2019届二轮复习　复数、程序框图、平面向量与数学文化学案（全国通用）

回扣2　复数、程序框图、平面向量与数学文化

1．复数的相关概念及运算法则

(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的分类

①z是实数⇔b＝0；

②z是虚数⇔b≠0；

③z是纯虚数⇔a＝0且b≠0.

(2)共轭复数

复数z＝a＋bi的共轭复数＝a－bi.

(3)复数的模

复数z＝a＋bi的模|z|＝.

(4)复数相等的充要条件

a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．

特别地，a＋bi＝0⇔a＝0且b＝0(a，b∈R)．

(5)复数的运算法则

加减法：(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i；

乘法：(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；

除法：(a＋bi)÷(c＋di)＝＋i.

2．复数的几个常见结论

(1)(1±i)2＝±2i.

(2)＝i，＝－i.

(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈Z)．

(4)ω＝－±i，且ω0＝1，ω2＝，ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0.

3．程序框图的三种基本逻辑结构

(1)顺序结构：如图(1)所示．

(2)条件结构：如图(2)和图(3)所示．

(3)循环结构：如图(4)和图(5)所示．

4．平面向量的数量积

(1)若a，b为非零向量，夹角为θ，则a·b＝|a||b|cos θ.

(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.

5．两个非零向量平行、垂直的充要条件

若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则

(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0.

(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.

6．利用数量积求长度

(1)若a＝(x，y)，则|a|＝＝.

(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

||＝.

7．利用数量积求夹角

若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，

则cos θ＝＝.

8．三角形“四心”向量形式的充要条件

设O为△ABC所在平面上一点，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，则

(1)O为△ABC的外心⇔||＝||＝||＝.

(2)O为△ABC的重心⇔＋＋＝0.

(3)O为△ABC的垂心⇔·＝·＝·.

(4)O为△ABC的内心⇔a＋b＋c＝0.

1．复数z为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0(z＝a＋bi，a，b∈R)．还要注意巧妙运用参数问题和合理消参的技巧．

2．复数的运算与多项式运算类似，要注意利用i2＝－1化简合并同类项．

3．在解决含有循环结构的框图时，要弄清停止循环的条件．注意理解循环条件中“≥”与“>”的区别．

4．解决程序框图问题时，要注意流程线的指向与其上文字“是”“否”的对应．

5．在循环结构中，易错误判定循环体结束的条件，导致错求输出的结果．

6．a·b>0是〈a，b〉为锐角的必要不充分条件；

a·b<0是〈a，b〉为钝角的必要不充分条件．

1．复数z满足z(2－i)＝1＋7i，则复数z的共轭复数为(　　)

A．－1－3i   B．－1＋3i

C．1＋3i   D．1－3i

答案　A

解析　∵z(2－i)＝1＋7i，

∴z＝＝＝＝－1＋3i，

共轭复数为－1－3i.

2．复数z1，z2在复平面内对应的点关于直线y＝x对称，且z2＝3＋2i，则z1·z2等于(　　)

A．13i  B．－13i  C．13＋12i  D．12＋13i

答案　A

解析　由题意得z1＝2＋3i，

故z1·z2＝(2＋3i)(3＋2i)＝13i.

3．z＝(m∈R，i为虚数单位)在复平面上的点不可能位于(　　)

A．第一象限   B．第二象限

C．第三象限   D．第四象限

答案　D

解析　z＝＝，

由于m－1<m＋1，故不可能在第四象限．

4．已知平行四边形ABCD的对角线分别为AC，BD，且＝2，点F是BD上靠近D的四等分点，则(　　)

A.＝－－ 

B.＝－

C.＝－

D.＝－－

答案　C

解析　∵＝2，点F是BD上靠近D的四等分点，

∴＝，＝，

∴＝＋＝＋，

∵＋＝，－＝，

∴＝(－)＋(＋)

＝－.

故选C.

5．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b等于(　　)

A．(－5，－10)   B．(－4，－8)

C．(－3，－6)   D．(－2，－4)

答案　B

解析　因为a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，

所以m＋4＝0，m＝－4,2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)，故选B.

6.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的S为，则判断框中填写的内容可以是(　　)

A．n＝6?   B．n<6?

C．n≤6?   D．n≤8?

答案　C

解析　S＝0，n＝2，判断是，

S＝，n＝4，判断是，

S＝＋＝，n＝6，判断是，S＝＋＋＝，n＝8，判断否，输出S，故n≤6.

7．执行如图所示的程序框图，若输出的是n＝6，则输入整数p的最小值为(　　)

A．15  B．16  C．31  D．32

答案　B

解析　列表分析如下：

　　　    是否继续循环　　　    S　　　n

循环前　　　　　　　　　　      0　　  1

第一圈　　    是　　　　　　　  1　　  2

第二圈　　    是　　　　　　　  3　　  3

第三圈　　    是　　　　　　　  7　　  4

第四圈　　    是　　　　　　　  15　  5

第五圈　　    是　　　　　　　  31　  6

第六圈　　    否

故当S值不大于15时继续循环，大于15但不大于31时退出循环，故p的最小整数值为16.

