2019届二轮复习　空间几何体[小题提速练]学案（全国通用）

第14练　空间几何体[小题提速练]

[明晰考情]　1.命题角度：空间几何体的三视图，球与多面体的组合，一般以计算面积、体积的形式出现.2.题目难度：中档或中档偏难．

考点一　空间几何体的三视图与直观图

要点重组　(1)三视图画法的基本原则：长对正，高平齐，宽相等；画图时看不到的线画成虚线．

(2)由三视图还原几何体的步骤

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↓

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↓

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(3)直观图画法的规则：斜二测画法．

1．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图为(　　)

答案　A

解析　在空间直角坐标系中作出四面体OABC的直观图如图所示，作顶点A，C在xOz平面的投影A′，C′，可得四面体的正视图．故选A.

2．(2018·北京)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为(　　)

A．1  B．2  C．3  D．4

答案　C

解析　由三视图得到空间几何体，如图所示，

则PA⊥平面ABCD，平面ABCD为直角梯形，PA＝AB＝AD＝2，BC＝1，

所以PA⊥AD，PA⊥AB，PA⊥BC.

又BC⊥AB，AB∩PA＝A，

AB，PA⊂平面PAB，

所以BC⊥平面PAB.

又PB⊂平面PAB，所以BC⊥PB.

在△PCD中，PD＝2，PC＝3，CD＝，

所以△PCD为锐角三角形．

所以侧面中的直角三角形为△PAB，△PAD，△PBC，共3个．故选C.

3．如图所示是一个几何体的三视图，则此三视图所描述的几何体的直观图是(　　)

答案　D

解析　先观察俯视图，由俯视图可知选项B和D中的一个正确，由正视图和侧视图可知选项D正确．

4．已知正三棱锥V－ABC的正视图和俯视图如图所示，则该正三棱锥侧视图的面积是________．

答案　6

解析　如图，由俯视图可知正三棱锥的底面边长为2，

则AO＝×2sin 60°＝2.

所以VO＝＝2，

则VA′＝2.

所以该正三棱锥的侧视图的面积为×2×2＝6.

考点二　空间几何体的表面积与体积

方法技巧　(1)求三棱锥的体积时，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上．

(2)求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解．

(3)已知几何体的三视图，可去判断几何体的形状和各个度量，然后求解表面积和体积．

5．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC的中点，则三棱锥A－B1DC1的体积为(　　)

A．3  B.  C．1  D.

答案　C

解析　∵D是等边三角形ABC的边BC的中点，

∴AD⊥BC.

又ABC－A1B1C1为正三棱柱，∴AD⊥平面BB1C1C.

∵四边形BB1C1C为矩形，∴＝＝×2×＝.又AD＝2×＝，

∴＝·AD＝××＝1.故选C.

6．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的体积是(　　)

A.  B.  C.  D．1

答案　B

解析　根据题意得到原四面体是底面为等腰直角三角形，高为1的三棱锥，故得到体积为××2×1×1＝.

7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________，其表面积为________．

答案　＋8π　16＋16＋12π

解析　由正视图和侧视图可知，该几何体含有半个圆柱，再结合俯视图不难得到该几何体是半个圆柱和一个倒立的直四棱锥组合而成，如图．故该几何体的体积为

V＝×4×4×4＋＝＋8π，

表面积为S＝π×22＋＋＋＝16＋16＋12π.

8．已知一个圆锥的母线长为2，侧面展开图是半圆，则该圆锥的体积为________．

答案　π

解析　由题意，得圆锥的底面周长为2π，设圆锥的底面半径是r，则2πr＝2π，解得r＝1，

∴圆锥的高为h＝＝.

∴圆锥的体积为V＝πr2h＝π.

考点三　多面体与球

要点重组　(1)设球的半径为R，球的截面圆半径为r，球心到球的截面的距离为d，则有r＝.

