2019届二轮复习（理）专题65数学归纳法学案（全国通用）

1.了解数学归纳法的原理；

2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

1．数学归纳法

证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：

(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N )时命题成立；

(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N )时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．

2．数学归纳法的框图表示

高频考点一　算法的顺序结构

例1、f(x)＝x2－2x－3.求f(3)、f(－5)、f(5)，并计算f(3)＋f(－5)＋f(5)的值．设计出解决该问题的一个算法，并画出程序框图．

第六步，把x＝5代入y3＝x2－2x－3.

第七步，把y1，y2，y3的值代入y＝y1＋y2＋y3.

第八步，输出y1，y2，y3，y的值．

该算法对应的程序框图如图所示：

【特别提醒】(1)顺序结构是最简单的算法结构，语句与语句之间、框与框之间是按从上到下的顺序进行的．

(2)解决此类问题，只需分清运算步骤，赋值量及其范围进行逐步运算即可．

【变式探究】如图所示的程序框图，根据该图和下列各小题的条件回答下面的几个小题．

(1)该程序框图解决的是一个什么问题？

(2)当输入的x的值为0和4时，输出的值相等，问当输入的x的值为3时，输出的值为多大？

(3)在(2)的条件下要想使输出的值最大，输入的x的值应为多大？

【解析】　(1)该程序框图解决的是求二次函数f(x)＝－x2＋mx的函数值的问题；

(2)当输入的x的值为0和4时，输出的值相等，

即f(0)＝f(4)．

因为f(0)＝0，f(4)＝－16＋4m，

所以－16＋4m＝0，

所以m＝4，f(x)＝－x2＋4x.

则f(3)＝－32＋4×3＝3，

所以当输入的x的值为3时，输出的f(x)的值为3；

高频考点二　算法的条件结构

例2、如图中x1，x2，x3为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，p为该题的最终得分．当x1＝6，x2＝9，p＝8.5时，x3等于(　　)

A．11B．10C．8D．7

思维点拨　依据第二个判断框的条件关系，判断是利用“x2＝x3”，还是利用“x1＝x3”，从而验证p是否为8.5.

【答案】C

【解析】x1＝6，x2＝9，|x1－x2|＝3<2不成立，即为“否”，所以再输入x3；由绝对值的意义(一个点到另一个点的距离)和不等式|x3－x1|<|x3－x2|知，点x3到点x1的距离小于点x3到点x2的距离，所以当x3<7.5时，|x3－x1|<|x3－x2|成立，即为“是”，此时x2＝x3，所以p＝，即＝8.5，解得x3＝11>7.5，不合题意；当x3>7.5时，|x3－x1|<|x3－x2|不成立，即为“否”，此时x1＝x3，所以p＝，即＝8.5，解得x3＝8>7.5，符合题意，故选C.

【特别提醒】

(1)条件结构中条件的判断关键是明确条件结构的功能，然后根据“是”的分支成立的条件进行判断；

(2)对条件结构，无论判断框中的条件是否成立，都只能执行两个分支中的一个，不能同时执行两个分支．

【变式探究】(2014·四川)执行如图所示的程序框图，如果输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为(　　)

A．0 B．1

C．2 D．3

【答案】C

【解析】当条件x≥0，y≥0，x＋y≤1不成立时输出S的值为1；当条件x≥0，y≥0，x＋y≤1成立时S＝2x＋y，下面用线性规划的方法求此时S的最大值．

高频考点三　算法的循环结构

例3、执行如图所示的程序框图，则输出s的值为(　　)

A．10 B．17

C．19 D．36

【答案】C

【特别提醒】

利用循环结构表示算法，第一要确定是利用当型还是直到型循环结构；第二准确表示累计变量；第三要注意从哪一步开始循环．弄清进入或终止的循环条件、循环次数是做题的关键．

【变式探究】当m＝7，n＝3时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为(　　)

A．7B．42C．210D．840

【答案】C

【解析】程序框图的执行过程如下：

m＝7，n＝3时，m－n＋1＝5，

k＝m＝7，S＝1，S＝1×7＝7；

k＝k－1＝6>5，S＝6×7＝42；

k＝k－1＝5＝5，S＝5×42＝210；

k＝k－1＝4<5，输出S＝210.故选C.

