2019届二轮复习 二项式定理 学案 （全国通用）

【考纲解读】

【知识清单】

1. 二项式定理

1. 二项式定理

，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做的二项展开式，其中的系数 ()叫做二项式系数．式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即展开式的第项；.

2．二项展开式形式上的特点

(1)项数为.

(2)各项的次数都等于二项式的幂指数，即与的指数的和为.

(3)字母按降幂排列，从第一项开始，次数由逐项减1直到零；字母按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到.

(4)二项式的系数从，，一直到，.

3. 二项式系数的性质

(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即，，，.

(2)增减性与最大值：二项式系数，当时，二项式系数是递增的；由对称性知：当时，二项式系数是递减的．

当是偶数时，中间的一项取得最大值．

当是奇数时，中间两项 和相等，且同时取得最大值．

(3)各二项式系数的和

的展开式的各个二项式系数的和等于，即，二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即，

4.注意:（1）．分清是第项，而不是第项.

(2)．在通项公式中，含有、、、、、这六个参数，只有、、、是独立的，在未知、的情况下，用通项公式解题，一般都需要首先将通式转化为方程（组）求出、,然后代入通项公式求解.

(3)．求二项展开式中的一些特殊项，如系数最大项，常数项等，通常都是先利用通项公式由题意列方程，求出，再求所需的某项；有时则需先求,计算时要注意和的取值范围以及 它们之间的大小关系.

 (4) 在中，就是该项的二项式系数，它与，的值无关；而项的系数是指化简后字母外的数．

5．二项式的应用

（1）求某些多项式系数的和；

（2）证明一些简单的组合恒等式；

（3）证明整除性,①求数的末位；②数的整除性及求系数；③简单多项式的整除问题；

（4）近似计算.当充分小时，我们常用下列公式估计近似值：

①；②；

（5）证明不等式.

【重点难点突破】

考点1  二项式定理

【1-1】【2018年浙江卷】二项式的展开式的常数项是           ．

【答案】7

【解析】

【1-2】【2018年全国卷Ⅲ理】的展开式中的系数为

A. 10    B. 20    C. 40    D. 80

【答案】C

【解析】

由题可得，令,则，所以

故选C.   

【1-3】【2017浙江，13】已知多项式32=，则=        ，=        ．

【答案】16，4

【解析】

综合点评：这几个题都是二项式定理的应用, 解题的关键是一是利用恒等定理(两个多项式恒等，则对应项系数相等)；二是赋值．这两种思路相结合可以使得二项展开式的系数问题迎刃而解．另外，通项公式主要用于求二项式的指数，求满足条件的项或系数，求展开式的某一项或系数，一般都需先转化为方程(组)求出，然后代入通项公式求解．

【领悟技法】

1.在应用通项公式时，要注意以下几点：

①它表示二项展开式的任意项，只要与确定，该项就随之确定；

②是展开式中的第项，而不是第项；

③公式中，，的指数和为且，不能随便颠倒位置；

④对二项式展开式的通项公式要特别注意符号问题．

⑤在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法．

2. 二项定理问题的处理方法和技巧:

⑴运用二项式定理一定要牢记通项，注意与虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指，而后者是字母外的部分．前者只与和有关，恒为正，后者还与，有关，可正可负．

⑵ 对于二项式系数问题，应注意以下几点：

①求二项式所有项的系数和，可采用“特殊值取代法”，通常令字母变量的值为1；

②关于组合恒等式的证明，常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法；  ]

③证明不等式时，应注意运用放缩法.

⑶ 求二项展开式中指定的项，通常是先根据已知条件求，再求，有时还需先求，再求，才能求出.

⑷ 有些三项展开式问题可以变形为二项式问题加以解决；有时也可以通过组合解决，但要注意分类清楚，不重不漏.

⑸ 对于二项式系数问题，首先要熟记二项式系数的性质，其次要掌握赋值法，赋值法是解决二项式系数问题的一个重要手段.

⑹ 近似计算要首先观察精确度，然后选取展开式中若干项.

