2019届二轮复习 椭圆 学案 （全国通用）

第05节  椭 圆

【考纲解读】

【知识清单】

1.椭圆的定义及其应用

1.椭圆的概念

(1)文字形式：在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点 ，两焦点间的距离叫做焦距．

(2)代数式形式：集合

①若，则集合P为椭圆；

②若，则集合P为线段；

③若，则集合P为空集．

2.椭圆的标准方程：焦点在轴时，；焦点在轴时，

2.椭圆的标准方程

1. 椭圆的标准方程：

（1）焦点在轴，；

（2）焦点在轴，.

2．满足条件：

3.椭圆的几何性质

椭圆的标准方程及其几何性质

4.直线与椭圆的位置关系

1.直线与椭圆位置关系的判断

(1)代数法：把椭圆方程与直线方程联立消去y，整理得到关于x的方程Ax2＋Bx＋C＝0.记该一元二次方程根的判别式为Δ，①若Δ＞0，则直线与椭圆相交；②若Δ＝0，则直线与椭圆相切；③若Δ＜0，则直线与椭圆相离．

(2)几何法：在同一直角坐标系中画出椭圆和直线，利用图象和性质可判断直线与椭圆的位置关系．

2．直线与椭圆的相交长问题：

（1）弦长公式：设直线与椭圆有两个公共点则弦长公式为或．

（2）弦中点问题，适用“点差法”.

【重点难点突破】

考点1  椭圆的定义及其应用

【1-1】【2018年上海卷】设是椭圆上的动点，则到该椭圆的两个焦点的距离之和为（ ）

A．     B．     C．     D．

【答案】C

【解析】

椭圆=1的焦点坐标在x轴，a=，

P是椭圆=1上的动点，由椭圆的定义可知：则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为2a=2．

故选：C．

【1-2】已知、是椭圆：的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为9，则            .

【答案】

【领悟技法】

1. 涉及到动点到两定点距离之和为常数的问题，可直接用椭圆定义求解．

2.涉及椭圆上点、焦点构成的三角形问题，往往利用椭圆定义、勾股定理或余弦定理求解.

【触类旁通】

【变式一】已知△ABC的顶点B、C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则的周长是        ．  

【答案】

【解析】∵.如图所示，的周长为，

【变式二】【山东省威海市2018届二模】已知椭圆左右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，则的最大值为（    ）

A．     B．     C．     D．

【答案】D

【综合点评】

应用椭圆的定义，可以得到结论：（1）椭圆上任意一点P(x，y)(y≠0)与两焦点F1(－c,0)，F2(c,0)构成的△PF1F2称为焦点三角形，其周长为2(a＋c)．

(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边，a2＝b2＋c2.  ]

考点2 椭圆的标准方程

【2-1】【山西省大同市与阳泉市2018届二测】已知椭圆的左焦点为，过点作倾斜角为的直线与圆相交的弦长为，则椭圆的标准方程为（   ）

A．     B．     C．     D．

【答案】B

【解析】

由左焦点为，可得，即，

过点作倾斜角为的直线的方程为，

圆心到直线的距离，

由直线与圆相交的弦长为，

可得，解得，

则椭圆方程为，故选B.

【2-2】【河北省衡水中学2019届高三上期中】已知圆，定点，是圆上的一动点，线段的垂直平分线交半径于点，则点的轨迹的方程是（    ）

A．     B．     C．     D．

【答案】B

【解析】

由已知，得|PF2|=|PA|，所以|PF2|+|PF1|=|PA|+|PF1|=|F1A|=6

又|F1F2|=4，4＜6，根据椭圆的定义，点P的轨迹是F1，F2为焦点，以3为实轴长的椭圆，

所以2a=6，2c=4，所以b=，

所以，点P的轨迹方程为：．

故选：B．

【领悟技法】

1．求椭圆标准方程的方法

求椭圆的标准方程，除了直接根据定义外，常用待定系数法(先定性，后定型，再定参)．

当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设方程为 ，可以避免讨论和繁杂的计算，也可以设为 (A＞0，B＞0且A≠B)，这种形式在解题中更简便．

