2019届二轮复习（理）递推关系学案（全国通用）
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【母题 一】【2018高考新课标1理数14】
【母题原题】记为数列的前项和，若，则 ．
【答案】
点睛：该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果.
【命题意图】
1.了解数列的概念(定义、数列的项、通项公式、前n项和)
2.了解数列三种简单的表示方法(列表法、图象法、通项公式法)；
3.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数,了解数列的分类(按项数分、按项间的大小等)．
【命题规律】
递推公式是给出数列的一种重要方法,常出现在客观题压轴题或解答题中，难度中等或中等以上.利用递推关系式求数列的通项时,通常将所给递推关系式进行适当的变形整理,如累加、累乘、待定系数等,构造或转化为等差数列或等比数列,然后求通项.
【方法总结】
(1) 已知，求的步骤
当时，；
当时，；
对时的情况进行检验，若适合的通项则可以合并；若不适合则写成分段函数形式．
(2)已知数列的前几项，写出数列的通项公式，主要从以下几个方面来考虑：
如果符号正负相间，则符号可用或 来调节.
分式形式的数列，分子找通项，分母找通项，要充分借助分子、分母的关系来解决.
对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列和其他方法来解决.
此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知的数列)、归纳、转化(转化为等差、等比或其他特殊数列)等方法来解决.
(3)已知数列的递推关系求通项公式的典型方法
当出现时，构造等差数列；
当出现时，构造等比数列；
当出现时，用累加法求解；
当出现时，用累乘法求解．
1．【河南省信阳高级中学2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟（二）】已知数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用，分别求出，即可得到结论．
【详解】
【点睛】
本题考查递推数列的应用，考查运算能力和推理能力，其中探求得到题目条件中给出的数列的规律性是解题的关键．
2．【黑龙江省2018届高三普通高等学校招生全国统一考试】（2017·保定市一模）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若数列满足，且，则（ ）
A． 2 B． -2 C． 6 D． -6
【答案】C
【解析】
【分析】
是周期数列且周期为，因此，利用题设的函数解析式可求函数值．
【详解】
由可得，
故，因此是周期数列且周期为，
又 ，
故，故选C．
【点睛】
（1）当从数列的递推关系无法求通项时，可以从先计算数列的若干初始项，找出规律后可得通项（必要时用数学归纳法证明）．
（2）对于奇函数（或偶函数），若已知的解析式，则当的时的解析为（偶函数时为）．
3．【河北省衡水中学2018届高三考前适应性训练】已知数列的前项和为，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A． 数列的前项和为 B． 数列的通项公式为
C． 数列为递增数列 D． 数列是递增数列
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】
方法一：∵an+5Sn﹣1Sn=0，
∴Sn﹣Sn﹣1+5Sn﹣1Sn=0，
∵Sn≠0，
∴﹣=5，
∵a1=，
∴=5，
方法二：当n=1时，分别代入A，B，可得A，B错误， ]
当n=2时，a2+5a1（a1+a2）=0，即a2++a2=0，可得a2=﹣，故D错误，
故选：C．
【点睛】
已知求的一般步骤：（1）当时，由求的值；（2）当时，由，求得的表达式；（3）检验的值是否满足（2）中的表达式，若不满足则分段表示；（4）写出的完整表达式.
4．【2018年高考考前猜题卷之大数据猜题卷】设的三边长分别为，的面积为…，若，，则（ ）
A． 为递减数列
B． 为递增数列
C． 为递增数列，为递减数列
D． 为递减数列，为递增数列
【答案】B
【解析】
【分析】
由an+1=an可知△AnBnCn的边BnCn为定值a1，由bn+1+cn+1﹣2a1=及b1+c1=2a1得bn+cn=2a1，则在△AnBnCn中边长BnCn=a1为定值，另两边AnCn、AnBn的长度之和bn+cn=2a1为定值，由此可知顶点An在以Bn、Cn为焦点的椭圆上，根据bn+1﹣cn+1=，得bn﹣cn=，可知n→+∞时bn→cn，据此可判断△AnBnCn的边BnCn的高hn随着n的增大而增大，再由三角形面积公式可得到答案．
【详解】 ]
故选：B．
【点睛】
本题主要考查由数列递推式求数列通项、三角形面积海伦公式，综合考查学生分析解决问题的能力，有较高的思维抽象度，属于难题.