高频考点四　基本算法语句

例4、阅读下面两个算法语句：

图1                               图2

执行图1中语句的结果是输出        ；

执行图2中语句的结果是输出        ．

【答案】i＝4　i＝2

【特别提醒】解决算法语句有三个步骤：首先通读全部语句，把它翻译成数学问题；其次领悟该语句的功能；最后根据语句的功能运行程序，解决问题．

【变式探究】　设计一个计算1×3×5×7×9×11×13的算法．图中给出了程序的一部分，则在横线上不能填入的数是(　　)

A．13    B．13.5    C．14     D．14.5

【答案】A

1.【2016江苏高考，26】（1）求的值；

（2）设m，nN ，n≥m，求证：

（m+1）+（m+2）+（m+3）++n+（n+1）=（m+1）.

【答案】（1）0（2）详见解析

【解析】（1）

（2）当时，结论显然成立，当时

又因为

所以

因此

1.【2015江苏高考，23】（本小题满分10分）

   已知集合，，

，令表示集合所含元素的个数.

（1）写出的值；

（2）当时，写出的表达式，并用数学归纳法证明.

【答案】（1）13（2）

【解析】（1）．

（2）当时，（）．

下面用数学归纳法证明：

①当时，，结论成立；

②假设（）时结论成立，那么时，在的基础上新增加的元素在，，中产生，分以下情形讨论：

4）若，则，此时有

，结论成立；

5）若，则，此时有

，结论成立；

6）若，则，此时有

，结论成立．学 

综上所述，结论对满足的自然数均成立．

2.【2015高考北京，理20】已知数列满足：，，且．

记集合．

（Ⅰ）若，写出集合的所有元素；

（Ⅱ）若集合存在一个元素是3的倍数，证明：的所有元素都是3的倍数；

（Ⅲ）求集合的元素个数的最大值．

【答案】（1），（2）证明见解析，（3）8

【解析】（Ⅰ）由已知可知：

（Ⅱ）因为集合存在一个元素是3的倍数，所以不妨设是3的倍数，由已知，可用用数学归纳法证明对任意，是3的倍数，当时，则M中的所有元素都是3的倍数，如果时，因为或，所以是3的倍数，于是是3的倍数，类似可得，都是3的倍数，从而对任意，是3的倍数，因此的所有元素都是3的倍数.  

②中没有3的倍数，则都不是3的倍数，对于除以9的余数只能是1，4，7，2，5，8中的一个，从起，除以9的余数是1，2，4，8，7，5，1，2，4，8，   ,不断的6项循环（可能从2，4，8，7或5开始），而除以9的余数是1，2，4，8，5且是4的倍数(不大于36)，只有28，20，4，8，16，32，所以M中的项加上前两项最多8项，则时，，项数为8，所以集合的元素个数的最大值为8.

3．（2014·安徽卷） 设实数c＞0，整数p＞1，n∈N .

(1)证明：当x＞－1且x≠0时，(1＋x)p＞1＋px；

(2)数列{an}满足a1＞c，an＋1＝an＋a，证明：an＞an＋1＞c.

(2)方法一：先用数学归纳法证明an>c.

①当n＝1时，由题设知a1>c成立．

②假设n＝k(k≥1，k∈N )时，不等式ak>c成立．

由an＋1＝an＋a易知an>0，n∈N .

当n＝k＋1时，＝＋a＝

1＋.

由ak>c>0得－1<－<<0.

由(1)中的结论得＝>1＋p· ＝.

因此a>c，即ak＋1>c，

所以当n＝k＋1时，不等式an>c也成立．     

综合①②可得，对一切正整数n，不等式an>c均成立．

再由＝1＋可得<1，

即an＋1<an.

综上所述，an>an＋1>c，n∈N .

方法二：设f(x)＝x＋x1－p，x≥c，则xp≥c，

所以f′(x)＝＋(1－p)x－p＝>0.

由此可得，f(x)在[c，＋∞)上单调递增，因而，当x>c时，f(x)>f(c)＝c.

