2019届二轮复习（理）第九章第55讲　直线与圆、圆与圆的位置关系学案（江苏专用）

第55讲　直线与圆、圆与圆的位置关系
考试要求　1.直线与圆、圆与圆的位置关系及判断(B级要求)；2.利用直线和圆的方程解决一些简单的问题(B级要求)；3.用代数方法处理几何问题的思想(A级要求).

诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件.(　　)
(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.(　　)
(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.(　　)
(4)从两相交圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.(　　)
(5)过圆O：x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0x＋y0y＝r2.(　　)
解析　(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的充分不必要条件.
(2)除外切外，还有可能内切.
(3)两圆还可能内切或内含.
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√
2.(必修2P113例1改编)已知圆O：x2＋y2＝4，则过点P(2，4)与圆O相切的切线方程为 .
解析　因为点P(2，4)不在圆O上，所以切线PT的方程可设为y＝k(x－2)＋4.根据d＝r知＝2，解得k＝，所以y＝(x－2)＋4，即3x－4y＋10＝0.因为过圆外一点作圆的切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在.易求得另一条切线方程为x＝2.
答案　3x－4y＋10＝0或x＝2
3.(必修2P114习题2改编)过点(－1，－2)的直线l被圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为，则直线l的斜率为 .
解析　由条件易知直线l的斜率必存在，设为k，由题可知圆心(1，1)到直线y＋2＝k(x＋1)的距离为＝，解得k＝1或k＝，即所求直线l的斜率为1或.
答案　1或
4.(2016·全国Ⅱ卷改编)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝ .
解析　由圆的方程x2＋y2－2x－8y＋13＝0得圆心坐标为(1，4)，由点到直线的距离公式得d＝＝1，解之得a＝－.
答案　－
5.(2018·盐城模拟)若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是 .
解析　由题意可得，圆的圆心为(a，0)，半径为，
∴≤，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.
答案　[－3，1]
知 识 梳 理
1.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法
(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系.
dr⇔相离.
(2)代数法：
2.圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，
圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0).
　　方法
位置关系 　　
几何法：圆心距d与r1，r2的关系
代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况
外离
d>r1＋r2
无解
外切
d＝r1＋r2
一组实数解
相交
|r1－r2| 两组不同的实数解
内切
d＝|r1－r2|(r1≠r2)
一组实数解
内含
0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)
无解
3.常见结论
(1)圆的切线方程常用结论
①过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
②过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
③过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)圆与圆的位置关系的常用结论
ⅰ.两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条.
ⅱ.当两圆相交时，两圆方程(x2，y2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程.

