2019届二轮复习（理）专题一第一讲集合、常用逻辑用语学案

 第一讲　集合、常用逻辑用语


年份
卷别
考查角度及命题位置
命题分析
2018
Ⅰ卷
集合的补集运算·T2
　　本部分作为高考必考内容，多年来命题较稳定，多以选择题形式在第1、2题的位置进行考查，难度较低．命题的热点依然会集中在集合的运算上．对常用逻辑用语考查的频率不高，且命题点分散，多为几个知识点综合考查，难度中等，其中充分必要条件的判断近几年全国卷虽未考查，但为防高考“爆冷”考查，在二轮复习时不可偏颇．该考点多结合函数、向量、三角、不等式、数列等内容命题.
Ⅱ卷
集合中元素个数问题·T2
Ⅲ卷
集合交集运算·T1
2017
Ⅰ卷
集合的交、并运算与指数不等式解法·T1
Ⅱ卷
已知集合交集求参数值·T2
Ⅲ卷
已知点集求交点个数·T1
2016
Ⅰ卷
集合的交集运算·T1
Ⅱ卷
集合的并集运算、一元二次不等式的解法·T2
Ⅲ卷
集合的交集运算、一元二次不等式的解法·T1


集合的概念及运算

授课提示：对应学生用书第3页

[悟通——方法结论]
1．集合的运算性质及重要结论
(1)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.
(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.
(3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U.
(4)A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.
2．集合运算中的常用方法
(1)若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解．
(2)若已知的集合是点集，用数形结合法求解．
(3)若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解．
　(1)(2018·南宁模拟)设集合M＝{x|x<4}，集合N＝{x|x2－2x<0}，则下列关系中正确的是(　　)
A．M∪N＝M B．M∪∁RN＝M
C．N∪∁RM＝R D．M∩N＝M
解析：∵M＝{x|x<4}，N＝{x|0 答案：A
(2)(2018·宜昌模拟)已知两个集合A＝{x∈R|y＝}，B＝{x|≥0}，则A∩B＝(　　)
A．{x|－1≤x≤1} B．{x|－1≤x<1}
C．{－1,1} D．∅
解析：∵A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|－1≤x<1}，∴A∩B＝{x|－1≤x＜1}．
答案：B


破解集合运算需掌握2招
　第1招，化简各个集合，即明确集合中元素的性质，化简集合；
第2招，借形解题，即与不等式有关的无限集之间的运算常借助数轴，有限集之间的运算常用Venn图(或直接计算)，与函数的图象有关的点集之间的运算常借助坐标轴等，再根据集合的交集、并集、补集的定义进行基本运算．

[练通——即学即用]
1．(2018·高考全国卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为(　　)
A．9 B．8
C．5 D．4
解析：将满足x2＋y2≤3的整数x，y全部列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个．
故选A.
答案：A
2．(2018·德州模拟)设全集U＝R，集合A＝{x∈Z|y＝}，B＝{y|y＝2x，x>1}，则A∩(∁UB)＝(　　)
A．{2} B．{1,2}
C．{－1,0,1,2} D．{0,1,2}
解析：由题意知，A＝{x∈Z|4x－x2≥0}＝{x∈Z|0≤x≤4}＝{0,1,2,3,4}，B＝{y|y>2}，则∁UB＝{y|y≤2}，则A∩(∁UB)＝{0,1,2}，故选D.
答案：D
3．(2018·枣庄模拟)已知集合A＝{|m|,0}，B＝{－2,0,2}，若A⊆B，则∁BA＝(　　)
A．{－2,0,2} B．{－2,0}
C．{－2} D．{－2,2}
解析：由A⊆B得|m|＝2，所以A＝{0,2}．故∁BA＝{－2}．
答案：C



命题及真假判断

授课提示：对应学生用书第4页

[悟通——方法结论]
1．全称命题和特称命题的否定归纳
∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，綈p(x0)．简记：改量词，否结论．
2．“或”“且”联结词的否定形式
“p或q”的否定形式是“非p且非q”，“p且q”的否定形式是“非p或非q”．
3．命题的“否定”与“否命题”是两个不同的概念，命题p的否定是否定命题所作的判断，而“否命题”是对“若p，则q”形式的命题而言，既要否定条件也要否定结论．
[全练——快速解答]
1．(2018·西安质检)已知命题p：∃x0∈R，log2(3x0＋1)≤0，则(　　)
A．p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0
B．p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0
C．p是真命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0
D．p是真命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0
解析：∵3x>0，∴3x＋1>1，则log2(3x＋1)>0，∴p是假命题；綈p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0.
答案：B
2．给出下列3个命题：p1：函数y＝ax＋x(a>0，且a≠1)在R上为增函数；p2：∃a0，b0∈R，a－a0b0＋b<0；p3：cos α＝cos β成立的一个充分不必要条件是α＝2kπ＋β(k∈Z)．
则下列命题中的真命题为(　　)
A．p1∨p2　 B．p2∨(綈p3)
C．p1∨(綈p3) D．(綈p2)∧p3
解析：对于p1，令f(x)＝ax＋x(a>0，且a≠1)，当a＝时，f(0)＝0＋0＝1，f(－1)＝－1－1＝1，所以p1为假命题；对于p2，因为a2－ab＋b2＝2＋b2≥0，所以p2为假命题；对于p3，因为cos α＝cos β⇔α＝2kπ±β(k∈Z)，所以p3为真命题，所以(綈p2)∧p3为真命题，故选D.
答案：D
3．命题“若xy＝1，则x，y互为倒数”的否命题为________；命题的否定为________．
答案：若xy≠1，则x，y不互为倒数
若xy＝1，则x，y不互为倒数

