2019届二轮复习 第3讲　不等式 学案（全国通用）

第3讲　不等式

1.(1)[2017·山东卷] 若直线+=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为　　　　. 

(2)[2018·天津卷] 已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则2a+的最小值为　　　　. 

[试做] 

命题角度　利用基本不等式求最值

关键一:确定定值式(已知中是和为定值还是积为定值);

关键二:将待求式变形,利用基本不等式转换成定值式.

2.(1)[2018·全国卷Ⅱ] 若x,y满足约束条件则z=x+y的最大值为　　　　. 

(2)[2017·全国卷Ⅰ] 设x,y满足约束条件则z=3x-2y的最小值为　　　　. 

[试做] 

命题角度　求线性目标函数的最值

关键一:直线定界,特殊点定域;

关键二:在目标函数z=ax+by中,若b>0,则截距取最大值时,z取最大值,若b<0,则截距取最大值时,z取最小值;

关键三:注意可行域是否包含边界,线性目标函数的最值一般在区域的顶点或边界处取得.

3.[2016·全国卷Ⅰ] 某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为　　　　元. 

[试做] 

命题角度　线性规划实际应用问题

关键一:将实际问题转化为数学模型;

关键二:设出未知量,写出约束条件和目标函数;

关键三:求出最优解和其他要求的解.

注意:实际问题中所设未知量的实际取值范围.

小题1不等式的性质及解法

1 (1)已知a<b<0,则下列不等式中恒成立的是(　　)

A.>   B.<

C.2a>2b   D.a3>b3

(2)已知当-1≤a≤1时,x2+(a-4)x+4-2a>0恒成立,则实数x的取值范围是　　　　　　. 

[听课笔记]   

【考场点拨】

求解含参不等式ax2+bx+c<0恒成立问题的易失分点:(1)对参数进行讨论时分类不完整;(2)不会转换成把参数作为主元进行求解;(3)不考虑a的符号;(4)求解不等式ax2+bx+c<0时,不会与对应的二次函数及二次方程结合起来.

【自我检测】

1.已知a,b为实数,则“ab>b2”是“a>b>0”的 (　　)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件  D.既不充分也不必要条件

2.已知<<0,则下列选项中错误的是 (　　)

A.|b|>|a|  B.ac>bc

C.>0   D.ln>0

3.若不等式ax2+2ax-4<2x2+4x对任意实数x均成立,则实数a的取值范围是 (　　)

A.(-2,2)   B.(-∞,-2)∪(2,+∞)

C.(-2,2]   D.(-∞,2]

4.已知函数f(x)=函数g(x)=f(x)+f(-x),则不等式g(x)≤2的解集为　　　　. 

小题2基本不等式及其应用

2 (1)已知a>0,b>0,若不等式+≥恒成立,则m的最大值为 (　　)

A.9   B.12 

C.18   D.24

(2)已知正实数a,b,c满足a2-ab+4b2-c=0,当取得最小值时,a+b-c的最大值为 (　　)

A.2   B.

C.   D.

[听课笔记]   

【考场点拨】

利用基本不等式求最值的关键:

(1)基本不等式a+b≥2成立的条件是a>0,b>0,而不等式a2+b2≥2ab对任意实数a,b都成立,因此在使用时要注意其前提条件;

(2)对多次使用基本不等式时,需考虑等号是不是能同时成立;

(3)对于含有x+(a>0)的不等式,不能简单地利用x+≥2,而是要根据x的取值范围判断能否取到最小值2,若不能,需要利用函数的单调性求其最小值.

【自我检测】

1.若lg a+lg b=0,则+的取值范围为 (　　)

A.[2,+∞) 

B.(2,+∞)

C.[2,3)∪(3,+∞) 

D.(2,3)∪(3,+∞)

2.已知实数a,b,c满足a2+b2+c2=1,则ab+c的最小值为(　　)

A.-2  B.- 

C. -1  D.-

3.已知xy=2x+y+2(x>1),则x+y的最小值为　　　　. 

小题3线性规划问题

3 (1)已知实数x,y满足若z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n,则m-n=　　　　. 

(2)已知实数x,y满足约束条件若z=ax+y的最小值为-8,则实数a=　　　　. 

