2020届二轮复习集合、简易逻辑与不等式作业(2) 练习

集合、简易逻辑与不等式  一、单选题1．下列说法正确的是 （ ）A．命题“若，则”的否命题为“若，则”B．命题“”的否定是“”C．命题“若，则”的逆否命题为假命题D．命题“若，则”的逆命题为假命题【答案】D【解析】A命题的否命题为“如果x2≤1，则x≤1”，所以选项A错误；B.命题的否定是“∀x∈R，则x2≤1”，所以选项B错误；C.命题“如果x=y，则cosx=cosy”的逆命题为“如果cosx=cosy，则x=y”是假命题，C正确D. 原命题是真命题，原命题与逆否命题同真假，所以选项D错误；故选C .2．若，则下列代数式中值最大的是A． B． C． D．【答案】A【解析】【详解】因为，综上可得最大，故选A.3．若实数，满足，则的最小值是（   ）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】C【解析】【分析】利用换元法求的最小值，再求的最小值.【详解】不等式组表示的可行域如图所示，设，则，当时，的最小值为，所以的最小值为.【点睛】本题目标函数是非线性目标函数，但可通过换元，转化成先求线性目标函数的最小值，再利用指数函数的单调性求的最小值.4．“若，则，都有成立”的逆否命题是（    ）A．有成立，则 B．有成立，则C．有成立，则 D．有成立，则【答案】D【解析】【分析】根据逆否命题定义以及全称命题否定求结果.【详解】“若，则，都有成立”的逆否命题是:有成立，则,选D.【点睛】对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.5．若满足约束条件，则的最大值是（    ）A．8 B．7 C．4 D．0【答案】A【解析】绘制不等式组表示的可行域，观察可得目标函数在点处取得最大值.本题选择A选项.点睛：求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.6．不等式的解集是（   ）A．             B．C．         D．或【答案】D【解析】试题分析 根据可得公式或，故选D.考点：二次不等式.【易错点晴】本题主要考查二次不等式，属于简单题型.但是，解该类题型时经常会因为没有注意二次项系数是否是正数而出错，解二次不等式的基本原则是：先将二次项系数化正，能因式分解的先因式分解，不能因式分解的求判别式、确定根的个数，再结合相应二次函数的图像确定不等式的解集（大于号取两根之外，小于号的取两根之间）.  二、填空题7．已知点满足约束条件，为坐标原点，则的最小值为__________．【答案】.【解析】分析：首先绘制可行域，然后结合目标函数的几何意义整理计算即可求得最终结果.详解：绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数的几何意义为坐标原点与可行域内点之间的距离的平方，其中坐标原点到直线的距离为：数形结合可知，的最小值为：.点睛：(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．8．命题“若，则”的逆命题、否命题、逆否命题这三个命题中，真命题的个数为______．【答案】2【解析】试题分析：根据逆否命题的等价性结合四种命题真假之间的关系进行判断即可．解：若a＞0，则a＞1为假命题，比如当a=，满足a＞0，但a＞1不成立，则逆否命题为假命题，命题的逆命题为若a＞1，则a＞0为真命题，则否命题也为真命题，故真命题的个数为2个，故答案为2考点：四种命题．9．若，则的解集为__________．【答案】【解析】分析：首先对函数进行求导，即，令其大于零，由此对该不等式进行求解；由于，可将其转化为一元二次不等式，通过解不等式即可求得x的取值范围，从而完成解答.详解：，即，注意到函数的定义域是，所以不等式可以转化为，即，从而解得，所以的解集为.点睛：本题是一道关于导数运算的题目，掌握函数的求导方法以及相应的求导公式，还有解不等式的方法是解题的关键，要时刻关注函数的定义域.10．若满足约束条件，若的最大值为__________．【答案】【解析】根据条件作出可行域，得到三个顶点，当直线经过点时，最大为.11．（2015秋•淄博校级期末）如果a＞0，那么a++2的最小值是      ．【答案】4【解析】试题分析：利用基本不等式的性质即可得出．解：∵a＞0，∴a++2≥2+2=4，当且仅当a=1时取等号．∴a++2的最小值是4．故答案为：4．考点：基本不等式．12．关于的不等式的解集为，则不等式的解集为__________．【答案】【解析】∵ 不等式的解集为∴或是方程的解，即，∴∵∴或∴或∴不等式的解集为故答案为13．.若为真命题，则实数的最大值为__________．【答案】【解析】【分析】根据题意转化为，利用，可将函数进行换元，利用对勾函数求函数的最大值.【详解】当时， 又 ，设 ，设当时，取得最大值.若为真命题， ，即,的最大值是5.故填:5.【点睛】本题考查了根据全称命题的真假，求参数取值范围的问题，考查了转化与化归的思想，若存在，使，即，若，使恒成立，所以，需注意时任意还是存在问题.14．已知实数对（x，y）满足，则的最小值是          ．【答案】3【解析】试题分析：作不等式组表示的可行域，如图内部及边界（阴影）；作直线把直线平移到过点此时取最小值；点坐标就是取最小值时的最优解，由方程组得所以的最小值是．考点：简单的线性规划．15．某地对100户农户的生活情况作了调查，交来的统计表上称：有彩电的65户，有电冰箱的84户，二者都有的53户，则彩电与冰箱至少有一种的有           户。【答案】96【解析】试题分析：由题意，只有彩电的为65-53=12户，只有电冰箱的为84-53=31户，故彩电与冰箱至少有一种的为12+31+53=96户.