2019届二轮复习 等差数列 学案（全国通用）

考纲解读：1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系．考点梳理：1．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示． 数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N ，d为常数)，或an－an－1＝d(n≥2，d为常数)．2．等差数列的通项公式与前n项和公式(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d．通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(m，n∈N )．(2)等差数列的前n项和公式Sn＝＝na1＋d(其中n∈N ，a1为首项，d为公差，an为第n项)．3．等差数列及前n项和的性质(1)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝．(2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N )．(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N )是公差为md的等差数列．(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．.   ](5)S2n－1＝(2n－1)an.(6)若n为偶数，则S偶－S奇＝；若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．4．等差数列的前n项和公式与函数的关系Sn＝n2＋n.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．5．等差数列的前n项和的最值在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值．【必会结论】等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N )．(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n (k，l，m，n∈N )，则ak＋al＝am＋an.若m＋n＝2p(m，n，p∈N )，则am＋an＝2ap.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.   ](4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．(5)若{an}是等差数列，公差为d, 则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N )是公差为md的等差数列．(6)等差数列{an}的前n项和为Sn, 则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等差数列，其公差为n2d.核心能力必练一、选择题1．(2018湖北荆州一模,5)在等差数列{an}中,a1=1,a2+a6=10,则a7= (　　) A.9　    B.10　    C.11　    D.12 【答案】A 2．(2018河南濮阳二模,7)已知等差数列{an}一共有9项,前4项和为3,最后3项和为4,则中间一项
的值为 (　　) A.  　    B.  　    C.1　    D.   【答案】D【解析】设等差数列{an}的公差为d，由题意得解得所以中间一项为a5=a1+4d=，故选D．3．(2018河南信阳二模,9)《九章算术》是我国古代的数学名著,书中有如下问题:“今有五人分五钱,令上二人所得与下三人等,问各得几何?”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱,甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列,问五人各得多少钱?”(“钱”是古代一种质量单位),在这个问题中,甲得　　　    钱 (     　) A.  　    B.  　    C.  　    D.  【答案】C 4．设数列是等差数列，为其前项和.若，，则（   ）A．                 B．                 C．                  D．【答案】C【解析】设等差数列的首项为，公差为，由题意得解得所以，故选C．5．设是等差数列的前项和，，，则（   ）A．                B．                 C．                D．【答案】B【解析】设公差为，因为，所以，所以，故选B.6．已知等差数列的前项和为，且，若，则的取值范围是（   ）A．            B．             C.              D．【答案】A【解析】设公差为，由得，即，则由得，解得.故选A.7．已知等差数列的前项和为，若，，则取最大值时，的值为（   ）A．3             B．4              C．5                  D．6【答案】C【解析】设等差数列的公差为，则解得，所以 ，故当时，取最大值，故选C.   | |k ]8．设公差不为零的等差数列的前项和为，若，则等于（   ）A．                   B．                 C．7                D．14【答案】C【解析】，故选C.9．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第九日所织尺数为（   ）A．8                 B．9                  C．10                  D．11【答案】B 10．在等差数列中，，，则此数列前30项和等于（   ）A．              B．                C．                 D．【答案】B【解析】由得，由得，所以此数列前项和 .故选B．11．已知等差数列满足，则有（   ）A．          B．          C．           D．【答案】C【解析】根据等差数列的性质，可知，所以，故选C．12．《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现.书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织得快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布尺，一个月（按30天计算）总共织布尺，问每天增加的数量为多少尺？该问题的答案为（     ）A．尺          B．尺          C．尺          D．尺【答案】B 13．已知等差数列的前项和为，且满足，，则中最大的项为（   ）A．                 B．                  C.                 D．【答案】D【解析】，，又最大. 14．已知等差数列的前项和为，且，，则使得取最小值时的为 （   ）A．                 B．                 C.                   D．或【答案】B【解析】由等差数列的性质，可得，  ，所以，所以数列的通项公式为 ，令，解得，所以数列的前六项为负数，从第七项开始为正数，所以使得取最小值时的为，故选B．   15．已知等差数列中，，，记，则（   ）A．78                   B．152                C．156                 D．168【答案】C 【解析】设等差数列的首项为，公差为，则①，②，联立①②，得.16．若是等差数列，首项，，，则使前项和成立的最大正整数是（   ）A．              B．            C．           D．【答案】C17．等差数列中，为前项和，已知，且，则等于（    ）A．           B．            C．             D．     【答案】C【解析】 因为，故是以为首项，为公差的等差数列，所以，解得，又18．若数列是等差数列，则称数列为“等方差数列”，给出以下判断：①常数列是等方差数列；②若数列是等方差数列，则数列是等差数列；③若数列是等方差数列，则数列是等方差数列；④若数列是等方差数列，则数列也是等方差数列，其中正确的序号为（   ）A.①②③              B.①②④              C.①③④              D.②③④【答案】B 二、填空题19．设等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时，等于         .【答案】【解析】当时，取最小值.20．设是等差数列，若，则        .【答案】63【解析】由得，所以.21．已知数列为等差数列，为的前项和，若，，则的取值范围是     ．【答案】【解析】由，.22．在等差数列中，，则该数列的前14项和为   ． 【答案】【解析】由得，，.       23．设等差数列的前项和为，若，，则的最大值为      ．【答案】三、解答题24．已知等差数列的前项和为，，且，.（1）求数列，的通项公式；（2）求证：.【答案】（1），    （2）详见解析【解析】（1）设等差数列的公差为.，，，解得 ，.（2）.25．已知正项数列的前项和为，且是1与的等差中项．（1）求数列的通项公式；（2）设为数列的前项和，证明：（）．【答案】（1）   （2）证明见解析【解析】（1）由是1与的等差中项，得，即，则当时，，当时，，，是以为首项，为公差的等差数列，即.     26．设等差数列的前项和为，且.（1）求的通项公式；（2）若不等式对所有的正整数都成立，求实数的取值范围.【答案】（1）  （2）【解析】（1）设公差为，则，∴.∴的通项公式为.（2），则，又.所以原不等式可化为，当为奇数时，；当为偶数时，，∵，当且仅当时取等号，∴当为奇数时，的最小值为7；当为偶数时，时，取最小值，∴. 27．已知数列为等差数列，，公差，且.（1）求数列的通项公式以及它的前n项和；（2）若数列满足，为数列的前项和，求；（3）在（2）的条件下，若不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）   （2）   （3）（3）①当为偶数时，要使不等式恒成立，只需不等式恒成立即可， ∵，等号在时取得，∴，②当为奇数时，要使不等式恒成立，只需不等式恒成立即可， ∵随的增大而增大，∴时，取得最小值，∴.综合①②可得的取值范围是.