2019届二轮复习（理）专题六第二讲圆锥曲线的方程与性质学案（全国通用）

第二讲　圆锥曲线的方程与性质


考点一　圆锥曲线的定义与标准方程
圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)；
(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)；
(3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于M.
[对点训练]
1．(2018·江西九江模拟)F1，F2是椭圆＋＝1的左、右焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面积为(　　)
A．7 B. C. D.
[解析]　由题意可得，a＝3，b＝，c＝，|AF1|＋|AF2|＝6.
∴|AF2|＝6－|AF1|.
在△AF1F2中，|AF2|2＝|AF1|2＋|F1F2|2－2|AF1|·|F1F2|·cos45°＝|AF1|2－4|AF1|＋8，∴(6－|AF1|)2＝|AF1|2－4|AF1|＋8，
解得|AF1|＝，
∴△AF1F2的面积S＝××2×＝，故选C.
[答案]　C
2．(2018·河南新乡二模)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点B是虚轴的一个端点，线段BF与双曲线C的右支交于点A，若＝2，且||＝4，则双曲线C的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
[解析]　不妨设B(0，b)，由＝2，F(c,0)，可得A，代入双曲线C的方程可得×－＝1，即·＝，∴＝，①
又||＝＝4，c2＝a2＋b2，
∴a2＋2b2＝16，②
由①②可得，a2＝4，b2＝6，
∴双曲线C的方程为－＝1，故选D.
[答案]　D
3．抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面积为4，则抛物线的方程为(　　)
A．y2＝6x B．y2＝8x
C．y2＝16x D．y2＝x
[解析]　设M(x，y)，因为|OF|＝，|MF|＝4|OF|，所以|MF|＝2p，由抛物线定义知x＋＝2p，所以x＝p，所以y＝±p，又△MFO的面积为4，所以××p＝4，解得p＝4(p＝－4舍去)．所以抛物线的方程为y2＝8x.
[答案]　B
4．(2018·安徽淮南三校联考)已知双曲线－＝1右焦点为F，P为双曲线左支上一点，点A(0，)，则△APF周长的最小值为(　　)
A．4＋ B．4(1＋)
C．2(＋) D.＋3
[解析]　由题意知F(，0)，设左焦点为F0，则F0(－，0)，由题可知△APF的周长l为|PA|＋|PF|＋|AF|，而|PF|＝2a＋|PF0|，∴l＝|PA|＋|PF0|＋2a＋|AF|≥|AF0|＋|AF|＋2a＝＋＋2×2＝4＋4＝4(＋1)，当且仅当A、F0、P三点共线时取得“＝”，故选B.
[答案]　B
[快速审题]　看到求圆锥曲线方程，想到待定系数法、定义法；看到椭圆和双曲线上一点与两焦点构成的三角形，想到定义的应用．






　求解圆锥曲线标准方程的思路方法
(1)定型，就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程．
(2)计算，即利用定义或待定系数法求出方程中的a2，b2或p.
考点二　圆锥曲线的几何性质
1．在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为e＝＝ .
2．在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为e＝＝.
3．双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x.

[解析]　



[答案]　(1)A　(2)D

[解析]　

[答案]　

[解析]　

[答案]　






[解析]　

[答案]　C

[解析]　


[答案]　A
考点三　抛物线中的最值问题
　

[解析]　(1)由题意得圆x2＋(y－4)2＝1的圆心A(0,4)，半径r＝1，抛物线的焦点F(1,0)．由抛物线的几何性质可得：点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是|AF|－r＝－1＝－1.选C.
(2)过P作PM⊥l于M，则由抛物线定义知|PM|＝|PF|，
故|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PM|.
当A、P、M三点共线时，
|PA|＋|PM|最小，此时点P坐标为(2,2)，故选C.

