2019届二轮复习 复数 学案（全国通用）
展开1.理解复数的基本概念
2.理解复数相等的充要条件
3.了解复数的代数表示法及其几何意义
4.会进行复数代数形式的四则运算
5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义
热点题型一 复数的有关概念
例1、（2018年浙江卷）复数 (i为虚数单位)的共轭复数是
A. 1+i B. 1−i C. −1+i D. −1−i
【答案】B
【变式探究】【2017课标1，文3】下列各式的运算结果为纯虚数的是
A．i(1+i)2 B．i2(1-i) C．(1+i)2 D．i(1+i)
【答案】C
【解析】由为纯虚数知选C．
【变式探究】(1)复数 满足( －3)(2－i)＝5(i为虚数单位)，则 的共轭复数为( )
A．2＋i B．2－i
C．5＋i D．5－i
(2)设i是虚数单位，若复数a－(a∈R)是纯虚数，则a的值为( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
【解析】(1)由( －3)(2－i)＝5，
得 ＝＋3＝＋3＝＋3＝5＋i，
∴＝5－i.故选D。
(2)复数a－＝a－＝(a－3)－i为纯虚数，
∴a－3＝0，∴a＝3。故选D。
【答案】（1）D （2）D
【提分秘籍】
处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理。
【举一反三】
设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
热点题型二 复数的几何意义
例2、（2018年北京卷）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】的共轭复数为，对应点为，在第四象限，故选D.
【变式探究】【2017课标3，文2】复平面内表示复数的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】由题意：，在第三象限. 所以选C.
【变式探究】(1)复数 ＝i·(1＋i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)复数 ＝(i为虚数单位)，则 ＝( )
A．25 B.
C．5 D.
【答案】（1）B （2）C
【提分秘籍】
(1)复数 、复平面上的点 及向量相互联系，即 ＝a＋bi(a，b∈R)⇔ (a，b)⇔。
(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观。
提醒： 的几何意义：令 ＝x＋yi(x，y∈R)，则 ＝，由此可知表示复数 的点到原点的距离就是 的几何意义； 1－ 2 的几何意义是复平面内表示复数 1， 2的两点之间的距离。
【举一反三】
如图，在复平面内，点A表示复数 ，则图中表示 的共轭复数的点是( )
A．A B．B
C．C D．D
【解析】设 ＝－a＋bi(a，b∈R＋)，则 的共轭复数＝－a－bi，它的对应点为(－a，－b)，是第三象限的点，故选B。
【答案】B
热点题型三 复数的运算
例3．（2018年全国Ⅱ卷文数）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选D.
【变式探究】【2017山东，文2】已知i是虚数单位,若复数 满足,则=
A.-2i B.2i C.-2 D.2
【答案】A
【解析】由得,即,所以,故选A.
【变式探究】(1)已知复数 ＝，是 的共轭复数，则 ·＝__________。
(2)＝__________。
(3)已知复数 满足＝2－i，则 ＝__________。
(2)＝＝＝i(1＋i)4＝i[(1＋i)2 2＝i(2i)2＝－4i。
(3)由＝2－i，得 ＝－i＝－i＝i－－i＝－－i。
【提分秘籍】
利用复数的四则运算求复数的一般思路
(1)复数的乘法运算满足多项式的乘法法则，利用此法则后将实部与虚部分别写出即可。
(2)复数的除法运算主要是利用分子、分母同乘以分母的共轭复数进行运算化简。
(3)利用复数的相关概念解题时，通常是设出复数或利用已知联立方程求解。
【举一反三】
设 ＝1＋i，则＋ 2等于( )
A．1＋i B．－1＋i
C．－i D．1－i
【解析】＋ 2＝＋(1＋i)2＝＋2i＝＋2i＝1－i＋2i＝1＋i。
【答案】A
1. （2018年全国Ⅲ卷文数）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，故选D.
2. （2018年浙江卷）复数 (i为虚数单位)的共轭复数是
A. 1+i B. 1−i C. −1+i D. −1−i
【答案】B
3. （2018年全国I卷文数）设，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以，故选C.
4.（2018年全国Ⅱ卷文数）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】选D.
5. （2018年北京卷）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】的共轭复数为，对应点为，在第四象限，故选D.
6. （2018年江苏卷）若复数满足，其中i是虚数单位，则的实部为________．
【答案】2
【解析】因为，则，则的实部为.
7. （2018年天津卷）已知圆的圆心为C，直线(为参数)与该圆相交于A，B两点，则的面积为___________.
【答案】
8. （2018年天津卷）i是虚数单位，复数___________.
【答案】4–i
【解析】由复数的运算法则得：.
1.【2017课标1，文3】下列各式的运算结果为纯虚数的是
A．i(1+i)2 B．i2(1-i) C．(1+i)2 D．i(1+i)
【答案】C
【解析】由为纯虚数知选C．
2.【2017课标II，文2】
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意，故选B.
3.【2017课标3，文2】复平面内表示复数的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】由题意：，在第三象限. 所以选C.