考点一　直线与圆的位置关系的判断
【例1】 (一题多解)(1)过点P(－3，－4)作直线l，当斜率为何值时，直线l与圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝4有公共点？
(2)求经过点(1，－7)与圆x2＋y2＝25相切的直线方程.
解　(1)法一　设直线l的方程为y＋4＝k(x＋3)，
即kx－y＋3k－4＝0，
圆心C(1，－2)到直线l的距离d＝，
由d≤2，即|k＋2＋3k－4|≤2，解得0≤k≤.
法二　设直线l的方程为y＋4＝k(x＋3)，
即y＝kx＋(3k－4)，
代入圆C的方程得(1＋k2)x2＋2(3k2－2k－1)x＋(9k2－12k＋1)＝0，由此方程的判别式Δ≥0，得(3k2－2k－1)2－(1＋k2)(9k2－12k＋1)≥0，解得0≤k≤.
(2)法一　设切线的斜率为k，
由点斜式有y＋7＝k(x－1)，即y＝k(x－1)－7.①
将①代入圆的方程x2＋y2＝25，得x2＋[k(x－1)－7]2＝25，化简整理得(k2＋1)x2－(2k2＋14k)x＋k2＋14k＋24＝0.
所以Δ＝(2k2＋14k)2－4(k2＋1)(k2＋14k＋24)＝0.由此解得k＝或k＝－，代入①可得切线方程为4x－3y－25＝0或3x＋4y＋25＝0.
法二　设所求切线的斜率为k，
则所求直线方程为y＋7＝k(x－1)，
整理成一般式得kx－y－k－7＝0，
由圆的切线性质可得＝5，
化简得12k2－7k－12＝0，
所以k＝或k＝－.
所以切线方程为4x－3y－25＝0或3x＋4y＋25＝0.
法三　设所求切线方程为x0x＋y0y＝25，其中(x0，y0)是圆上的点，将坐标(1，
－7)代入后，得x0－7y0＝25.
由解得或
故所求切线方程为4x－3y－25＝0或3x＋4y＋25＝0.
规律方法　判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系.
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断.
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.
上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.
【训练1】 (1)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是 .
(2)(2018·南京月考)圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置关系为 .
解析　(1)因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，所以a2＋b2>1，而圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝＝<1.
所以直线与圆相交.
(2)直线2tx－y－2－2t＝0恒过点(1，－2)，
∵12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5<0，
∴点(1，－2)在圆x2＋y2－2x＋4y＝0内.
∴直线2tx－y－2－2t＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＝0相交.
答案　(1)相交　(2)相交
考点二　圆与圆的位置关系
【例2】 已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.
(1)m取何值时两圆外切；
(2)m取何值时两圆内切；
(3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.
解　(1)两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，
(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，
圆心分别为M(1，3)，N(5，6)，半径分别为和(m<61).
当两圆外切时，
＝＋，
解得m＝25＋10.
(2)当两圆内切时，因为定圆的半径小于两圆圆心间距离5，
故只有－＝5，解得m＝25－10.
(3)两圆的公共弦所在直线方程为
(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，
即4x＋3y－23＝0，所以公共弦长为
2＝2.
规律方法　判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤为
(1)确定两圆的圆心坐标和半径长.
(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d，求r1＋r2，|r1－r2|.
(3)比较d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，写出结论.
【训练2】 (1)(2016·山东卷改编)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是 .
(2)如果圆C：x2＋y2－2ax－2ay＋2a2－4＝0与圆O：x2＋y2＝4总相交，那么实数a的取值范围是 .
解析　(1)∵圆M：x2＋(y－a)2＝a2(a>0)，∴圆心坐标为M(0，a)，半径r1为a，
圆心M到直线x＋y＝0的距离d＝，由勾股定理得＋()2＝a2，解得a＝2.
∴M(0，2)，r1＝2.
又圆N的圆心坐标N(1，1)，半径r2＝1，
∴MN＝＝，r1＋r2＝3，r1－r2＝1.
∴r1－r2＜|MN|＜r1＋r2，∴两圆相交.
(2)圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝4，圆心坐标为(a，a)，半径为2.
依题意得0<<2＋2，∴0<|a|<2.
∴a∈(－2，0)∪(0，2).
答案　(1)相交　(2)(－2，0)∪(0，2)
考点三　直线与圆的综合问题
【例3－1】 (一题多解)如图，设圆x2＋y2＝1的一条切线与x轴、y轴分别交于点A，B，则线段AB长的最小值为 .

解析　法一　设切点为D，∠OAB＝α，连接OD，则OD⊥AB，
从而得到AD＝＝，BD＝＝.
所以线段AB＝＋＝＝，则线段AB长度的最小值为2.
法二　设A(a，0)，B(0，b)，则直线AB：＋＝1，又直线AB与圆相切，故d＝＝1，即＋＝1，又AB2＝a2＋b2＝(a2＋b2)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b时取等号，所以AB长的最小值为2.
答案　2
【例3－2】 已知t∈R，圆C：x2＋y2－2tx－2t2y＋4t－4＝0.
(1)若圆C的圆心在直线x－y＋2＝0上，求圆C的方程.
(2)圆C是否过定点？如果过定点，求出定点的坐标；如果不过定点，请说明理由.
解　(1)由原方程配方得(x－t)2＋(y－t2)2＝t4＋t2－4t＋4，其圆心为C(t，t2).
依题意知t－t2＋2＝0，所以t＝－1或2.
即圆C的方程为x2＋y2＋2x－2y－8＝0或x2＋y2－4x－8y＋4＝0.
(2)整理圆C的方程为(x2＋y2－4)＋(－2x＋4)t＋(－2y)·t2＝0，
令⇒
所以圆C过定点(2，0).
【例3－3】 如图，已知圆C：x2＋(y－3)2＝4，一动直线l过点A(－1，0)与圆C相交于P，Q两点，M是PQ中点，l与直线m：x＋3y＋6＝0相交于点N.