[答案]　(1)C　(2)C



　与抛物线最值有关问题的两种转化
(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．
(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”解决．
[对点训练]
1．(2018·郑州检测)已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为(　　)
A. B. C．1 D．2
[解析]　由题意知，抛物线的准线l：y＝－1，过点A作AA1⊥l交l于点A1，过点B作BB1⊥l交l于点B1，设弦AB的中点为M，过点M作MM1⊥l交l于点M1，则
|MM1|＝.因为|AB|≤|AF|＋|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|＋|BF|≥6，所以|AA1|＋|BB1|≥6，2|MM1|≥6，|MM1|≥3，故点M到x轴的距离d≥2，选D.
[答案]　D
2．已知点F为抛物线y2＝－8x的焦点，O为坐标原点，点P是抛物线准线上一动点，点A在抛物线上，且|AF|＝4，则|PA|＋|PO|的最小值为(　　)
A．6 B．2＋4
C．2 D．4
[解析]　由已知可得抛物线y2＝－8x的焦点为F(－2,0)，准线方程为x＝2.设点A的坐标为(x0，y0)，根据抛物线的定义可得2－x0＝4，所以x0＝－2，y0＝±4.O关于准线的对称点为O′(4,0)，则当点P为AO′与准线x＝2的交点时，|PA|＋|PO|有最小值，且最小值为|AO′|＝2.
[答案]　C

1．(2018·浙江卷)双曲线－y2＝1的焦点坐标是(　　)
A．(－，0)，(，0) B．(－2,0)，(2,0)
C．(0，－)，(0，) D．(0，－2)，(0,2)
[解析]　∵a2＝3，b2＝1，∴c＝＝2.又∵焦点在x轴上，∴双曲线的焦点坐标为(－2,0)，(2,0)．
[答案]　B
2．(2018·天津卷)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
[解析]　∵双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，∴e2＝1＋＝4，∴＝3，即b2＝3a2，∴c2＝a2＋b2＝4a2，
由题意可设A(2a,3a)，B(2a，－3a)，
∵＝3，∴渐近线方程为y＝±x，
则点A与点B到直线x－y＝0的距离分别为d1＝＝a，d2＝＝a，又∵d1＋d2＝6，∴a＋a＝6，解得a＝，∴b2＝9，∴双曲线的方程为－＝1，故选C.
[答案]　C
3．(2018·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
[解析]　由题意易知直线AP的方程为y＝(x＋a)，①
直线PF2的方程为y＝(x－c)．②
联立①②得y＝(a＋c)，

如图，过P向x轴引垂线，垂足为H，则|PH|＝(a＋c)．
因为∠PF2H＝60°，|PF2|＝|F1F2|＝2c，|PH|＝(a＋c)，
所以sin60°＝＝
＝，
即a＋c＝5c，即a＝4c，
所以e＝＝.故选D.
[答案]　D
4．(2018·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值是________．
[解析]　双曲线的一条渐近线方程为bx－ay＝0，则F(c,0)到这条渐近线的距离为＝c，∴b＝c，∴b2＝c2，又b2＝c2－a2，∴c2＝4a2，∴e＝＝2.
[答案]　2
5．(2018·北京卷)已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)，双曲线N：－＝1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________．
[解析]　解法一：如图是一个正六边形，A，B，C，D是双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点，F1，F2为椭圆M的两个焦点．

∵直线AC是双曲线N的一条渐近线，且其方程为y＝x，
∴＝.设m＝k，则n＝k，则双曲线N的离心率e2＝＝2.
连接F1C，在正六边形ABF2CDF1中，可得∠F1CF2＝90°，∠CF1F2＝30°.
设椭圆的焦距为2c，则|CF2|＝c，|CF1|＝c，再由椭圆的定义得|CF1|＋|CF2|＝2a，即(＋1)c＝2a，∴椭圆M的离心率e1＝＝＝＝－1.
解法二：双曲线N的离心率同解法一．由题意可得C点坐标为，代入椭圆M的方程，并结合a，b，c的关系，联立得方程组
解得＝－1.
[答案]　－1　2


圆锥曲线的定义、方程与性质是每年高考必考的内容．以选择、填空题的形式考查，常出现在第4～11或15～16题的位置，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程，难度中等．

热点课题15　几何情境下的圆锥曲线问题


[感悟体验]
1．(2018·福建福州质检)已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，|F1F2|＝6，P是E右支上的一点，PF1与y轴交于点A，△PAF2的内切圆与边AF2的切点为Q.若|AQ|＝，则E的离心率是(　　)
A．2 B. C. D.
[解析]　如图所示，设PF1、PF2分别与△PAF2的内切圆切于M、N，依题意，有|MA|＝|AQ|，|NP|＝|MP|，|NF2|＝|QF2|，|AF1|＝|AF2|＝|QA|＋|QF2|，2a＝|PF1|－|PF2|＝(|AF1|＋|MA|＋|MP|)－(|NP|＋|NF2|)＝2|QA|＝2，故a＝，从而e＝＝＝，故选C.

