2020届二轮复习平面向量、三角函数与解角形课时作业（全国通用） 练习

阶段质量检测（一） 平面向量、三角函数与解三角形
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2018·金华期末)函数y＝2sin2－1是(　　)
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为2π的奇函数
C．最小正周期为π的偶函数
D．最小正周期为2π的偶函数
解析：选A　因为函数y＝2sin2－1＝－＝－cos＝
－sin 2x，所以函数是最小正周期为＝π的奇函数．
2．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，若a∥b，则|2a＋3b|＝(　　)
A.　　　　　　　 　B．4
C．3 D．2
解析：选B　依题意得，＝，所以m＝－4,2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)，故|2a＋3b|＝＝4.
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC为锐角三角形，且满足sin B(1＋2cos C)＝2sin Acos C＋cos Asin C，则下列等式成立的是(　　)
A．a＝2b B．b＝2a
C．A＝2B D．B＝2A
解析：选A　由题意可知sin B＋2sin Bcos C＝sin Acos C＋sin(A＋C)，即2sin Bcos C＝sin Acos C，又cos C≠0，故2sin B＝sin A，由正弦定理可知a＝2b.
4．(2018·柯桥区二模)已知不共线的两个非零向量a，b，满足|a＋b|＝|2a－b|，则(　　)
A．|a|<|2b| B．|a|>|2b|
C．|b|<|a－b| D．|b|>|a－b|
解析：选A　∵|a＋b|＝|2a－b|，
∴a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，
∴6a·b＝3a2，
∴a2＝2a·b，
|a|2＝2|a|×|b|cos θ，其中θ为a、b的夹角；
∴|a|＝2|b|cos θ，
又a，b是不共线的两个非零向量，
∴|a|<|2b|.
5．(2019届高三·镇海中学检测)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b－c＝a,2sin B＝3sin C，则cos A＝(　　)
A．－ B．
C． D．
解析：选A　在△ABC中，∵b－c＝a,2sin B＝3sin C，利用正弦定理可得2b＝3c，则a＝2c，b＝c.
再由余弦定理可得
cos A＝＝＝－.
6．(2018·浦江模拟)已知平面向量a，b，c，满足＋＝，且|a|＋|b|＋|c|＝4，则c·(a＋b)的最大值为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B　由＋＝，可得a与b夹角为120°，且c与a，b成等角，均为60°，
设|a|＝a，|b|＝b，|c|＝c，
由|a|＋|b|＋|c|＝4，得a＋b＋c＝4，则0 c·(a＋b)＝c·a＋c·b＝|c||a|cos 60°＋|c||b|cos 60°＝c(a＋b)＝c(4－c)＝－c2＋2c.
∴当c＝2时，c·(a＋b)的最大值为2.
7．(2019届高三·浙江名校联考信息卷)已知函数f(x)＝sin，将函数f(x)的图象向左平移φ个单位长度，得到函数g(x)的图象，则“φ＝”是“g(x)是偶函数”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A　由f(x)＝sin，得g(x)＝f(x＋φ)＝sin，当φ＝时，g(x)＝sin＝sin＝－cos 2x，故充分性成立．当g(x)是偶函数时，2φ＋＝＋kπ，k∈Z，φ＝＋，k∈Z，令k＝1，得φ＝∈，令k＝2，得φ＝∈.故“φ＝”是“g(x)是偶函数”的充分不必要条件．
8．(2018·金华模拟)已知平面内任意不共线三点A，B，C，则·＋·＋·的值为(　　)
A．正数 B．负数
C．0 D．以上说法都有可能
解析：选B　如果A，B，C三点构成的三角形为锐角三角形或直角三角形，
显然·＋·＋·<0；
如果A，B，C三点构成钝角三角形，可设C为钝角，
角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，则c>a，c>b，
∴·＋·＋·
＝accos(π－B)＋abcos(π－C)＋bccos(π－A)<－abcos B－abcos C－abcos A
＝－ab(cos B＋cos C＋cos A)
＝－ab[cos A＋cos B－cos(A＋B)]
＝－ab(cos A＋cos B－cos Acos B＋sin Asin B)
＝－ab[cos A＋cos B(1－cos A)＋sin Asin B]．
∵A，B是锐角，
∴cos A>0，cos B>0，且1－cos A>0，sin Asin B>0，
∴·＋·＋·<0.
9．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象在y轴右侧的第一个最高点为P，在原点右侧与x轴的第一个交点为Q，则f的值为(　　)
A．1 B．
C． D．
解析：选C　由题意得＝－＝，所以T＝π，所以ω＝2，则f(x)＝sin(2x＋φ)，将点P代入f(x)＝sin(2x＋φ)，得sin＝1，所以φ＝＋2kπ(k∈Z)．又|φ|<，所以φ＝，即f(x)＝sin(x∈R)，所以f＝sin＝sin＝，选C.