5．【名校联盟2018年高考第二次适应与模拟】已知数列的首项，满足，则
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
【点睛】
由数列的递推公式求通项常用的方法有：（1）等差数列、等比数列（先根据条件判定出数列是等差、等比数列）；（2）累加法，相邻两项的差成等求和的数列可利用累加求通项公式；（3）累乘法，相邻两项的商是能求出积的特殊数列时用累乘法求通项；（4）构造法.
6．【山东省日照市2018届高三校际联考】已知数列中，，且对任意的，，都有，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】分析：令m=1，可得an+1﹣an=n+1，再利用累加法可得的通项，再利用裂项法得到==2（﹣），从而可求得的值．
学 ]
点睛：：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：
(1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.
7．【山东省烟台市2018届高三高考适应性练习（一）】已知为等比数列，数列满足，且，则数列的前项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】分析：由题意可得，故，从而可得数列的公比为，于是得到，故可得数列为等差数列，并由此得到数列的前项和．
详解：∵，且，
∴，即，
又数列为等比数列，
∴数列的公比为，
∴，
∴数列是首项为2，公差为3的等差数列，
∴数列的前项和为．
故选C．
点睛：本题考查等差数列和等比数列的综合问题，解题时要分清两类数列的基本量，将所求问题转化为对数列基本量求解的问题处理．在本题中得到数列为等差数列是解题的关键，由此可得所求．
8．【上海市虹口区2018届高三下学期教学质量监控（二模）】已知数列的首项，且，，是此数列的前项和，则以下结论正确的是（ ）
A． 不存在和使得 B． 不存在和使得
C． 不存在和使得 D． 不存在和使得
【答案】A
点睛：本题考查数列的综合应用。本题中的数列情况较为复杂，则学生可以通过列举来寻找规律。本题中的，则想到分和两类进行讨论，再进行列举，就可以发现数列为循环数列，进一步进行求和判断即可。
9．【河南省商丘市2018届高三第二次模拟考试】已知数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题得
，
故选B.
点睛：类比想象是数学想象的一种，看到，我们要想到累加法，这里不是等式，是不等式，我们也可以累加得到，再利用累加得到.
10．【安徽省马鞍山市2018届高三第二次教学质量监测】已知数列满足对时，，且对，有，则数列的前50项的和为（ ）
A． 2448 B． 2525 C． 2533 D． 2652
【答案】B
点睛：本题的难点在于通过递推找到数列的周期. 可以先通过列举找到数列的周期，再想办法证明. 由于问题中含有的项数较多，且有规律性，所以要通过分析递推找到数列的周期.
11．【河北省石家庄市2018届高三下学期一模考试】若数列满足， ，则的值为（ ）
A． 2 B． -3 C． D．
【答案】B
【解析】， ，所以
故数列是以4 为周期的周期数列，故
故选B.
12．【云南省昆明市2018届高三教学质量检查（二统）】数列满足，则数列的前20项的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，得， ， 的前项的和为 ，故选A.
13．【山东省济宁市2018届高三第一次模拟考试】设数列满足，，且 （且），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
点睛：本题考查了等差数列的通项公式和等差数列的性质的应用问题，本题非常巧妙的将两个数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项，另外，本题的难点在于两个数列融合在一起，利用第一个数列为等差数列，得到第一个数列的通项公式，进而求解第二个数列的项，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力.
14．【海南省2018届高三阶段性测试（二模）】已知正项数列满足，设，则数列的前项和为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
15．【广东省阳春市第一中学2018届高三第六次月考】数列中，已知， ，且，（ 且），则此数列为（ ）
A． 等差数列 B． 等比数列
C． 从第二项起为等差数列 D． 从第二项起为等比数列
【答案】D
【解析】
由，得，又由，得，解得， ，（ ），且， 且， 时，上式不成立，故数列从第项起是以为公比的等比数列，故选D.