[答案]　C
2.(2018·贵阳监测)已知点P是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)左支上一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，且PF1⊥PF2，PF2与两条渐近线相交于M、N两点(如图)，点N恰好平分线段PF2，则双曲线的离心率是________．

[解析]　由题意可知，ON为△PF1F2的中位线，∴PF1∥ON，
∴tan∠PF1F2＝tan∠NOF2＝kON＝，
∴
解得
又|PF2|－|PF1|＝2a，∴2b－2a＝2a，b＝2a，c＝＝a，e＝＝.
[答案]　
专题跟踪训练(二十五)
一、选择题
1．(2018·广西三市第一次联合调研)若抛物线y2＝2px(p>0)上的点A(x0，)到其焦点的距离是A到y轴距离的3倍，则p等于(　　)
A. B．1 C. D．2
[解析]　由题意3x0＝x0＋，x0＝，则＝2，∵p>0，∴p＝2.故选D.
[答案]　D
2．(2018·深圳一模)过点(3,2)且与椭圆3x2＋8y2＝24有相同焦点的椭圆方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
[解析]　椭圆3x2＋8y2＝24的焦点为(±，0)，可得c＝，设所求椭圆的方程为＋＝1，可得＋＝1，又a2－b2＝5，得b2＝10，a2＝15，所以所求的椭圆方程为＋＝1.故选C.
[答案]　C
3．(2018·福州模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右顶点与抛物线y2＝8x的焦点重合，且其离心率e＝，则该双曲线的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
[解析]　易知抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，所以双曲线的右顶点是(2,0)，所以a＝2.又双曲线的离心率e＝，所以c＝3，b2＝c2－a2＝5，所以双曲线的方程为－＝1，选A.
[答案]　A
4．(2018·合肥二模)若中心在原点，焦点在y轴上的双曲线离心率为，则此双曲线的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
[解析]　根据题意，该双曲线的离心率为，即e＝＝，则有c＝a，进而b＝＝a.又由该双曲线的焦点在y轴上，则其渐近线方程为y＝±x＝±x.故选B.
[答案]　B
5．(2018·郑州一模)已知双曲线－x2＝1的两条渐近线分别与抛物线y2＝2px(p>0)的准线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积为1，则p的值为(　　)
A．1 B. C．2 D．4
[解析]　双曲线－x2＝1的两条渐近线方程是y＝±2x，抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程是x＝－，故A，B两点的纵坐标分别是y＝±p.又△AOB的面积为1，∴··2p＝1.∵p>0，∴得p＝.故选B.
[答案]　B
6．(2018·东北三校联考)已知F1，F2是双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F1的直线l与E的左支交于P，Q两点，若|PF1|＝2|F1Q|，且F2Q⊥PQ，则E的离心率是(　　)
A. B. C. D.
[解析]　设|F1Q|＝t(t>0)，则|PF1|＝2t，由双曲线的定义有，|F2Q|＝t＋2a，|PF2|＝2t＋2a，又F2Q⊥PQ，所以△F1F2Q，△PQF2都为直角三角形．由勾股定理有即
解得
故离心率e＝＝.故选D.
[答案]　D
7．(2018·长沙一模)A是抛物线y2＝2px(p>0)上一点，F是抛物线的焦点，O为坐标原点，当|AF|＝4时，∠OFA＝120°，则抛物线的准线方程是(　　)
A．x＝－1 B．y＝－1
C．x＝－2 D．y＝－2
[解析]　过A向准线作垂线，设垂足为B，准线与x轴的交点为D.因为∠OFA＝120°，所以△ABF为等边三角形，∠DBF＝30°，从而p＝|DF|＝2，因此抛物线的准线方程为x＝－1.选A.
[答案]　A
8．(2018·陕西西安三模)已知圆x2＋y2－4x＋3＝0与双曲线－＝1的渐近线相切，则双曲线的离心率为(　　)
A. B．2 C．2 D.
[解析]　将圆的一般方程x2＋y2－4x＋3＝0化为标准方程(x－2)2＋y2＝1.由圆心(2,0)到直线x－y＝0的距离为1，得＝1，解得2＝，所以双曲线的离心率为e＝ ＝.故选D.
[答案]　D
9．(2018·宁夏银川一中二模)已知直线y＝x和椭圆＋＝1(a>b>0)交于不同的两点M，N，若M，N在x轴上的射影恰好为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率为(　　)
A. B. C. D.
[解析]　由题意可知，M，N在x轴上的射影恰好为椭圆的两个焦点，则M点坐标为，则＝c，则3b2＝2ac，即3c2＋2ac－3a2＝0.
上式两边同除以a2，整理得3e2＋2e－3＝0，解得e＝－或e＝.由0 [答案]　C
10．(2018·杭州第一次质检)设双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|BF2|＋|AF2|的最小值为(　　)
A. B．11 C．12 D．16
[解析]　由双曲线定义可得|AF2|－|AF1|＝2a＝4，|BF2|－|BF1|＝2a＝4，两式相加可得|AF2|＋|BF2|＝|AB|＋8，由于AB为经过双曲线的左焦点与左支相交的弦，而|AB|min＝＝3，故|AF2|＋|BF2|＝|AB|＋8≥3＋8＝11.故选B.
[答案]　B
11．(2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝(　　)
A. B．3 C．2 D．4
[解析]　由双曲线C：－y2＝1可知其渐近线方程为y＝±x，∴∠MOx＝30°，∴∠MON＝60°，不妨设∠OMN＝90°，则易知焦点F到渐近线的距离为b，即|MF|＝b＝1，又知|OF|＝c＝2，∴|OM|＝，则在Rt△OMN中，|MN|＝|OM|·tan∠MON＝3.故选B.