4.【2017北京，文2】若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是
（A） （B）
（C） （D）
【答案】B
5.【2017山东，文2】已知i是虚数单位,若复数 满足,则=
A.-2i B.2i C.-2 D.2
【答案】A
【解析】由得,即,所以,故选A.
1.【2016高考新课标2文数】设复数 满足，则=（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】由得，，所以，故选C.
2. [2016高考新课标Ⅲ文数 若，则＝（ ）
（A）1 （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】，故选D．
3.【2016高考四川文 】设为虚数单位，则复数=( )
(A) 0 (B)2 (C)2 (D)2+2
【答案】C
【解析】由题意，，故选C.
4.【2016高考山东文数】若复数，其中i为虚数单位，则 =（ ）
（A）1+i （B）1−i （C）−1+i （D）−1−i
【答案】B
【解析】，选B.
5.【2016高考天津文数】i是虚数单位，复数满足，则的实部为_______.
【答案】1
【解析】，所以的实部为1
1.【2015高考新课标1，文3】已知复数满足，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
2.【2015高考山东，文2】若复数 满足，其中为虚数单位，则 =( )
（A） （B） （C） （D）
【答案】
【解析】由题意所以，，故选.
3.【2015高考湖南，文1】已知=（为虚数单位），则复数 ( )
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】由题 ，故选D.
4.【2015高考湖北，文1】为虚数单位，（ ）
A． B． C． D．1
【答案】.
【解析】因为，所以应选.
5.【2015高考广东，文2】已知是虚数单位，则复数（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，故选D．
6.【2015高考福建，文1】若（是虚数单位），则的值分别等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
7.【2015高考安徽，文1】设是虚数单位，则复数（ ）
（A）3+3i （B）-1+3i （3）3+i （D）-1+i
【答案】C
【解析】因为，故选 C.
8.【2015高考北京，文9】复数的实部为 ．
【答案】
【解析】复数，其实部为.
9.【2015高考重庆，文11】复数的实部为________.
【答案】-2
【解析】由于,故知其实部为-2，故填：-2.
10.【2015高考四川，文11】设i是虚数单位，则复数＝_________.
【答案】2i
【解析】
11.【2015高考天津，文9】i是虚数单位,计算 的结果为 ．
【答案】-i
【解析】.
12.【2015高考上海，文3】若复数满足，其中是虚数单位，则 .
【答案】
（2014·浙江卷）已知i是虚数单位，a，b∈R，得“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由a，b∈R，(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝2i, 得所以或故选A.
（2014·全国卷）设 ＝，则 的共轭复数为( )
A．－1＋3i B．－1－3i
C．1＋3i D．1－3i
【答案】D
【解析】 ＝＝＝＝1＋3i，根据共轭复数的定义，其共轭复数是1－3i.
（2014·北京卷）复数＝________．
【答案】－1
【解析】＝＝＝－1. .
（2014·福建卷）复数 ＝(3－2i)i的共轭复数 等于( )
A．－2－3i B．－2＋3i
C．2－3i D．2＋3i
【答案】C
【解析】由复数 ＝(3－2i)i＝2＋3i，得复数 的共轭复数 ＝2－3i.
（2014·广东卷）已知复数 满足(3＋4i) ＝25，则 ＝( )
A．－3＋4i B．－3－4i
C．3＋4i D．3－4i
【答案】D
（2014·湖北卷）i为虚数单位，＝( )
A．－1 B．1 C．－i D．i
【答案】A
【解析】＝＝－1.故选A.
（2014·湖南卷）满足＝i(i为虚数单位)的复数 ＝( )
A.＋i B.－i
C．－＋i D．－－i
【答案】B
【解析】因为＝i，则 ＋i＝ i，所以 ＝＝＝.
10．（2014·江西卷）是 的共轭复数，若 ＋＝2，( －)i＝2(i为虚数单位)，则 ＝( )
A．1＋i B．－1－i
C．－1＋i D．1－i
【答案】D
【解析】设 ＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，所以2a＝2，－2b＝2，得a＝1，b＝－1，故 ＝1－i.
11．（2014·辽宁卷）设复数 满足( －2i)(2－i)＝5，则 ＝( )
A．2＋3i B．2－3i C．3＋2i D．3－2i
【答案】A
【解析】由( －2i)(2－i)＝5，得 －2i＝，故 ＝2＋3i.
12．（2014·新课标全国卷Ⅰ ＝( )
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
【答案】D
【解析】＝＝＝－1－i. /
13．（2014·新课标全国卷Ⅱ 设复数 1， 2在复平面内的对应点关于虚轴对称， 1＝2＋i，则 1 2＝( )
A．－5 B．5 C．－4＋i D．－4－i
【答案】A
【解析】由题知 2＝－2＋i，所以 1 2＝(2＋i)(－2＋i)＝i2－4＝－5.
14．（2014·山东卷）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2＝( )
A．5－4i B．5＋4i C．3－4i D．3＋4i
【答案】D
15．（2014·四川卷）复数＝________．
【答案】－2i
【解析】＝＝－2i.
16．（2014·天津卷）i是虚数单位，复数＝( )
A．1－i B．－1＋i
C.＋i D．－＋i
【答案】A