①当n＝1时，由a1>c>0，即a>c可知

a2＝a1＋a＝a1<a1，并且a2＝f(a1)>c，从而可得a1>a2>c，

故当n＝1时，不等式an>an＋1>c成立．

②假设n＝k(k≥1，k∈N )时，不等式ak>ak＋1>c成立，则当n＝k＋1时，f(ak)>f(ak＋1)>f(c)，

即有ak＋1>ak＋2>c，

所以当n＝k＋1时，原不等式也成立．

综合①②可得，对一切正整数n，不等式an>an＋1>c均成立．

4．（2014·陕西卷） 设函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的导函数．

(1)令g1(x)＝g(x)，gn＋1 (x)＝g(gn(x))，n∈N＋，求gn(x)的表达式；

(2)若f(x)≥ag(x)恒成立，求实数a的取值范围；

(3)设n∈N＋，比较g(1)＋g(2)＋…＋g(n)与n－f(n)的大小，并加以证明．

那么，当n＝k＋1时，gk＋1(x)＝g(gk(x))＝＝＝，即结论成立．

由①②可知，结论对n∈N＋成立．

(3)由题设知g(1)＋g(2)＋…＋g(n)＝＋＋…＋，

比较结果为g(1)＋g(2)＋…＋g(n)>n－ln(n＋1)．

证明如下：

方法一：上述不等式等价于＋＋…＋<ln(n＋1)，

在(2)中取a＝1，可得ln(1＋x)>，x>0.

令x＝，n∈N＋，则<ln.  ]

下面用数学归纳法证明．

①当n＝1时，<ln 2，结论成立．

②假设当n＝k时结论成立，即＋＋…＋<ln(k＋1)．

那么，当n＝k＋1时，＋＋…＋＋<ln(k＋1)＋<ln(k＋1)＋ln＝ln(k＋2)，

即结论成立．

由①②可知，结论对n∈N＋成立．

方法三：如图，dx是由曲线y＝，x＝n及x轴所围成的曲边梯形的面积，而＋＋…＋是图中所示各矩形的面积和，学^ 

∴＋＋…＋>dx＝

dx＝n－ln(n＋1)，

结论得证．

5．（2014·重庆卷） 设a1＝1，an＋1＝＋b(n∈N )．

(1)若b＝1，求a2，a3及数列{an}的通项公式．

(2)若b＝－1，问：是否存在实数c使得a2n<c<a2n＋1对所有n∈N 成立？证明你的结论．

【解析】(1)方法一：a2＝2，a3＝＋1.

再由题设条件知

(an＋1－1)2＝(an－1)2＋1.

从而{(an－1)2}是首项为0，公差为1的等差数列，

故(an－1)2＝n－1，即an＝＋1(n∈N )．

方法二：a2＝2，a3＝＋1.

可写为a1＝＋1，a2＝＋1，a3＝＋1.因此猜想an＝＋1.

下面用数学归纳法证明上式．

当n＝1时，结论显然成立．

假设n＝k时结论成立，即ak＝＋1，则

ak＋1＝＋1＝＋1＝＋1，

这就是说，当n＝k＋1时结论成立．

所以an＝＋1(n∈N )．

再由f(x)在(－∞，1]上为减函数，得c＝f(c)<f(a2k＋2)<f(a2)＝a3<1，

故c<a2k＋3<1，因此a2(k＋1)<c<a2(k＋1)＋1<1，这就是说，当n＝k＋1时结论成立．

综上，存在 c＝使a2n<C<a2a＋1对所有n∈N 成立．

方法二：设f(x)＝－1，则an＋1＝f(an)．

先证：0≤an≤1(n∈N )．　　①

当n＝1时，结论明显成立．

假设n＝k时结论成立，即0≤ak≤1.

易知f(x)在(－∞，1]上为减函数，从而

0＝f(1)≤f(ak)≤f(0)＝－1<1. 学 .

即0≤ak＋1≤1.这就是说，当n＝k＋1时结论成立．故①成立．

再证：a2n<a2n＋1(n∈N )．　②

当n＝1时，a2＝f(1)＝0，a3＝f(a2)＝f(0)＝－1，所以a2<a3，即n＝1时②成立．

假设n＝k时，结论成立，即a2k<a2k＋1.

由①及f(x)在(－∞，1]上为减函数，得

a2k＋1＝f(a2k)>f(a2k＋1)＝a2k＋2，

a2(k＋1)＝f(a2k＋1)<f(a2k＋2)＝a2(k＋1)＋1.

这就是说，当n＝k＋1时②成立．所以②对一切n∈N 成立．

由②得a2n<－1，

即(a2n＋1)2<a－2a2n＋2，

因此a2n<.　③

又由①②及f(x)在(－∞，1]上为减函数，得f(a2n)>f(a2n＋1)，即a2n＋1>a2n＋2.

所以a2n＋1>－1，解得a2n＋1>.　④

综上，由②③④知存在c＝使a2n<c<a2n＋1对一切n∈N 成立．