[答案]　B
12．(2018·济宁模拟)如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1，A2，B1，B2，焦点分别为F1，F2，延长B1F2与A2B2交于P点，若∠B1PA2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为(　　)

A. B.
C. D.
[解析]　设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，∠B1PA2为钝角可转化为，所夹的角为钝角，则(a，－b)·(－c，－b)<0，得b20，即e2＋e－1>0，e>或e<，又0 [答案]　D
二、填空题
13．(2018·成都摸底测试)已知双曲线－＝1(a>0)和抛物线y2＝8x有相同的焦点，则双曲线的离心率为________．
[解析]　易知抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，所以双曲线－＝1的焦点为(2,0)，则a2＋2＝22，即a＝，所以双曲线的离心率e＝＝＝.
[答案]　
14．(2018·湖北八校联考)如图所示，已知椭圆C的中心为原点O，F(－5,0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|＝|OF|且|PF|＝6，则椭圆C的方程为________．

[解析]　由题意可得c＝5，设右焦点为F′，连接PF′，由|OP|＝|OF|＝|OF′|知，∠PFF′＝∠FPO，∠OF′P＝∠OPF′，∴∠PFF′＋∠OF′P＝∠FPO＋∠OPF′，∴∠FPO＋∠OPF′＝90°，即PF⊥PF′.在Rt△PFF′中，由勾股定理，得|PF′|＝＝＝8，
由椭圆的定义，得|PF|＋|PF′|＝2a＝6＋8＝14，从而a＝7，a2＝49，
于是b2＝a2－c2＝49－52＝24，∴椭圆C的方程为＋＝1.
[答案]　＋＝1
15．(2018·西安四校联考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线分别交双曲线的两条渐近线于P、Q两点，若P恰为线段F1Q的中点，且QF1⊥QF2，则此双曲线的渐近线方程为____________．
[解析]　根据题意，P是线段F1Q的中点，QF1⊥QF2，且O是线段F1F2的中点，故OP⊥F1Q，而两条渐近线关于y轴对称，故∠POF1＝∠QOF2，又∠POF1＝∠POQ，所以∠QOF2＝60°，渐近线的斜率为±，故渐近线方程为y＝±x.
[答案]　y＝±x
16.如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是________．

[解析]　由已知条件易得B，C，F(c,0)，∴＝，＝，
由∠BFC＝90°，可得·＝0，
所以＋2＝0，
c2－a2＋b2＝0，
即4c2－3a2＋(a2－c2)＝0，
亦即3c2＝2a2，
所以＝，则e＝＝.
[答案]