判断含有逻辑联结词命题真假的方法
方法一(直接法)：(1)确定这个命题的结构及组成这个命题的每个简单命题；(2)判断每个简单命题的真假；(3)根据真值表判断原命题的真假．
方法二(间接法)：根据原命题与逆否命题的等价性，判断原命题的逆否命题的真假性．此法适用于原命题的真假性不易判断的情况．




充分、必要条件的判断

授课提示：对应学生用书第4页

[悟通——方法结论]
　充分、必要条件的判断：考查形式多与其他知识交汇命题．常见的交汇知识点有：函数性质、不等式、三角函数、向量、数列、解析几何等，有一定的综合性．
　(1)“a＝－2”是“直线l1：ax－y＋3＝0与l2：2x－(a＋1)y＋4＝0互相平行”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：当a＝－2时，直线l1：2x＋y－3＝0，l2：2x＋y＋4＝0，所以直线l1∥l2；若l1∥l2，则－a(a＋1)＋2＝0，解得a＝－2或a＝1.所以“a＝－2”是“直线l1：ax－y＋3＝0与l2：2x－(a＋1)y＋4＝0互相平行”的充分不必要条件．
答案：A
(2)(2018·南昌模拟)已知m，n为两个非零向量，则“m与n共线”是“m·n＝|m·n|”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：当m与n反向时，m·n<0，而|m·n|>0，故充分性不成立．若m·n＝|m·n|，则m·n＝|m|·|n|cos〈m，n〉＝|m|·|n|·|cos 〈m，n〉|，则cos〈m，n〉＝|cos〈m，n〉|，故cos〈m，n〉≥0，即0°≤〈m，n〉≤90°，此时m与n不一定共线，即必要性不成立．故“m与n共线”是“m·n＝|m·n|”的既不充分也不必要条件，故选D.
答案：D

快审题
看到充分与必要条件的判断，想到定条件，找推式(即判定命题“条件⇒结论”和“结论⇒条件”的真假)，下结论(若“条件⇒结论”为真，且“结论⇒条件”为假，则为充分不必要条件)．
用妙法
根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy≠1”是“x≠1”或y≠1的某种条件，即可转化为判断“x＝1且y＝1”是“xy＝1”的某种条件．
避误区
“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.

[练通——即学即用]
1．(2018·胶州模拟)设x，y是两个实数，命题“x，y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是(　　)
A．x＋y＝2 B．x＋y>2
C．x2＋y2>2 D．xy>1
解析：当时，有x＋y≤2，但反之不成立，例如当x＝3，y＝－10时，满足x＋y≤2，但不满足所以是x＋y≤2的充分不必要条件．所以“x＋y>2”是“x，y中至少有一个数大于1”的充分不必要条件．
答案：B
2．(2018·合肥模拟)祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积恒相等，那么体积相等．设A，B为两个同高的几何体，p：A，B的体积不相等，q：A，B在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p是q的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：根据祖暅原理，“A，B在等高处的截面积恒相等”是“A，B的体积相等”的充分不必要条件，即綈q是綈p的充分不必要条件，即命题“若綈q, 则綈p”为真，逆命题为假，故逆否命题“若p，则q”为真，否命题“若q，则p”为假，即p是q的充分不必要条件，选A.
答案：A



授课提示：对应学生用书第115页

一、选择题
1．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2＞0}，则∁RA＝(　　)
A．{x|－1＜x＜2}　 B．{x|－1≤x≤2}
C．{x|x＜－1}∪{x|x＞2} D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}
解析：∵x2－x－2＞0，∴(x－2)(x＋1)＞0，∴x＞2或x＜－1，即A＝{x|x＞2或x＜－1}．在数轴上表示出集合A，如图所示．