(1)求证：当l与m垂直时，l必过圆心C.
(2)当PQ＝2时，求直线l的方程.
(3)探索·是否与直线l的倾斜角有关？若无关，请求出其值；若有关，请说明理由.
(1)证明　因为l与m垂直，且km＝－，所以kl＝3.
又kAC＝3，所以当l与m垂直时，l的方程为y＝3(x＋1)，l必过圆心C.
(2)解　①当直线l与x轴垂直时，易知x＝－1，符合题意.②当直线l与x轴不垂直时，
设直线l的方程为y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0.
因为PQ＝2，所以CM＝＝1，
则由CM＝＝1，得k＝，
所以直线l：4x－3y＋4＝0.
从而所求的直线l的方程为x＝－1或4x－3y＋4＝0.
(3)解　因为CM⊥MN，所以·＝(＋)·＝·＋·＝·.
①当l与x轴垂直时，易得N，则＝.又＝(1，3)，
所以·＝·＝－5；
②当l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，
则由得N，
则＝.
所以·＝·＝＋＝－5.
综上，·与直线l的斜率无关，且·＝－5.
规律方法　(1)例3－1在建立函数时，没有选择用点D的坐标建立函数，而是选择∠OAB为自变量来建立函数，这种方法对于二元函数来说，有利于求解.
(2)判定圆是否过定点，或是求圆所过定点坐标的问题，可以在方程形式上转化为关于某个参量的方程，结合恒等式的关系，再构造关于x，y的方程组求该点的坐标.若方程组有解，则说明圆过定点，否则圆不过定点.
(3)一般地，涉及到圆的切线或考虑其弦长问题时，若需要求直线的方程，则务必要全面考虑问题，即要考虑直线的斜率存在与不存在两种情况.

一、必做题
1.(2018·广州调研)若点A(1，0)和点B(4，0)到直线l的距离依次为1和2，则这样的直线有 条.
解析　如图，分别以A，B为圆心，1，2为半径作圆.依题意得直线l是圆A的切线，A到l的距离为1，直线l也是圆B的切线，B到l的距离为2，所以直线l是两圆的公切线，共3条(2条外公切线，1条内公切线).

答案　3
2.若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝ .
解析　圆C2的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m(m<25).
又圆C1：x2＋y2＝1，∴C1C2＝5.
又∵两圆外切，∴5＝1＋，解得m＝9.
答案　9
3.(2018·镇江模拟)已知集合M＝{(x，y)|x－3≤y≤x－1}，N＝{P|PA≥PB，
A(－1，0)，B(1，0)}，则表示M∩N的图形面积等于 .
解析　令P(x，y)，所以(x＋1)2＋y2≥2[(x－1)2＋y2]，
所以x2－6x＋y2＋1≤0，所以(x－3)2＋y2≤8，
所以点P的轨迹为以(3，0)为圆心，半径为2的圆及圆的内部.
表示M∩N的图形如图中阴影部分所示，

由于直线y＝x－3过圆心(3，0)，圆心(3，0)到直线y＝x－1的距离为＝，
直线y＝x－1与圆的两个交点所对的圆心角为，所以阴影部分面积为
×2×＋×(2)2×＝2＋.
答案　＋2
4.(2018·泰州模拟)过点P(3，1)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为 .
解析　如图所示，由题意知切点A(1，1)，AB⊥PC，kPC＝，∴kAB＝－2，∴直线AB的方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0.

答案　2x＋y－3＝0
5.若直线l：y＝kx＋1(k<0)与圆C：x2＋4x＋y2－2y＋3＝0相切，则直线l与圆D：(x－2)2＋y2＝3的位置关系是 .
解析　因为圆C的标准方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝2，所以其圆心坐标为(－2，1)，半径为，因为直线l与圆C相切.所以＝，解得k＝±1，因为k<0，所以k＝－1，所以直线l的方程为x＋y－1＝0.圆心D(2，0)到直线l的距离d＝＝<，所以直线l与圆D相交.
答案　相交
6.已知A(－2，0)，B(0，2)，实数k是常数，M，N是圆x2＋y2＋kx＝0上两个不同点，P是圆x2＋y2＋kx＝0上的动点，如果M，N关于直线x－y－1＝0对称，那么△PAB面积的最大值是 .
解析　依题意得圆x2＋y2＋kx＝0的圆心位于直线x－y－1＝0上，
于是有－－1＝0，即k＝－2，因此圆心坐标是(1，0)，半径是1.
由题意可得AB＝2，直线AB的方程是＋＝1，
即x－y＋2＝0，圆心(1，0)到直线AB的距离等于＝，
点P到直线AB的距离的最大值是＋1，
∴△PAB面积的最大值为×2×＝3＋.
答案　3＋
7.(2015·山东卷)过点P(1，)作圆x2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则·＝ .
解析　由题意，圆心为O(0，0)，半径为1.如图所示，

