）（D）
【答案】B
【解析】由题意得 ，选B.
2.【2017课标3，理5】已知双曲线C： (a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点，则C的方程为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】双曲线C： (a＞0,b＞0)的渐近线方程为 ，
椭圆中： ，椭圆，即双曲线的焦点为 ，
据此可得双曲线中的方程组： ，解得： ，
则双曲线 的方程为 .
故选B.
3.【2017山东，理14】在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线交于两点，若，则该双曲线的渐近线方程为 .
【答案】

4.【2017课标1，理20】已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.
（1）求C的方程；
（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.
【答案】（1）.（2）见解析。
【解析】（1）由于， 两点关于y轴对称，故由题设知C经过， 两点.
又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.
因此，解得.
故C的方程为.

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=.
而

.
由题设，故.
即.
解得.
当且仅当时， ，欲使l： ，即，
所以l过定点（2， ）
5.【2017课标II，理】设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足。
(1) 求点P的轨迹方程；
(2)设点Q在直线上，且。证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。
【答案】(1) 。(2)证明略。

，
.
由得-3m-+tn-=1， 又由（1）知，故
3+3m-tn=0.
所以，即.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
6.【2017山东，理21】在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，焦距为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）如图，动直线：交椭圆于两点，是椭圆上一点，直线的斜率为，且，是线段延长线上一点，且，的半径为，是的两条切线，切点分别为.求的最大值，并求取得最大值时直线的斜率.

【答案】（I）.
（Ⅱ）的最大值为，取得最大值时直线的斜率为.
【解析】

（Ⅱ）设，
联立方程
得，
由题意知，
且，
所以 .
由题意可知圆的半径为

得， | |k ]
因此 .
由题意可知 ，
而
，
令，
则，
因此 ，
当且仅当，即时等号成立，此时，
所以 ，
因此，
所以 最大值为.
综上所述： 的最大值为，取得最大值时直线的斜率为.
7.【2017北京，理18】已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）.过点（0，）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点.
（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（Ⅱ）求证：A为线段BM的中点.
【答案】（Ⅰ）方程为，抛物线C的焦点坐标为（，0），准线方程为.（Ⅱ）详见解析.
【解析】

（Ⅱ）由题意，设直线l的方程为（），l与抛物线C的交点为， .
由，得.
则， .学 .
因为点P的坐标为（1，1），所以直线OP的方程为，点A的坐标为.
直线ON的方程为，点B的坐标为.

8.【2017天津，理19】设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为.已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为.
（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；
（II）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点.若的面积为，求直线的方程.
【答案】（Ⅰ）， .（Ⅱ），或.
【解析】
（Ⅰ）解：设的坐标为.依题意， ， ， ，解得， ， ，于是.所以，椭圆的方程为，抛物线的方程为.

所以，直线的方程为，或.学 .
9.【2017江苏，17】 如图,在平面直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为, ,离心率为,两准线之间的距离为8.点在椭圆上，且位于第一象限，过点作 直线的垂线,过点作直线的垂线.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线的交点在椭圆上,求点的坐标.

【答案】（1）（2）

（2）由（1）知， ， .
设，因为点为第一象限的点，故.
当时， 与相交于，与题设不符.
当时，直线的斜率为，直线的斜率为.
因为， ，所以直线的斜率为，直线的斜率为，
从而直线的方程： ， ①
直线的方程： . ②
由①②，解得，所以.
因为点在椭圆上，由对称性，得，即或.
又在椭圆E上，故.
由，解得； ，无解.
因此点P的坐标为.
1.【2016高考山东理数】（本小题满分14分）
平面直角坐标系中，椭圆C： 的离心率是，抛物线E：的焦点F是C的一个顶点.
（I）求椭圆C的方程；
（II）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.
（i）求证：点M在定直线上;
（ii）直线与y轴交于点G，记的面积为，的面积为，求 的最大值及取得最大值时点P的坐标.

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）（i）见解析；（ii）的最大值为，此时点的坐标为
【解析】
（Ⅰ）由题意知，可得：.
因为抛物线的焦点为，所以，
所以椭圆C的方程为.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知直线方程为，
令得，所以，
又，
所以，
，
所以，
令，则，
当，即时，取得最大值，此时，满足，
所以点的坐标为，因此的最大值为，此时点的坐标为.
2.【2016高考江苏卷】（本小题满分10分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线，抛物线
（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；
（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.
①求证：线段PQ的中点坐标为；
②求p的取值范围.