2．椭圆的标准方程有两种形式，其结构简单，形式对称且系数的几何意义明确，在解题时要防止遗漏，要深刻理解椭圆中的几何量等之间的关系，并能熟练地应用．

【触类旁通】

【变式一】【黑龙江省海林市朝鲜族中学】焦点在x轴上的椭圆的长轴长等于4，离心率等于，则该椭圆的标准方程为(　　)

A． ＋y2＝1     B． ＋y2＝1

C．     D．

【答案】B

【变式二】求与椭圆有相同离心率且经过点的椭圆标准方程．

【答案】或

【解析】法一：∵，

设所求椭圆方程为，则，从而，

又，

∴方程为.

若焦点在轴上，设方程为

则，且，

解得.故所求方程为.

法二：若焦点在轴上，设所求椭圆方程为

，将点代入，得

，

故所求方程为.

若焦点在轴上，设方程为代入点，得，∴.

综上知，所求椭圆的标准方程为或.

【综合点评】　

1.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤是：

(1)作判断：根据条件判断焦点的位置．

(2)设方程：焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为 ．

(3)找关系：根据已知条件，建立关于的方程组．

(4)求解，得方程．

2．(1)方程与有相同的离心率．

(2)与椭圆共焦点的椭圆系方程为，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便．

考点3 椭圆的几何性质

【3-1】【吉林省长春市实验中学2019届高三上开学】直线经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（    ）

A．     B．     C．     D．

【答案】C

【3-2】【湖南省长沙市长郡中学2018届高考模拟（二）】已知椭圆：的右焦点为，短轴的一个端点为，直线：交椭圆于，两点，若，点与直线的距离不小于，则椭圆的离心率的取值范围是（   ）

A．     B．     C．     D．

【答案】B

【解析】

可设为椭圆的左焦点，连接，

根据椭圆的对称性可得四边形是平行四边形，

，

，取，

点到直线的距离不小于，

所以，，

解得，

椭圆的离心率的取值范围是，故选B.

【领悟技法】

1.在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题目给出的椭圆的几何特征，建立关于参数c、a、b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．较多时候利用解题；

2.对焦点三角形的处理方法，通常是运用.

【触类旁通】

【变式一】椭圆的两顶点为，且左焦点为F，是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为(　　)

A．       B．        C．       D．

【答案】B

【解析】由题可知为直角三角形，其中|AB|＝，，由勾股定理，即，整理得，同除，∴，∵，∴．

【变式二】已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.

(1)求椭圆离心率的范围；

(2)求证：的面积只与椭圆的短轴长有关．

【答案】（1）；（2）见解析.

（2）由（1）知，所以的面积为即的面积只与椭圆的短轴长有关．

【综合点评】

1.学习中，要注意椭圆几何性质的挖掘：

(1)椭圆中有两条对称轴，“六点”(两个焦点、四个顶点)，要注意它们之间的位置关系(如焦点在长轴上等)以及相互间的距离(如焦点到相应顶点的距离为a－c)，过焦点垂直于长轴的通径长为等．

(2)设椭圆上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，这时，P在短轴端点处；当x＝a时，|OP|有最大值a，这时P在长轴端点处．

(3)椭圆上任意一点P(x，y)(y≠0)与两焦点F1(－c,0)，F2(c,0)构成的△PF1F2称为焦点三角形，其周长为2(a＋c)．

(4)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边，a2＝b2＋c2.

2．重视向量在解析几何中的应用，注意合理运用中点、对称、弦长、垂直等几何特征．

考点4 直线与椭圆的位置关系

【4-1】【2018年理新课标I卷】设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为.

（1）当与轴垂直时，求直线的方程；

（2）设为坐标原点，证明：.

【答案】(1) AM的方程为或. (2)证明见解析.

【解析】（1）由已知得，l的方程为x=1.由已知可得，点A的坐标为或.

所以AM的方程为或.