P(1，)，∴PB⊥x轴，PA＝PB＝.
∴POA为直角三角形，其中OA＝1，AP＝，则OP＝2，
∴∠OPA＝30°，∴∠APB＝60°.
∴·＝| |·cos∠APB＝××cos 60°＝.
答案　
8.(2018·常州模拟)已知点A(1，1)，B(1，3)，圆C：(x－a)2＋(y＋a－2)2＝4上存在点P，使PB2－PA2＝32，则圆心横坐标a的取值范围为 .
解析　设P(x，y)，则PB2－PA2＝(x－1)2＋(y－3)2－(x－1)2－(y－1)2＝－4y＋8＝32，即y＝－6，由题意可得圆C与直线y＝－6有公共点，则|(2－a)－(－6)|≤2，即|a－8|≤2，解得6≤a≤10，故实数a的取值范围是[6，10].
答案　[6，10]
9.已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，O为坐标原点，动点P在圆C外，过P作圆C的切线，设切点为M.
(1)若点P运动到(1，3)处，求此时切线l的方程；
(2)求满足条件PM＝PO的点P的轨迹方程.
解　把圆C的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，
∴圆心为C(－1，2)，半径r＝2.
(1)当l的斜率不存在时，此时l的方程为x＝1，
C到l的距离d＝2＝r，满足条件.
当l的斜率存在时，设斜率为k，
则l的方程为y－3＝k(x－1)，
即kx－y＋3－k＝0，
则＝2，解得k＝－.
∴l的方程为y－3＝－(x－1)，
即3x＋4y－15＝0.
综上，满足条件的切线l的方程为x＝1或3x＋4y－15＝0.
(2)设P(x，y)，则PM2＝PC2－MC2
＝(x＋1)2＋(y－2)2－4，
PO2＝x2＋y2，∵PM＝PO，
∴(x＋1)2＋(y－2)2－4＝x2＋y2，
整理得2x－4y＋1＝0，
∴点P的轨迹方程为2x－4y＋1＝0.
10.(2018·苏北四市高三上学期期中)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－4x＝0及点A(－1，0)，B(1，2).

(1)若直线l平行于AB，与圆C相交于M，N两点，MN＝AB，求直线l的方程；
(2)在圆C上是否存在点P，使得PA2＋PB2＝12？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由.
解　(1)圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝4，所以圆心C(2，0)，半径为2.
因为l∥AB，A(－1，0)，B(1，2)，所以直线l的斜率为＝1，
设直线l的方程为x－y＋m＝0，
则圆心C到直线l的距离为d＝＝.
因为MN＝AB＝＝2，
而CM2＝d2＋2，所以4＝＋2，解得m＝0或m＝－4，
故直线l的方程为x－y＝0或x－y－4＝0.
(2)假设圆C上存在点P，设P(x，y)，则(x－2)2＋y2＝4，
PA2＋PB2＝(x＋1)2＋(y－0)2＋(x－1)2＋(y－2)2＝12，
即x2＋y2－2y－3＝0，即x2＋(y－1)2＝4，
因为|2－2|<<2＋2，
所以圆(x－2)2＋y2＝4与圆x2＋(y－1)2＝4相交，
所以点P的个数为2.
二、选做题
11.(2018·苏北四市一模)已知A，B是圆C1：x2＋y2＝1上的动点，AB＝，P是圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝1上的动点，则|＋|的取值范围为 .
解析　取AB的中点C，则|＋|＝2||，C的轨迹方程是x2＋y2＝，C1C2＝5，
由题意，||的最大值为5＋1＋＝，最小值为5－1－＝.
∴|＋|的取值范围为[7，13].
答案　[7，13]
12.(2018·浙江六校联考)已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方.
(1)求圆C的方程；
(2)过点M(1，0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.
解　(1)设圆心C(a，0)(a>－)，
则＝2⇒a＝0或a＝－5(舍).
所以圆C的方程为x2＋y2＝4.
(2)当直线AB⊥x轴时，x轴平分∠ANB.
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，N(t，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
若x轴平分∠ANB，
则kAN＝－kBN⇒＋＝0
⇒＋＝0
⇒2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0
⇒－＋2t＝0⇒t＝4，
所以当点N为(4，0)时，能使得x轴平分∠ANB总成立.