【答案】（1）（2）①详见解析，②
【解析】
解：（1）抛物线的焦点为
由点在直线上，得，即
所以抛物线C的方程为

3.【2016高考新课标3理数】已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．
（I）若在线段上，是的中点，证明；
（II）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．
【解析】由题设.设，则，且
.
记过两点的直线为，则的方程为. ..3分
（Ⅰ）由于在线段上，故.
记的斜率为，的斜率为，则，
所以. 5分
（Ⅱ）设与轴的交点为，
则.
由题设可得，所以（舍去），.
设满足条件的的中点为.
当与轴不垂直时，由可得.
而，所以.学 ^
当与轴垂直时，与重合，所以，所求轨迹方程为. .12分
1.【2015高考四川，理10】设直线l与抛物线相交于A，B两点，与圆相切于点M，且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】显然当直线的斜率不存在时，必有两条直线满足题设.当直线的斜率存在时，设斜率为.设，则，相减得.由于，所以，即.圆心为，由得，所以，即点M必在直线上.将代入得.因为点M在圆上，所以.又（由于斜率不存在，故，所以不取等号），所以.选D.

2.【2015高考天津，理6】已知双曲线 的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线 的准线上，则双曲线的方程为( )
（A） （B）（C）（D）
【答案】D

3.【2015高考浙江，理5】如图，设抛物线的焦点为，不经过焦点的直线上有三个不同的点，，，其中点，在抛物线上，点在轴上，则与的面积之比是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A.
【解析】
，故选A.
4.【2015高考上海，理5】抛物线（）上的动点到焦点的距离的最小值为，则 ．
【答案】
【解析】因为抛物线上动点到焦点的距离为动点到准线的距离，因此抛物线上动点到焦点的最短距离为顶点到准线的距离，即
1．（2014·广东卷）曲线y＝e－5x＋2在点(0，3)处的切线方程为 ．
【答案】y＝－5x＋3　

2．（2014·辽宁卷）已知点A(－2，3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为(　　)
A. B. C. D.
【答案】D　
【解析】因为抛物线C：y2＝2px的准线为x＝－，且点A(－2，3)在准线上，所以p＝4.设直线AB的方程为x＋2＝m(y－3)，与抛物线方程y2＝8x联立得到y2－8my＋24m＋16＝0，由题易知Δ＝0，解得m＝－(舍)或者m＝2，这时B点的坐标为(8，8)，而焦点F的坐标为(2，0)，故直线BF的斜率kBF＝＝.
3．（2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点．若＝4，则|QF|＝(　　)
A. B．3
C. D．2
【答案】B　
【解析】由题知F(2，0)，设P(－2，t)，Q(x0，y0)，则FP＝(－4，t)，＝(x0－2，y0)，由FP＝4FQ，得－4＝4(x0－2)，解得x0＝1，根据抛物线定义得|QF|＝x0＋2＝3.
4．（2014·安徽卷）如图1­4，已知两条抛物线E1：y2＝2p1x(p1＞0)和E2：y2＝2p2x(p2＞0)，过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1，A2两点，l2与E1，E2分别交于B1，B2两点．

图1­4
(1)证明：A1B1∥A2B2；
(2)过O作直线l(异于l1，l2)与E1，E2分别交于C1，C2两点，记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2，求的值．

(2)由(1)知A1B1∥A2B2，同理可得B1C1∥B2C2，C1A1∥C2A2，所以△A1B1C1∽△A2B2C2，
因此＝.
又由(1)中的＝||知，＝，
故＝.
5．（2014·湖北卷）在平面直角坐标系xOy中，点M到点F(1，0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.
(1)求轨迹C的方程；
(2)设斜率为k的直线l过定点P(－2，1)，求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围．
【解析】解：(1)设点M(x，y)，依题意得|MF|＝|x|＋1，即＝|x|＋1，
化简整理得y2＝2(|x|＋x)．
故点M的轨迹C的方程为y2＝

(i)若由②③解得k.
即当k∈(－∞，－1)∪时，直线l与C1没有公共点，与C2有一个公共点．故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点．
(ii)若或
由②③解得k∈或－≤k0，y≥0)和部分抛物线C2：y＝－x2＋1(y≤0)连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为.
(1)求a，b的值；
(2)过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q(均异于点A，B)，若AP⊥AQ，求直线l的方程．

图1­5

(2)方法一：由(1)知，上半椭圆C1的方程为＋x2＝1(y≥0)．
易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为y＝k(x－1)(k≠0)，
代入C1的方程，整理得
(k2＋4)x2－2k2x＋k2－4＝0.( )
设点P的坐标为(xP，yP)，
∵直线l过点B，∴x＝1是方程( )的一个根．
由求根公式，得xP＝，从而yP＝，
∴点P的坐标为.
同理，由
得点Q的坐标为(－k－1，－k2－2k)．

经检验，k＝－符合题意，
故直线l的方程为y＝－(x－1)．
方法二：若设直线l的方程为x＝my＋1(m≠0)，比照方法一给分．