 [听课笔记]   

【考场点拨】

含参数的线性规划问题,参数位置一般有两种形式:一是目标函数中含有参数,这时可以准确作出可行域,这类问题一般特征是其最优解是可知的,因此解题时可充分利用目标函数的斜率特征加以转化;二是约束条件中含参,可行域的边界线一般有一条是动态的,所以要充分依据目标函数及最值等条件数形结合处理,有时还得进行分类讨论.

【自我检测】

1.若实数x,y满足则z=-2x+y的最小值为(　　)

A.  B.2

C.-2  D.1

2.点P(x,y)为不等式组所表示的平面区域内的动点,则的最大值为 (　　)

A.1  B.2

C.3  D.-

3.已知实数x,y满足若z=x2+y2,则z的最小值为 (　　)

A.1  B.

C.  D.

第3讲　不等式

典型真题研析

1.(1)8　(2)　[解析] (1)由条件可得+=1,所以2a+b=(2a+b)=4++≥4+2=8,当且仅当=,即b=2a时取等号知得a-3b=-6,由基本不等式得2a+≥2==(当且仅当a=-3b=-3时取等号).

2.(1)9　(2)-5　[解析] (1)不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.当直线y=-x+z经过点A(5,4)时,直线的纵截距z最大,所以zmax=5+4=9.

(2)已知不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.由z=3x-2y,得y=x-,当z最小时,-最大,故在点A处目标函数取得最小值.由解得所以zmin=-3-2=-5.

3.216 000　[解析] 设生产产品A、产品B分别为x件、y件,利润之和为z元,则

即目标函数为z=2100x+900y.

作出二元一次不等式组表示的平面区域为图中阴影部分内(包括边界)的整点,即可行域.

由图可知当直线z=2100x+900y经过点M时,z取得最大值.

解方程组得M的坐标为(60,100),

所以当x=60,y=100时,zmax=2100×60+900×100=216 000.

考点考法探究

小题1

例1(1)A　(2)(-∞,1)∪(3,+∞)　[解析] (1)将a<b<0同除以ab,可得<<0,所以A正确;将a<b<0同乘-1,得-a>-b>0,所以>,所以B错;由指数函数y=2x为增函数,可知2a<2b,所以C错;由不等式性质可知,若a<b<0,则a3<b3,所以D错.

(2)令g(a)=(x-2)a+x2-4x+4,

当-1≤a≤1时,g(a)>0恒成立,

∴即

解得x>3或x<1,

∴实数x的取值范围是(-∞,1)∪(3,+∞).

【自我检测】

1.B　[解析] 由a>b>0,得ab>b2成立;反之,如a=-2,b=-1,则a>b>0不成立.所以“ab>b2”是“a>b>0”的必要不充分条件,故选B.

2.D　[解析] 由<<0知,当c<0时,>>0,即b>a>0,∴|b|>|a|,ac>bc,>0成立,此时0<<1,∴ln<0,故选D.

3.C　[解析] 由题意,不等式ax2+2ax-4<2x2+4x可化为(a-2)x2+2(a-2)x-4<0.

当a-2=0,即a=2时,不等式恒成立,符合题意;

当a-2≠0时,要使不等式恒成立,则需

解得-2<a<2.

综上所述,a的取值范围为(-2,2],故选C.

4.[-2,2]　[解析] 函数f(x)=

当-1≤x≤1时,f(x)=1-x;

当x<-1时,f(x)=x+3;

当x>1时,f(x)=(x-1)2.

①当x>1,即-x<-1时,

可得g(x)=(x-1)2+3-x=x2-3x+4,

由g(x)≤2,得1<x≤2;

②当x<-1,即-x>1时,可得g(x)=x+3+(x+1)2=x2+3x+4,

由g(x)≤2,得-2≤x<-1;

③当-1≤x≤1,即-1≤-x≤1时,

可得g(x)=1-x+1+x=2,

由g(x)≤2,得-1≤x≤1.

综上可得,不等式g(x)≤2的解集为[-2,2].

小题2

例2(1)B　(2)C　[解析] (1)∵a>0,b>0,不等式+≥恒成立,

∴m≤.

∵(a+3b)=6++≥6+2=12,

当且仅当a=3b时取等号,

∴m的最大值为12.

(2)正实数a,b,c满足a2-ab+4b2-c=0,可得c=a2-ab+4b2,

则有==+-1≥2-1=3,

当且仅当a=2b时取等号.

当a=2b时,取得最小值3,且c=6b2,

∴a+b-c=2b+b-6b2=-6b2+3b=-6+,

∴当b=时,a+b-c取得最大值.