(2)当球内切于正方体时，球的直径等于正方体的棱长，当球外接于长方体时，长方体的体对角线长等于球的直径；当球与正方体各棱都相切时，球的直径等于正方体底面的对角线长．

(3)若正四面体的棱长为a，则正四面体的外接球半径为a，内切球半径为a.

9．已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA＝2，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，则球O的表面积为(　　)

A．4π  B．12π  C．16π  D．64π

答案　C

解析　在△ABC中，由余弦定理得，

BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 60°＝3，

∴AC2＝AB2＋BC2，即AB⊥BC.

又SA⊥平面ABC，

∴SA⊥AB，SA⊥BC，

∴三棱锥S－ABC可补成分别以AB＝1，BC＝，SA＝2为长、宽、高的长方体，

∴球O的直径为＝4，

故球O的表面积为4π×22＝16π.

10．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为(　　)

A．π  B.  C.  D.

答案　B

解析　设圆柱的底面半径为r，球的半径为R，且R＝1，

由圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，

r，R及圆柱的高的一半构成直角三角形．

∴r＝＝.

∴圆柱的体积为V＝πr2h＝π×1＝.

11．已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为6的正方形，且PA＝PB＝PC＝PD，若一个半径为1的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高是(　　)

A．6  B．5  C.  D.

答案　D

解析　由题意知，四棱锥P－ABCD是正四棱锥，

球的球心O在四棱锥的高PH上，

过正四棱锥的高作组合体的轴截面如图：

其中PE，PF是斜高，A为球面与侧面的切点．

设PH＝h，易知Rt△PAO∽Rt△PHF，

所以＝，即＝，解得h＝，故选D.

12．一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球O的球面上，则该圆锥的体积与球O的体积的比值为________．

答案　

解析　设等边三角形的边长为2a，球O的半径为R，

则V圆锥＝·πa2·a＝πa3.

又R2＝a2＋(a－R)2，

所以R＝a，

故V球＝·3＝πa3，

故其体积比值为.

1．如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥P－BCD的正视图与侧视图的面积之比为(　　)

A．1∶1  B．2∶1  C．2∶3  D．3∶2

答案　A

解析　由题意可得正视图的面积等于矩形ADD1A1面积的，侧视图的面积等于矩形CDD1C1面积的.又底面ABCD是正方形，所以矩形ADD1A1与矩形CDD1C1的面积相等，即正视图与侧视图的面积之比是1∶1.

2．已知一几何体的三视图如图所示，它的侧视图与正视图相同，则该几何体的体积为(　　)

A.π＋   B.π＋

C.π＋8   D.π＋8

答案　A

解析　由三视图知该几何体是正四棱锥(底面为正方形，且顶点在底面的射影为正方形的中心的棱锥)与半球体的组合体，且正四棱锥的高为，底面对角线长为4，球的半径为2，所以组合体的体积为V＝×π×23＋××42×＝π＋.

3．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥O－ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为(　　)

A．36π   B．64π

C．144π   D．256π

答案　C

解析　易知△AOB的面积确定，若三棱锥O－ABC的底面OAB上的高最大，则其体积最大．因为高最大为半径R，所以VO－ABC＝×R2×R＝36，解得R＝6.故S球＝4πR2＝144π.

解题秘籍　(1)三视图都是几何体的投影，要抓住这个根本点确定几何体的特征．

(2)多面体与球的切、接问题，要明确切点、接点的位置，利用合适的截面图确定两者的关系，要熟悉长方体与球的各种组合．

1．(2018·浙江)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是(　　)

A．2  B．4  C．6  D．8

答案　C

解析　由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，直角梯形的上、下底边长分别为2,1，高为2，

∴该几何体的体积为V＝2×＝6.

故选C.

2．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最大边长为(　　)

A.   B.

C.   D．2

答案　B

解析　根据三视图作出原几何体(四棱锥P－ABCD)的直观图如下：

可计算PB＝PD＝BC＝，PC＝，故该几何体的最大边长为.

