2019届二轮复习 基本不等式及其应用 学案（全国通用）

1.了解基本不等式的证明过程。

2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题。

热点题型一    利用基本不等式求最值

例1、 [2017·天津高考 若a，b∈R，ab>0，则的最小值为________．

【答案】4

 【变式探究】(1)若x<，则y＝x＋的最大值为________。

(2)设x≥0，y≥0，x2＋＝1，则x的最大值为________。

【解析】(1)y＝x＋＝x－＋＋

＝－＋

≤－2＋＝－，

当且仅当－x＝，即x＝－时等号成立。

(2)∵x≥0，y≥0，x2＋＝1，

∴x＝＝

≤×＝×＝，

当且仅当x＝，y＝时，x取得最大值。

【提分秘籍】

利用基本不等式求最值的常用技巧

(1)若直接满足基本不等式条件，则直接应用基本不等式。

(2)若不直接满足基本不等式条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，如构造“1”的代换等。

(3)若一次应用基本不等式不能达到要求，需多次应用基本不等式，但要注意等号成立的条件必须要一致。  

提醒：若可用基本不等式，但等号不成立，则一般是利用函数单调性求解。

【举一反三】

已知x>0，y>0，且x＋y＝1，则＋的最小值是________。

【答案】7＋4

热点题型二    基本不等式的实际应用

例2、【2017江苏，10】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则的值是   ▲   .

【答案】30

【解析】总费用，当且仅当，即时等号成立.

【变式探究】某厂家拟在2017年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x＝3－( 为常数)。如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件。已知2017年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)。

(1)将该厂家2017年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；

(2)该厂家2017年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？

(2)∵m≥0，＋(m＋1)≥2＝8，   .     

∴y≤－8＋29＝21，

当且仅当＝m＋1⇒m＝3(万元)时，ymax＝21(万元)。

故该厂家2017年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元。

【提分秘籍】

利用基本不等式求解实际应用题的方法

(1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如“物价、销售、税收、原材料”等，题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数模型，转化为数问题求解。

(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解。

【举一反三】

某化工企业2016年底投入100万元，购入一套污水处理设备。该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元。设该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用为y(单位：万元)。

(1)用x表示y；

(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需要重新更换新的污水处理设备。则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备。

【解析】(1)由题意得，

y＝，

即y＝x＋＋1.5(x∈N )。

(2)由基本不等式得：

y＝x＋＋1.5≥2＋1.5＝21.5，

当且仅当x＝，即x＝10时取等号。      

故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备。

热点题型三  基本不等式的综合应用 

例3．(1)若点A(1,1)在直线mx＋ny－2＝0上，其中mn>0，则＋的最小值为________。

(2)已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则m的最大值为(　　)

A．9   B．12

C．18  D．24

【提分秘籍】

基本不等式综合问题的解题策略

(1)应用基本不等式判断不等式是否成立：对所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解。

(2)条件不等式的最值问题：通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解。

(3)求参数的值域范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围。

【举一反三】

已知直线ax＋by＋c－1＝0(b，c＞0)经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则＋的最小值是(　　)

A．9  B．8

C．4  D．2

【解析】圆x2＋y2－2y－5＝0化成标准方程，得x2＋(y－1)2＝6，

所以圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心为C(0,1)，

因为直线ax＋by＋c－1＝0经过圆心C，

所以a×0＋b×1＋c－1＝0，即b＋c＝1，

因此，＋＝(b＋c)＝＋＋5。

因为b，c＞0，所以＋≥2 ＝4。

当且仅当＝时等号成立。  

由此可得b＝2c，且b＋c＝1，即b＝，c＝时，＋取得最小值9，故选A。

1.[2017·山东高考 若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1,2)，则2a＋b的最小值为________．

【答案】8

2.[2017·天津高考 若a，b∈R，ab>0，则的最小值为________．

【解析】∵a4＋4b4≥2a2·2b2＝4a2b2(当且仅当a2＝2b2时“＝”成立)，

∴≥＝4ab＋，

由于ab>0，∴4ab＋≥2＝4，

故当且仅当时，的最小值为4.