8．若等边△ABC的边长为3，平面内一点M满足＝＋，则·的值为(　　)

A．2  B．－  C.  D．－2

答案　A

解析　因为＝－，＝－，则·＝，

即·＝2－·＋2

＝2－＋＝2，故选A.

9.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是(　　)

A．15平方米   B．12平方米

C．9平方米   D．6平方米

答案　C

解析　如图，根据题意可得∠AOB＝，OA＝4，

在Rt△AOD中，可得∠AOD＝，∠DAO＝，OD＝AO＝×4＝2，可得矢＝4－2＝2，

由AD＝AO·sin ＝4×＝2，可得弦＝2AD＝2×2＝4，

所以弧田面积＝(弦×矢＋矢2)＝(4×2＋22)＝4＋2≈9(平方米)．故选C.

10．在△ABC中，AB＝5，AC＝6，若B＝2C，则向量在方向上的投影是(　　)

A．－  B．－  C.  D.

答案　B

解析　由正弦定理得

＝⇒＝⇒cos C＝，

由余弦定理得cos C＝⇒BC＝或5，

经检验知BC＝5不符合，舍去，所以BC＝，

cos B＝＝－，

则||cos B＝－，故选B.

11．“珠算之父”程大位是我国明代伟大的数学家，他的应用数学巨著《算法统综》的问世，标志着我国的算法由筹算到珠算转变的完成．程大位在《算法统综》中常以诗歌的形式呈现数学问题，其中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上梢四节贮三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明．”([注释]三升九：3.9升．次第盛：盛米容积依次相差同一数量)用你所学的数学知识求得中间两节的容积为(　　)

A．1.9升   B．2.1升

C．2.2升   D．2.3升

答案　B

解析　要按依次盛米容积相差同一数量的方式盛米，设相差的同一数量为d升，下端第一节盛米a1升，

由题意得

解得a1＝1.4，d＝－0.1，所以中间两节盛米的容积为

a4＋a5＝(a1＋3d)＋(a1＋4d)＝2a1＋7d

＝2.8－0.7＝2.1(升)，故选B.

12．《数书九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S＝.现有周长为2＋的△ABC满足sin A∶sin B∶sin C＝(－1)∶∶(＋1)，试用以上给出的公式求得△ABC的面积为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　A

解析　因为sin A∶sin B∶sin C＝(－1)∶∶(＋1)，

所以由正弦定理得a∶b∶c＝(－1)∶∶(＋1)，

又a＋b＋c＝2＋，

所以a＝－1，b＝，c＝＋1，

则ac＝1，c2＋a2－b2＝1，

故S＝ ＝ ＝.

13．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是________．

答案　32

解析　由题意得log2＝log2(n＋1)－log2(n＋2)，由程序框图的计算公式，可得

S＝(log22－log23)＋(log23－log24)＋…＋[log2n－log2(n＋1)]＝1－log2(n＋1)，

由S<－4，可得1－log2(n＋1)<－4⇒log2(n＋1)>5，解得n>31，

所以输出的n为32.

14．已知平面内三个单位向量，，，〈，〉＝60°，若＝m＋n，则m＋n的最大值是______．

答案　

解析　由已知条件＝m＋n，两边平方可得1＝m2＋mn＋n2＝(m＋n)2－mn，

∴(m＋n)2－1＝mn，根据向量加法的平行四边形法则，判断出m，n>0，

∴(m＋n)2－1＝mn≤(m＋n)2，当且仅当m＝n时取等号，

∴(m＋n)2≤1，则m＋n≤，即m＋n的最大值为.

15．现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理(图1)，即可求得球的体积公式．请在研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为＋＝1，将此椭圆绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体(图2)，其体积等于________．

答案　

解析　椭圆的长半轴长为5，短半轴长为2，现构造一个底面半径为2，高为5的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积

V＝2(V圆柱－V圆锥)

＝2＝.

16．已知O是锐角△ABC外接圆的圆心，∠A＝60°，·＋·＝2m，则m的值为______．

答案　

解析　如图所示，

取AB的中点D，则＝＋，OD⊥AB，所以·＝0，设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由·＋·＝2m，

得·＋·＝－2m(＋)，

两边同乘，得·2＋··＝－2m(＋)·，

即·c2＋·bc·cos A＝m·c2，

所以·c＋·b·cos A＝m·c，

由正弦定理＝＝＝2R(R为△ABC外接圆半径)，

得b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，

代入上式整理，得cos B＋cos Ccos A＝m·sin C，

所以m＝

＝＝sin A，

又∠A＝60°，所以m＝sin 60°＝.