考点：集合的运算 三、解答题16．设集合，，.（1）求；（2）若，求t的取值范围.【答案】（1）AB={x｜2≤x<3}；（2）t≤2【解析】【分析】(1)求出集合A,B,利用集合的基本运算求AB;(2)根据AC=C,转化为CA,然后可求出t的取值范围.【详解】解:(1){y|2≤y≤4},, AB={x｜2≤x<3},(2), CA,①若C是空集,则2t≤t+1,得到t≤1;②若C非空,则，解得1＜t≤2；综上所述,t≤2.【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及集合关系的应用,注意对集合C要注意讨论.17．设集合，，（1）求；  （2）若集合 ，求的子集个数并写出集合的所有子集；（3）若,求的取值范围。【答案】（1）;（2）集合的子集有8个，子集有： ; （3）.【解析】试题分析：（1）由解得，所以.（2）子集个数是，通过列举法得到所有子集.（3）由于两个集合的交集为空集，故.试题解析：（1） ,（2）集合的子集有8个， 子集有： （3）要使得，则18．已知集合，，若，求的取值范围．【答案】【解析】【分析】由，得到，从而分为和两种情况进行讨论，分别得到关于的不等式，求出的范围，得到答案.【详解】因为，所以得到，当时，，解得当时，，解得，综上所述，的取值范围为.【点睛】本题考查根据集合的包含关系求参数的范围，属于简单题.19．设，记的解集为．（1）求集合；（2）已知，比较与的大小．【答案】（1）（2）当时，；当时，；当时，．【解析】试题分析：（I）上分别求解，取并集即可得出．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：0<a<2，作差可得，对a分0<a<1，a=1，1<a<2三种情况讨论即可得出．试题解析：（1）由，得或或解得，故．（2）由（1）知，因为，当时，，所以；当时，，所以；当时，，所以．综上所述：当时，；当时，；当时，．20．已知p：方程x2+y2﹣4x+m2＝0表示圆：q：方程1（m＞0）表示焦点在y轴上的椭圆．（1）若p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若命题p、q有且仅有一个为真，求实数m的取值范围．【答案】（1）﹣2＜m＜2．（2）（﹣2，0]∪[2，3）．【解析】【分析】（1）把方程x2+y2﹣4x+m2＝0化为（x﹣2）2+y2＝4﹣m2，得到4﹣m2＞0，即可求解；（2）由方程1（m＞0）表示焦点在y轴上的椭圆，求得0＜m＜3，再分类讨论，列出不等式组，即可求解.【详解】（1）由题意，命题p：方程x2+y2﹣4x+m2＝0，可化得（x﹣2）2+y2＝4﹣m2，则4﹣m2＞0，解得﹣2＜m＜2，所以实数m的取值范围．（2）命题q：方程1（m＞0）表示焦点在y轴上的椭圆，则0＜m＜3，当p为真，q为假时，，解得﹣2＜m≤0．当p为假，q为真时，，解得2≤m＜3．综上，实数m的取值范围为：（﹣2，0]∪[2，3）．【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的应用，以及圆与椭圆的标准方程的应用，其中解答中正确求解命题，合理分类讨论是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.21．已知是的两个内角，＝ ＋ （其中,是互相垂直的单位向量），若││＝.（1）试问是否为定值，若是定值，请求出，否则请说明理由;（2）求的最大值，并判断此时三角形的形状.【答案】（1）见解析；（2）最大值为，此时三角形为有一顶角为的等腰三角形【解析】【分析】（1）先利用向量数量积的运算性质，将转化为三角方程，再利用二倍角公式和两角和差的余弦公式将方程化简，即可求得tanA•tanB的值；（2）求tanC的最大值即求tan（A+B）的最小值，利用两角和的正切公式及（1）中结论，即可利用均值定理求得tan（A+B）的最小值，利用均值定理等号成立的条件，即可求得此时三角形的形状【详解】（1）tanA•tanB为定值，证明如下：由＝，因为 是互相垂直的单位向量，得＝∴1+cos（A+B）+＝即2cos（A+B）＝cos（A﹣B），即cosAcosB＝3sinAsinB∴tanAtanB＝（2）∵tanAtanB＝＞0，∴tanA＞0，tanB＞0∴tan（A+B）＝＝（tanA+tanB）≥×2＝∴tan（A+B）≥，即﹣tanC≥,∴tanC≤﹣当tanC＝﹣时，，即tanA＝tanB＝∴A＝B＝30°∴tanC的最大值为﹣，此时△ABC为等腰三角形.【点睛】本题主要考查了向量数量积的运算性质及其应用，三角变换公式在三角化简和求值中的应用，利用均值定理求函数的最值的方法，属于中档题.22．（本小题14分）设函数,（1）当时，求函数f（x）的零点；（2）当时，判断的奇偶性并给予证明；（3）当时，恒成立，求的最大值．【答案】（1）-3,1（2）奇函数，证明略.（3）3【解析】试题分析：对于第一问，要理解函数的零点的定义，函数值等于零时自变量的取值，注意零点是数并不是点，对于第二问，注意把握住函数的奇偶性的定义，用定义证明即可，对于第三问，把握住只要函数的最小值大于零即可，注意对于二次函数在某个区间上的最小值问题都非常熟悉，最后转化为m所满足的不等式，从而求得结果.试题解析：（1）当时，由解得   2分所以函数的零点是-3和1       .3分（2）由（1）知，，由解得，  5分[来源:Z+xx+k.Com]又，∴，故是奇函数       7分（3）配方得，，∵时，恒成立，即恒成立，即       9分令，对称轴为，则，      12分∴，故的最大值为3            14分考点：函数的零点，函数的奇偶性，恒成立问题.