（2）当l与x轴重合时，.当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以.当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为，，则，直线MA，MB的斜率之和为.由得

.将代入得.

所以，.则.

从而，故MA，MB的倾斜角互补，所以.综上，.

【4-2】【2017课标1，理20】已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1， ）中恰有三点在椭圆C上.

（1）求C的方程；

（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.

【答案】（1）.（2）见解析.

【解析】

试题解析：（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点.

又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.

因此，解得.

故C的方程为.

【领悟技法】

1.涉及直线与椭圆的基本题型有：

（1）位置关系的判断

（2）弦长、弦中点问题

（3）轨迹问题

（4）定值、最值及参数范围问题  ]

（5）存在性问题

2．常用思想方法和技巧有：

（1）设而不求（2）坐标法（3）根与系数关系

3. 若直线与椭圆有两个公共点可结合韦达定理，代入弦长公式或，求距离．

【触类旁通】

【变式一】【2018年全国卷Ⅲ理】已知斜率为的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为．

（1）证明：；

（2）设为的右焦点，为上一点,且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．

【答案】（1）（2）或

设该数列的公差为d，则.②

将代入①得.所以l的方程为，代入C的方程，并整理得.

故，代入②解得.所以该数列的公差为或. 

【变式二】【2017江苏，17】 如图,在平面直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为, ,离心率为,两准线之间的距离为8.点在椭圆上，且位于第一象限，过点作 直线的垂线,过点作直线的垂线.

  （1）求椭圆的标准方程；

  （2）若直线的交点在椭圆上,求点的坐标.

【答案】（1）（2）

【解析】解：（1）设椭圆的半焦距为c.

因为椭圆E的离心率为，两准线之间的距离为8，所以，，

解得，于是，

因此椭圆E的标准方程是.

由①②，解得，所以.

因为点在椭圆上，由对称性，得，即或.

又在椭圆E上，故.

由，解得；，无解.

因此点P的坐标为.

【综合点评】

1.涉及直线与椭圆的基本题型有：

（1）位置关系的判断

（2）弦长、弦中点问题

（3）轨迹问题

（4）定值、最值及参数范围问题

（5）存在性问题

2．常用思想方法和技巧有：（1）数形结合思想；（2）设而不求；（3）坐标法；（4）根与系数关系.

【易错试题常警惕】

易错典例：已知椭圆的一个焦点为，离心率为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程.

易错分析：研究直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系问题，往往易忽视直线的斜率不存在的情况而导致失解．

正确解析：（1）由题意知，且有，即，解得，

因此椭圆的标准方程为； 学  ]

（2）①设从点所引的直线的方程为，即，

当从点所引的椭圆的两条切线的斜率都存在时，分别设为、，则，

将直线的方程代入椭圆的方程并化简得，

，

化简得，即，

则、是关于的一元二次方程的两根，则，

化简得；

②当从点所引的两条切线均与坐标轴垂直，则的坐标为，此时点也在圆上.

综上所述，点的轨迹方程为.

温馨提醒：(1)研究直线与圆锥曲线位置关系问题，要特别注意运用数形结合思想；(2)在解答此类问题时，要注意直线斜率是否存在，分类讨论，避免漏解.

【学 素养提升之思想方法篇】

化整为零，积零为整——分类讨论思想

1.分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法，这种思想在简化研究对象，发展思维方面起着重要作用，因此，有关分类讨论的思想的数学命题在高考试题中占有重要地位. 所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”．

2.分类讨论思想的常见类型 

⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的； 

⑵问题中的条件是分类给出的； 

⑶解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的； 

⑷涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.

【典例】【湖南省长沙市雅礼中学2019届高三月考二】已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（），且点F（，0）为其右焦点。

（1）求椭圆C的方程；

（2）是否存在直线l与椭圆C交于B，D两点，满足，且原点到直线l的距离为？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）（2）不存在

联立方程，得．

则，，．   

设，，

则，

解得．   

当斜率不存在时，l的方程为，易求得．

综上，不存在符合条件的直线．