10．(2018·宁波模拟)已知O为锐角△ABC的外心，||＝3，||＝2，若＝x＋y，且9x＋12y＝8，记I1＝·，I2＝·，I3＝·，则(　　)
A．I2 C．I3 解析：选D　如图，分别取AB，AC的中点，为D，E，并连接OD，OE，根据条件有OD⊥AB，OE⊥AC，
∴·＝||2＝，
·＝||2＝6，
∴·＝(x＋y)·＝9x＋6y·cos∠BAC＝， ①
·＝(x＋y)·＝6xcos∠BAC＋12y＝6， ②
又9x＋12y＝8， ③
∴由①②③解得cos∠BAC＝.
由余弦定理得，BC＝＝ .
∴BC>AC>AB.
在△ABC中，由大边对大角得，∠BAC>∠ABC>∠ACB，∴∠BOC>∠AOC>∠AOB，
∵||＝||＝||，且余弦函数在(0，π)上为减函数，
∴·<·<·，即I2
二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分)
11．(2019届高三·金华十校联考)在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P(－，－1)，则tan α＝________，cos α＋sin＝________.
解析：根据角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P(－，－1)，
可得x＝－，y＝－1，r＝|OP|＝2，
∴tan α＝＝＝，cos α＝＝－，
∴cos α＋sin＝2cos α＝－.
答案：　－
12．函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋1的最小正周期是__________________，单调递增区间是______________________．
解析：函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x＋1，
则f(x)＝＋＋1
＝sin＋，
则函数f(x)的最小正周期T＝＝π，
令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
故f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
答案：π　(k∈Z)
13.如图，在△ABC中，∠B＝45°，D是BC边上的一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，则AB的长为________．
解析：在△ADC中，AD＝5，AC＝7，DC＝3，
由余弦定理得cos∠ADC＝＝－，
∴∠ADC＝120°，∠ADB＝60°，
在△ABD中，AD＝5，∠B＝45°，∠ADB＝60°，
由正弦定理得＝，
∴AB＝.
答案：
14．(2019届高三·西湖区校级模拟)已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足2cos2A＋sin 2A＝2，b＝1，S△ABC＝，则A＝________，＝________.
解析：∵2cos2A＋sin 2A＝2，
∴cos 2A＋sin 2A＝1，
∴sin＝，
∵0 ∴2A＋＝，∴A＝.
∵b＝1，S△ABC＝＝bcsin A＝×1×c×，
∴c＝2，
∴由余弦定理可得，a＝＝＝，
∴＝＝＝2.
答案：　2
15．(2018·下城区校级模拟)记min{a，b}＝已知向量a，b，c满足|a|＝1，|b|＝2，且a·b＝1，若c＝λa＋μb(λ，μ≥0，且λ＋2μ＝1)，则当min{a·c，b·c}取最大值时，|c|＝________.
解析：向量a，b，c满足|a|＝1，|b|＝2，且a·b＝1，
可得cos〈a，b〉＝＝，
〈a，b〉＝60°，
可设a＝(1,0)，b＝(1，)，b＝，
若c＝λa＋μb(λ，μ≥0，且λ＋2μ＝1)，
即有c，a，b的终点共线，
设c＝(x，y)，可得y＝－(x－1)，≤x≤1，
可得min{a·c，b·c}＝min{x,3－2x}＝x，
当min{a·c，b·c}取最大值1，可得|c|＝1.
答案：1
16．已知共面向量a，b，c满足|a|＝3，b＋c＝2a，且|b|＝|b－c|.若对每一个确定的向量b，记|b－ta|(t∈R)的最小值为dmin，则当b变化时，dmin的最大值为________．
解析：不妨设向量a＝(3,0)，则由b＋c＝2a，设|b－a|＝|c－a|＝r，则向量b，c对应的点分别在以(3,0)为圆心，r为半径的圆上的直径两端运动，其中＝a，＝b，＝c，并设∠BAH＝θ，如图，易得点B的坐标B(rcos θ＋3，rsin θ)，因为|b|＝|b－c|，所以||＝||，则(rcos θ＋3)2＋(rsin θ)2＝4r2，整理为r2－2rcos θ－3＝0，∴cos θ＝，而|b－ta|(t∈R)表示向量b对应的点到动点(3t,0)的距离，向量|b－ta|(t∈R)的最小值为向量b对应的点到x轴的距离dmin，即dmin＝||＝rsin θ＝r＝＝≤2，所以dmin的最大值是2.
答案：2
17.(2019届高三·杭州六校联考)如图，在边长为1的正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧(在正方形内，包括边界点)上的任意一点，则·的取值范围是________；若向量＝λ＋μ，则λ＋μ的最小值为________．
解析：以A为原点，以AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(1,0)，E，C(1，1)，D(0,1)．
设P(cos θ，sin θ)，∴＝(1,1)，＝(cos θ，sin θ)，＝(cos θ－1，sin θ)，
∴·＝cos2θ－cos θ＋sin2θ＝1－cos θ，
∵0≤θ≤，∴0≤cos θ≤1,0≤sin θ≤1.
