2019届二轮复习　不等式学案（全国通用）(1)

回扣5　不等式

1.一元二次不等式的解法

解一元二次不等式的步骤：一化(将二次项系数化为正数)；二判(判断Δ的符号)；三解(解对应的一元二次方程)；四写(大于取两边，小于取中间).

解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑：①二次项系数，它决定二次函数的开口方向；②判别式Δ，它决定根的情形，一般分Δ＞0，Δ＝0，Δ<0三种情况；③在有根的条件下，要比较两根的大小.

2.一元二次不等式的恒成立问题

(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)恒成立的条件是

(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的条件是

3.分式不等式

＞0(<0)⇔f(x)g(x)＞0(<0)；

≥0(≤0)⇔

4.基本不等式

(1)≥(a，b∈(0，＋∞))，当且仅当a＝b时取等号.

(2)在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件.

5.线性规划

(1)可行域的确定，“线定界，点定域”.

(2)线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得.

(3)线性目标函数的最值也可在可行域的边界上取得，这时满足条件的最优解有无数多个.

1.不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，不讨论这个数的正负，从而出错.

2.解形如一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0时，易忽视系数a的讨论导致漏解或错解，要注意分a＞0，a<0进行讨论.

3.应注意求解分式不等式时正确进行同解变形，不能把≤0直接转化为f(x)·g(x)≤0，而忽视g(x)≠0.

4.容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、 二定、三相等”导致错解，如求函数f(x)＝＋的最值，就不能利用基本不等式求最值；求解函数y＝x＋(x<0)时应先转化为正数再求解.

5.解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y的系数的正负；注意最优整数解.

6.求解线性规划问题时，不能准确把握目标函数的几何意义导致错解，如是指已知区域内的点(x，y)与点(－2，2)连线的斜率，而(x－1)2＋(y－1)2是指已知区域内的点(x，y)到点(1,1)的距离的平方等.

1.函数y＝的定义域是________.

答案　[－3,1]

解析　由3－2x－x2≥0，得x2＋2x－3≤0，解得x∈[－3,1].

2.若不等式2kx2＋kx－≥0的解集为空集，则实数k的取值范围是____________.

答案　(－3,0]

解析　由题意可知，2kx2＋kx－＜0恒成立，当k＝0时成立，当k≠0时需满足代入求得－3＜k＜0，所以实数k的取值范围是(－3,0].

3.二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为，则关于x的不等式cx2－bx＋a＞0的解集为________.

答案　{x|－3＜x＜－2}

解析　由已知，－＝，＝，且a＜0，则b＝－a，c＝a，故不等式cx2－bx＋a＞0可化为x2＋5x＋6＜0，解得－3＜x＜－2.

4.若x，y满足则x－2y的最大值为________.

答案　－2

解析　令z＝x－2y，则y＝x－.当在y轴上截距最小时，z最大.即过点(0,1)时，z取最大值，z＝0－2×1＝－2.

5.要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是20元/m2，侧面造价是10元/m2，则该容器的最低总造价是________元.

答案　160

解析　由题意知，体积V＝4 m3，高h＝1 m，

所以底面积S＝4 m2，设底面矩形的一条边长是x m，则另一条边长是 m，又设总造价是y元，则y＝20×4＋10×≥80＋20＝160，当且仅当2x＝，即x＝2时取得等号.

6.设P是函数y＝(x＋1)图象上异于原点的动点，且该图象在点P处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是________.

答案　

解析　因为y′＝(x＋1)＋＝＝＋(x＞0)≥2＝，当且仅当x＝时取等，

所以k＝tan θ≥，又θ∈[0，π)，所以θ∈.

7.若不等式≤a≤在t∈(0,2]上恒成立，则a的取值范围是______________.

答案　

解析　∵＝，而t＋在区间(0,2]上单调递减，∴t＋≥2＋＝，＝≤(当且仅当t＝2时等号成立)，又＝＋＝22－，

∵≥，∴22－≥1(当且仅当t＝2时等号成立)，故a的取值范围是.

8.若a，b均为非负实数，且a＋b＝1，则＋的最小值为________.

答案　3

解析　方法一　令a＋2b＝s,2a＋b＝t，则＋＝＋.由题意知，s≥0，t≥0，且s＋t＝3(a＋b)＝3，所以＋＝＝≥×9＝3，当且仅当s＝1，t＝2时等号成立.所以＋的最小值为3.

方法二　因为a＋b＝1，所以＋＝＋，

令1＋b＝s，a＋1＝t，则＋＝＋，由题意知，s≥1，t≥1，且s＋t＝3，所以＋＝＝≥×9＝3，当且仅当s＝1，t＝2时等号成立.所以＋的最小值为3.

9.解关于x的不等式≤x＋1.

解　原不等式可化为－(x＋1)≤0，即≤0，

当a＝0时，有≤0，所以x＞1，当a≠0时，

①当a＜0时，有≥0，且＜1，所以x≤或x＞1；

②当0＜a＜1时，有≤0，且＞1，所以1＜x≤；

③当a＝1时，有≤0，所以x∈∅，

④当a＞1时，有≤0，且＜1，所以≤x＜1，

综上，

当a＜0时，原不等式的解集为∪(1，＋∞)，

当a＝0时，原不等式的解集为(1，＋∞)，

当0＜a＜1时，原不等式的解集为，

当a＝1时，原不等式的解集为∅，

当a＞1时，原不等式的解集为.

10.如图，有一块平行四边形绿地ABCD，经测量BC＝2百米，CD＝1百米，∠BCD＝120°，拟过线段BC上一点E设计一条直路EF(点F在四边形ABCD的边上，不计路的宽度)，将绿地分为面积之比为1∶3的左右两部分，分别种植不同的花卉，设EC＝x百米，EF＝y百米.

(1)当点F与点D重合时，试确定点E的位置；

(2)试求x的值，使直路EF的长度y最短.

解　(1)∵S▱ABCD＝2××1×2sin 120°＝(平方百米)，

当点F与点D重合时，由已知S△CDE＝S▱ABCD＝(平方百米)，

又∵S△CDE＝CE·CD·sin 120°＝x＝，∴x＝1，

∴E是BC的中点.

(2)①当点F在CD上，即1≤x≤2时，利用面积关系可得CF＝百米，

再由余弦定理可得y＝≥，当且仅当x＝1时取等号.

②当点F在DA上时，即0≤x＜1时，利用面积关系可得DF＝(1－x)百米.

(i)当CE＜DF时，过E作EG∥CD交DA于点G，在△EGF中，EG＝1百米，GF＝(1－2x)百米，∠EGF＝60°，

利用余弦定理得y＝.

(ii)同理当CE≥DF时，过E作EG∥CD交DA于点G，在△EGF中，EG＝1，GF＝2x－1，∠EGF＝120°，利用余弦定理得y＝，

由(i)(ii)可得y＝，0≤x＜1，

∴y＝＝，

∵0≤x＜1，∴ymin＝，当且仅当x＝时取等号.

由①②可知当x＝时，直路EF的长度最短为.