【答案】4

3．[2017·江苏高考 某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．

【答案】30

1.【2016高考山东文数】若变量x，y满足则x2+y2的最大值是（    ）

（A）4（B）9（C）10（D）12

【答案】C

【解析】画出可行域如图所示，点A（3，1）到原点距离最大，所以，选C.

2.【2016高考浙江文数】若平面区域 夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（   ）

A.    B.    C.     D.

【答案】B

3.【2016高考新课标2文数】若x，y满足约束条件，则的最小值为__________

【答案】

【解析】由得，点，由得，点，由得，点，分别将，，代入得：，，，所以的最小值为．

4.[2016高考新课标Ⅲ文数 若满足约束条件 则的最小值为_____________.

【答案】－10

【解析】作出不等式组满足的平面区域，如图所示，由图知当目标函数经过点时取得最小值，即．  

5.【2016高考新课标1文数】某高 技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 g,乙材料1 g,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 g,乙材料0.3 g,用3个工时,生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 g,乙材料90 g,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为            元.

【答案】

6.【2016高考上海文 】若满足 则的最大值为_______.       

【答案】－2

【解析】由不等式组画出可行域如图中阴影部分所示，

令，当直线经过点时，取得最大值. .

1.【2015高考湖南，文7】若实数满足，则的最小值为(    )

A、                   B、2                C、2                D、4

【答案】C

【解析】，（当且仅当时取等号），所以的最小值为，故选C.

2.【2015高考重庆，文14】设,则的最大值为________.

【答案】

3.【2015高考福建，文5】若直线过点，则的最小值等于（    ）

A．2    B．3   C．4   D．5

【答案】C

【解析】由已知得，则，因为，所以，故，当，即时取等号．  

4．（2014·辽宁卷）对于c>0，当非零实数a，b满足4a2－2ab＋4b2－c＝0且使 2a＋b 最大时，－＋的最小值为________．

【答案】－2　

【解析】由题知2c＝－(2a＋b)2＋3(4a2＋3b2)．

(4a2＋3b2)≥(2a＋b)2⇔4a2＋3b2≥(2a＋b)2，即2c≥(2a＋b)2，

当且仅当＝，即2a＝3b＝6λ(同号)时，

 2a＋b 取得最大值，此时c＝40λ2.

－＋＝－＝－2≥－2，

当且仅当a＝，b＝，c＝时，－＋取最小值－2.

5．（2014·山东卷）若的展开式中x3项的系数为20，则a2＋b2的最小值为________．

【答案】2　

【解析】Tr＋1＝C(ax2)6－r·＝Ca6－r·brx12－3r，令12－3r＝3，得r＝3，所以Ca6－3b3＝20，即a3b3＝1，所以ab＝1，所以a2＋b2≥2ab＝2，当且仅当a＝b，且ab＝1时，等号成立．故a2＋b2的最小值是2.

6．(2014·福建卷)要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 (　　)

A．80元        B．120元 

C．160元        D．240元

【解析】设底面矩形的长和宽分别为a m，b m，则ab＝4(m2)．容器的总造价为20ab＋2(a＋b)×10＝80＋20(a＋b)≥80＋40＝160(元)(当且仅当a＝b时等号成立)．故选C.   

【答案】C

7．(2014·重庆卷)若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是________．

【答案】7＋4

8．（2014·四川卷）已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，·＝2(其中O为坐标原点)，则△ABO与△AFO面积之和的最小值是(　　)

A．2  B．3  C.  D.

【答案】B　

【解析】由题意可知，F.设A(y，y1)，B(y，y2)，∴·＝y1y2＋yy＝2，

解得y1y2＝1或y1y2＝－2.又因为A，B两点位于x轴两侧，所以y1y2＜0，即y1y2＝－2.

当y≠y时，AB所在直线方程为y－y1＝(x－y)＝ (x－y)，