3．如图是棱长为2的正方体的表面展开图，则多面体ABCDE的体积为(　　)

A．2   B.

C.   D.

答案　D

解析　多面体ABCDE为四棱锥(如图)，利用割补法可得其体积V＝4－＝，故选D.

4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，下图画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为(　　)

A．12＋6＋18

B．9＋6＋18

C．9＋8＋18

D．9＋6＋12

答案　B

解析　作出该几何体的直观图如图所示(所作图形进行了一定角度的旋转)，故所求几何体的表面积S＝2×3×＋2××3×＋×4×6＋×3×4＋×4×3＝9＋6＋18，故选B.

5．某锥体的三视图如图所示，用平行于锥体底面的平面把锥体截成体积相等的两部分，则截面面积为(　　)

A．2   B．2

C．2   D．2

答案　C

解析　三视图表示的几何体(如图)是四棱锥(镶嵌入棱长为2的正方体中)，且四棱锥F－ABCD的底面为正方形ABCD，面积为4，设截面面积为S，所截得小四棱锥的高为h，

则

解得S＝2.

6．某几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，则该几何体的体积为(　　)

A.＋   B.＋

C.＋   D.＋

答案　A

解析　该几何体是一个半球，上面有一个三棱锥，

体积为V＝××1×1×1＋×π×3＝＋，故选A.

7．(2018·全国Ⅰ)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在侧视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为(　　)

A．2   B．2

C．3   D．2

答案　B

解析　先画出圆柱的直观图，根据题中的三视图可知，点M，N的位置如图①所示．

圆柱的侧面展开图及M，N的位置(N为OP的四等分点)如图②所示，连接MN，则图中MN即为M到N的最短路径．|ON|＝×16＝4，|OM|＝2，

∴|MN|＝＝＝2.

故选B.

8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积是(　　)

A．8π  B．12π  C．16π  D.

答案　D

解析　如图所示，该几何体是三棱锥D—ABC，其中AB＝2，AC＝2，BC＝2，取BC的中点E，连接DE，则DE＝，且AB⊥AC，DE⊥平面ABC，故外接球球心O必在直线DE上，设三棱锥D—ABC外接球的半径为R，由(OD－DE)2＋EC2＝OC2＝R2，得(R－)2＋()2＝R2，解得R2＝，故三棱锥D—ABC的外接球的表面积S＝4πR2＝，故选D.

9．某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体共有________条棱；该几何体的体积为________cm3.

答案　8　1

解析　由三视图知该几何体为底面为上底是1 cm，下底是2 cm，高是1 cm的直角梯形，有一条高为2 cm的棱垂直于底面的四棱锥，则其有8条棱，体积为×2××1＝1(cm3)．

10．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示(网格纸上小正方形的边长为1)，则该“阳马”最长的棱长为________．

答案　5

解析　由三视图知，几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，如图所示．

其中PA⊥平面ABCD，∴PA＝3，AB＝CD＝4，AD＝BC＝5，

∴PB＝＝5，PC＝＝5，PD＝＝.

∴该几何体最长的棱长为5.

11．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是正三角形，则该几何体的体积为________．

答案　2

解析　依题意得，该几何体是由如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1截去四棱锥A－BEDC得到的，故其体积V＝×22××3－××2×＝2.

12．已知三棱锥A－BCD中，AB＝AC＝BC＝2，BD＝CD＝，点E是BC的中点，点A在平面BCD上的投影恰好为DE的中点F，则该三棱锥外接球的表面积为________．

答案　

解析　连接BF，由题意，得△BCD为等腰直角三角形，E是外接圆的圆心．

∵点A在平面BCD上的投影恰好为DE的中点F，

∴BF＝＝，

∴AF＝＝.

设球心O到平面BCD的距离为h，则1＋h2＝＋2，解得h＝，

∴外接球的半径r＝＝，

故该三棱锥外接球的表面积为4π×＝.