⑺ 用二项式定理证明整除问题，一般将被除式变为有关除式的二项式的形式再展开，常采用“配凑法”“消去法”配合整除的有关知识来解决.

多项式乘法的进位规则:在求系数过程中,尽量先化简，降底数的运算级别,尽量化成加减运算，在运算过程可以适当注意令值法的运用，例如求常数项，可令.在二项式的展开式中，要注意项的系数和二项式系数的区别.

3. 排列组合在二项展开式中的应用：展开式可以由次数、项数和系数来确定．

(1)次数的确定：从个相同的中各取一个(或)乘起来，可以构成展开式中的一项，展开式中项的形式是，其中.

(2)项数的确定：满足条件的共组．

即将展开共项，合并同类项后共项．

(3)系数的确定：展开式中含()项的系数为 (即个，个的排列数)因此展开式中的通项是： ()

这种方法比数学归纳法推导二项式定理更具一般性和创造性，不仅可二项展开，也可三项展开，四项展开等．

4. 求几个二项式积的展开式中某项的系数或特定项时，一般要根据这几个二项式的结构特征进行分类搭配，分类时一般以一个二项式逐项分类，分析其他二项式应满足的条件，然后再求解结果．

5. “赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如、 ()的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令即可；对形如 ()的式子求其展开式各项系数之和，只需令即可．“赋值法”是求二项展开式系数问题常用的方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解题易出现漏项等情况，应引起注意．例：若，则展开式中各项系数之和为，奇数项系数之和为，偶数项系数之和为，令，可得．

6. 求展开式系数最大项：如求 ()的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为，且第项系数最大，应用从而解出k来，即得．

7. (1)利用二项式定理解决整除问题时，关键是进行合理地变形构造二项式，应注意：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可．

(2)求余数问题时，应明确被除式与除式 ()，商式与余式的关系及余式的范围．

(3)展开式中常数项、有理项的特征是通项中未知数的指数分别为零和整数．解决这类问题时，先要合并通项中同一字母的指数，再根据上述特征进行分析．

(4)有关求二项展开式中的项、系数、参数值或取值范围等，一般要利用通项公式，运用方程思想进行求值，通过解不等式(组)求取值范围．

【触类旁通】

【变式一】【2017课标1，理6】展开式中的系数为（    ）

A．15    B．20    C．30    D．35

【答案】C 

【解析】[

【变式二】【2018届云南省大理市云南师范大学附属中学月考卷二】若的展开式中常数项为，则实数的值为（   ）

A.     B.     C. -2    D.

【答案】D

【解析】的展开式通项为，令，则有，∴，即，解得，   

故选D．

【变式三】【2018年理数天津卷】在的展开式中，的系数为            .

【答案】

【易错试题常警惕】

易错典例：设的展开式的各项系数之和为，二项式系数之和为，若，则        .  | |k ]

易错分析：混淆二项式系数与项的系数致误

温馨提醒：解决二项展开式问题时，还有以下几点容易失误，要特别关注：

①二项展开式的通项中项数与的关系；

②正确写出二项式通项公式；

③对于二项式定理的应用会逆用公式；

④二项式系数与各项的系数混淆不清；

⑤在展开时不要忽略中间的“－”．

【学 素养提升之思想方法篇】

二项式定理中的创新问题

以二项式定理为载体的创新问题是近几年高考命题的一个热点，此类问题常以“问题”(二项式)为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，这类试题以二项式为依托，考查学生的理解能力、解决创新问题的能力．常见的有新概念、新法则、新运算．

【典例1】在的展开式中，记项的系数为，

则 （    ）.

A.              B.             C.              D.

【答案】C

【典例2】设，是大于1的自然数，的展开式为.若点，的位置如图所示，则           .

【答案】3

 【解析】根据题意知，，，结合二项式定理得，

即，解得.

温馨提醒：　

   对于二项式定理中的创新问题，要注意系数问题及排列组合知识的应用．常与函数、不等式、导数等结合，突出创新．