∴·的取值范围是[0,1]，
∵＝λ＋μ(cos θ， sin θ)＝＝(1,1)，
∴∴
∴λ＋μ＝＝－1＋.
∴(λ＋μ)′＝>0，
故λ＋μ在上是增函数，
∴当θ＝0，即cos θ＝1时，λ＋μ取最小值为＝.
答案：[0,1]　
三、解答题(本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
18．(本小题满分14分)(2018·杭州期中)在平面直角坐标系xOy中，A(1,0)，B(0，1)，C(2,5)，D是AC上的动点，满足＝λ(λ∈R)．　
(1)求的值；
(2)求cos∠BAC；
(3)若⊥，求实数λ的值．
解：(1)∵2＋＝2(－1,1)＋(1,5)＝(－1,7)，
∴|2＋|＝＝5.
(2)cos∠BAC＝＝＝.
(3)∵＝λ(λ∈R)．
∴＝－＝λ－＝λ(1,5)－(－1,1)＝(λ＋1，5λ－1)．
∵⊥，∴(λ＋1)×1－(5λ－1)＝0.
解得λ＝.
19．(本小题满分15分)(2018·台州五月适应性考试)已知函数f(x)＝sin xcos x－sin2x＋，x∈R.
(1)求f(x)的单调递增区间及f(x)图象的对称轴方程；
(2)若α，β∈(0，π)，α≠β，且f(α)＝f(β)，求α＋β的值．
解：(1)f(x)＝sin xcos x－sin2x＋＝sin 2x＋cos 2x＝sin，
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
由2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，
故f(x)图象的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．
(2)由f(α)＝f(β)，得sin＝sin，
sin＝sin，
展开整理得，cossin(α－β)＝0.
因为α，β∈(0，π)，α≠β，所以sin(α－β)≠0，
所以cos＝0，
所以α＋β＋＝kπ＋(k∈Z)，
即α＋β＝kπ＋(k∈Z)．
因为α，β∈(0，π)，
所以0＜α＋β＜2π，
故α＋β＝或.


20．(本小题满分15分)(2018·杭州期末)设A是单位圆O和x轴正半轴的交点，P，Q是圆O上两点，O为坐标原点，∠AOP＝，
∠AOQ＝α，α∈.
(1)若Q，求cos的值；
(2)设函数f(α)＝sin α·(·)，求f(α)的值域．
解：(1)由已知得cos α＝，sin α＝，
∴cos＝×＋×＝.
(2)∵＝，＝(cos α，sin α)，
∴·＝cos α＋sin α，
∴f(α)＝sin αcos α＋sin2α＝sin 2α－cos2α＋＝sin＋.
∵α∈，
∴2α－∈，
∴当2α－＝－时，
f(α)取得最小值×＋＝0，
当2α－＝时，f(α)取得最大值×1＋＝.
∴f(α)的值域是.
21．(本小题满分15分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足
2asin Csin B＝asin A＋bsin B－csin C.
(1)求角C的大小；
(2)若acos＝bcos(2kπ＋A)(k∈Z)且a＝2，求△ABC的面积．
解：(1)由2asin Csin B＝asin A＋bsin B－csin C及正弦定理，得2absin C＝a2＋b2－c2，
∴sin C＝，
∴sin C＝cos C，
∴tan C＝，∴C＝.
(2)由acos＝bcos(2kπ＋A)(k∈Z)，
得asin B＝bcos A，
由正弦定理得sin Asin B＝sin Bcos A，
∴sin A＝cos A，∴A＝，
根据正弦定理可得＝，解得c＝，
∴S△ABC＝acsin B＝×2×sin(π－A－C)＝sin＝.
22．(本小题满分15分)已知向量a＝(2,2)，向量b与向量a的夹角为，且a·b＝－2.
(1)求向量b；
(2)若t＝(1,0)，且b⊥t，c＝，其中A，B，C是△ABC的内角，若A，B，C依次成等差数列，试求|b＋c|的取值范围．
解：(1)设b＝(x，y)，则a·b＝2x＋2y＝－2，且|b|＝＝1＝ ，
联立方程组解得或
∴b＝(－1,0)或b＝(0，－1)．
(2)∵b⊥t，且t＝(1,0)，∴b＝(0，－1)．
∵A，B，C依次成等差数列，∴B＝.
∴b＋c＝＝(cos A，cos C)，
∴|b＋c|2＝cos2A＋cos2C＝1＋(cos 2A＋cos 2C)
＝1＋
＝1＋
＝1＋cos.
∵A∈，则2A＋∈，
∴－1≤cos<，
∴≤|b＋c|2<，
故≤|b＋c|<.
∴|b＋c|的取值范围为.