由图可得∁RA＝{x|－1≤x≤2}．
故选B.
答案：B
2．(2017·高考山东卷)设函数y＝的定义域为A，函数 y＝ln(1－x)的定义域为B，则A∩B＝(　　)
A．(1,2)　　　 B．(1,2]
C．(－2,1) D．[－2,1)
解析：由题意可知A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x<1}，故A∩B＝{x|－2≤x<1}．
答案：D
3.设A＝{x|x2－4x＋3≤0}，B＝{x|ln(3－2x)<0}，则图中阴影部分表示的集合为(　　)
A. B.
C. D.
解析：A＝{x|x2－4x＋3≤0}＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|ln(3－2x)<0}＝{x|0<3－2x<1}＝，结合Venn图知，图中阴影部分表示的集合为A∩B＝.
答案：B
4．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为(　　)
A．3　　　　　　　　 B．2
C．1 D．0
解析：因为A表示圆x2＋y2＝1上的点的集合，B表示直线y＝x上的点的集合，直线y＝x与圆x2＋y2＝1有两个交点，所以A∩B中元素的个数为2.
答案：B
5．(2018·合肥模拟)已知命题q：∀x∈R，x2>0，则(　　)
A．命题綈q：∀x∈R，x2≤0为假命题
B．命题綈q：∀x∈R，x2≤0为真命题
C．命题綈q：∃x0∈R，x≤0为假命题
D．命题綈q：∃x0∈R，x≤0为真命题
解析：全称命题的否定是将“∀”改为“∃”，然后再否定结论．又当x＝0时，x2≤0成立，所以綈q为真命题．
答案：D
6．(2018·郑州四校联考)命题“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题是(　　)
A．若a≤b，则a＋c≤b＋c
B．若a＋c≤b＋c，则a≤b
C．若a＋c>b＋c，则a>b
D．若a>b，则a＋c≤b＋c
解析：命题的否命题是将原命题的条件和结论均否定，所以题中命题的否命题为“若a≤b，则a＋c≤b＋c”，故选A.
答案：A
7．(2018·石家庄模拟)“x>1”是“x2＋2x>0”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件

C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：由x2＋2x>0，得x>0或x<－2，所以“x>1”是“x2＋2x>0”的充分不必要条件．
答案：A
8．已知集合A＝{x|x2≥4}，B＝{m}．若A∪B＝A，则m的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2) B．[2，＋∞)
C．[－2,2] D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
解析：因为A∪B＝A，所以B⊆A，即m∈A，得m2≥4，所以m≥2或m≤－2.
答案：D
9．(2018·石家庄模拟)已知a，b∈R，下列四个条件中，使“a>b”成立的必要不充分条件是(　　)
A．a>b－1 B．a>b＋1
C．|a|>|b| D．2a>2b
解析：由a>b－1不一定能推出a>b，反之由a>b可以推出a>b－1，所以“a>b－1”是“a>b”的必要不充分条件．故选A.
答案：A
10．已知命题p：“x＝0”是“x2＝0”的充要条件，命题q：“x＝1”是“x2＝1”的充要条件，则下列命题为真命题的是(　　)
A．p∧q B．(綈p)∨q
C．p∧(綈q) D．(綈p)∧q
解析：易知命题p为真命题，q为假命题，根据复合命题的真值表可知p∧(綈q)为真命题．
答案：C
11．(2018·济宁模拟)已知命题p：“x<0”是“x＋1<0”的充分不必要条件，命题q：若随机变量X～N(1，σ2)(σ>0)，且P(0 A．p∨(綈q) B．p∧q
C．p∨q D．(綈p)∧(綈q)
解析：因为“x<0”是“x＋1<0”的必要不充分条件，所以p为假命题，因为P(0 答案：C
12．下列命题是假命题的是(　　)
A．命题“若x2＋x－6＝0，则x＝2”的逆否命题为“若x≠2，则x2＋x－6≠0”
B．若命题p：∃x0∈R，x＋x0＋1＝0，则綈p：∀x∈R，x2＋x＋1≠0
C．若p∨q为真命题，则p、q均为真命题
D．“x>2”是“x2－3x＋2>0”的充分不必要条件
解析：由复合命题的真假性知，p、q中至少有一个为真命题，则p∨q为真，故选项C错误．
答案：C
二、填空题
13．设命题p：∀a>0，a≠1，函数f(x)＝ax－x－a有零点，则綈p：________.
解析：全称命题的否定为特称(存在性)命题，綈p：∃a0>0，a0≠1，函数f(x)＝a－x－a0没有零点．
答案：∃a0>0，a0≠1，函数f(x)＝a－x－a0没有零点
14．设全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，集合M＝，P＝{(x，y)|y≠x＋1}，则∁U(M∪P)＝________.
解析：集合M＝{(x，y)|y＝x＋1，且x≠2，y≠3}，所以M∪P＝{(x，y)|x∈R，y∈R，且x≠2，y≠3}，则∁U(M∪P)＝{(2,3)}．
答案：{(2,3)}
15．已知A＝{x|x2－3x＋2<0}，B＝{x|1 解析：因为A＝{x|x2－3x＋2<0}＝{x|1 答案：[2，＋∞)
16．若关于x的不等式|x－m|<2成立的充分不必要条件是2≤x≤3，则实数m的取值范围是________．
解析：由|x－m|<2得－2 答案：(1,4)