【自我检测】

1.A　[解析] ∵lg a+lg b=0,

∴lg ab=0,即ab=1,

∴·ab=2b+a≥2=2,当且仅当a=2b=时取等号,

∴+的取值范围为[2,+∞).

2.C　[解析] 若ab+c取得最小值,则a,b异号,且c<0.根据题意得1-c2=a2+b2,又由a2+b2≥2|ab|=-2ab,当且仅当a=-b时取等号,得1-c2≥-2ab⇒ab+c≥+c=+c-=(c2+2c)-=(c+1)2-1≥-1,∴当a=b=0,c=-1时,ab+c取得最小值-1,故选C.

3.7　[解析] ∵xy=2x+y+2(x>1),∴y=,

∴x+y=x+=x-1++1=x-1++3≥2+3=7,

当且仅当x-1=,即x=3时取等号.

小题3

例3(1)6　(2)-2　[解析] (1)作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示.

由z=2x+y,得y=-2x+z,

由图可知,当直线y=-2x+z经过点C时,

直线y=-2x+z的纵截距最大,此时z最大,

由解得

即C(2,-1),故z的最大值为2×2-1=3.

当直线y=-2x+z经过点B时,

直线y=-2x+z的纵截距最小,此时z最小,

由解得即B(-1,-1),

故z的最小值为-2-1=-3.

故m=3,n=-3,

则m-n=3-(-3)=6.

 (2)作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示,且O(0,0),A(0,1),B(2,2),C(4,0).

由z=ax+y得y=-ax+z,易知a≠0.

①当a<0时,由图可知,当直线y=-ax+z经过点C(4,0)时,直线在y轴上的截距最小,此时z取得最小值,且zmin=4a,由4a=-8,得a=-2,符合题意.

②当a>0时,由图可知,当直线y=-ax+z经过点O(0,0)时,直线在y轴上的截距最小,此时z取得最小值,且zmin=0,不合题意.

综上,a=-2.

【自我检测】

1.C　[解析] 作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示,由图可知,当目标函数线经过点B时,z最小,由得B(2,2),所以z的最小值为-2×2+2=-2,故选C.

2.A　[解析] 作出不等式组所表示的平面区域,如图中阴影部分所示.

易知的几何意义为动点P(x,y)与原点O的连线的斜率,

由图可知,直线OB的斜率最大.

由解得即B(2,2),

则的最大值为1,故选A.

3.D　[解析] 作出不等式组表示的可行域,如图中阴影部分所示.

z=x2+y2可以看作可行域内的点(x,y)到原点O的距离的平方.

由得A.

因为OA⊥AB,所以zmin=|OA|2=.

故选D.

[备选理由] 例1是一道与不等式性质有关的开放式问题,相当于排除法,举反例就可以;例2重点考查变式,难点是需要二次重复使用基本不等式,不少同学以为一次变式就可直接使用基本不等式得最小值,造成求最小值不成功;例3为线性规划实际应用问题,要据条件列出约束条件和目标函数,再按求目标函数的最值方式求解,所求得结果要有实际意义.

例1　[配例1使用] [2018·北京卷] 能说明“若a>b,则<”为假命题的一组a,b的值依次为　　　　. 

[答案] 1,-1(答案不唯一)

[解析] 当a>0>b时,<不成立.

例2　[配例2使用] [2017·天津卷] 若a,b∈R,ab>0,则的最小值为　　　　. 

[答案] 4

[解析] 由题意得a2>0,b2>0,ab>0,所以=≥=4ab+≥2=4,当且仅当a2=2b2=时,等号成立.

例3　[配例3使用] 某企业可生产甲、乙两种产品.投资生产甲产品时,每生产100吨需要资金200万元,场地200平方米;投资生产乙产品时,每生产100吨需要资金300万元,场地100平方米.若该企业现有可使用资金1400万元,场地900平方米,投资生产甲、乙两种产品,则两种产品的产量之和最大为 (　　)

A.467吨  B.450吨

C.575吨  D.600吨

[解析] C　设生产甲、乙两种产品的产量分别为x,y(单位:百吨),由题意得约束条件为求目标函数z=x+y的最大值.由约束条件得可行域如图中阴影部分所示,其中A(4.5,0),B(3.25,2.5),C.

由图可得,当目标函数线经过点B(3.25,2.5)时,z取得最大值,故zmax=5.75,所以两种产品的产量之和最大为5.75×100=575(吨).故选C.