2020届二轮复习数形结合思想作业 练习

思想方法训练3　数形结合思想

　思想方法训练第6页　 

一、能力突破训练

1.若i为虚数单位,图中网格纸的小正方形的边长是1,复平面内点Z表示复数z,则复数对应的点位于复平面内的(　　)

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

答案:D

解析:由题图知,z=2+i,则i,所以复数对应的点位于复平面内的第四象限.故选D.

2.方程sinx的实数解的个数是(　　)

A.2 B.3 C.4 D.1

答案:B

解析:在同一平面直角坐标系内作出y=sin与y=x的图象,如图,可知它们有3个不同的交点.

3.若x∈{x|log2x=2-x},则(　　)

A.x2>x>1 B.x2>1>x

C.1>x2>x D.x>1>x2

答案:A

解析:设y1=log2x,y2=2-x,在同一平面直角坐标系中作出两个函数的图象,如图.

由图可知,交点的横坐标1<x<2,则有x2>x>1.

4.已知函数f(x)=若关于x的方程f2(x)-(1+a)f(x)+a=0恰有三个不同的实数根,则实数a的取值范围为(　　)

A.(-∞,0) B.(0,+∞)

C.(1,+∞) D.(0,1)

答案:D

解析:f2(x)-(1+a)f(x)+a=0可变形为[f(x)-a][f(x)-1]=0,解得f(x)=a或f(x)=1.

由题可知函数f(x)的定义域为(0,+∞),当x∈(0,1]时,函数f(x)单调递增;当x∈(1,+∞)时,函数f(x)单调递减,画出函数f(x)的大致图象,如图所示.

当且仅当x=1时,f(x)=1.

因为关于x的方程f2(x)-(1+a)f(x)+a=0恰有三个不同的实数根,

所以f(x)=a恰有两个不同的实数根,

即y=f(x),y=a的图象有两个交点.

由图可知当0<a<1时,y=f(x),y=a的图象有两个交点,

所以实数a的取值范围为(0,1),故选D.

5.已知函数f(x)=若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则abc的取值范围是(　　)

A.(1,10) B.(5,6)

C.(10,12) D.(20,24)

答案:C

解析:作出f(x)的大致图象.

由图象知,要使f(a)=f(b)=f(c),不妨设a<b<c,

则-lga=lgb=-c+6.

∴lga+lgb=0,∴ab=1,∴abc=c.

由图可知10<c<12,∴abc∈(10,12).

6.已知函数f(x)=与g(x)=x3+t.若f(x)与g(x)图象的交点在直线y=x的两侧,则实数t的取值范围是(　　)

A.(-6,0] B.(-6,6)

C.(4,+∞) D.(-4,4)

答案:B

解析:如图.因为f(x)=与g(x)=x3+t图象的交点位于y=x两侧,则有

解得-6<t<6.

7.“a≤0”是“函数f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)内单调递增”的(　　)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件  D.既不充分也不必要条件

答案:C

解析:当a=0时,f(x)=|x|,f(x)在区间(0,+∞)内单调递增;

当a<0,x>0时,f(x)=(-ax+1)x=-ax,结合二次函数的图象(图略)可知f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)内单调递增;

当a>0时,函数f(x)=|(ax-1)x|的图象大致如图.

函数f(x)在区间(0,+∞)内有增有减,从而“a≤0”是“函数f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)内单调递增”的充要条件,故选C.

8.在平面直角坐标系xOy中,若直线y=2a与函数y=|x-a|-1的图象只有一个交点,则a的值为　　　　　. 

答案:-

解析:在同一平面直角坐标系中画出y=2a和y=|x-a|-1的图象如图.由图可知,要使两函数的图象只有一个交点,则2a=-1,a=-.

9.函数f(x)=2sin xsin-x2的零点个数为　　　　　. 

答案:2

解析:f(x)=2sinxsin-x2=2sinxcosx-x2=sin2x-x2.

如图,在同一平面直角坐标系中作出y=sin2x与y=x2的图象,当x≥0时,两图象有两个交点,当x<0时,两图象无交点,综上,两图象有两个交点,即函数的零点个数为2.

10.若不等式≤k(x+2)-的解集为区间[a,b],且b-a=2,则k=　　　　　. 

答案:

解析:令y1=,y2=k(x+2)-,在同一平面直角坐标系中作出其图象,如图.

∵≤k(x+2)-的解集为[a,b],且b-a=2,结合图象知b=3,a=1,即直线与圆的交点坐标为(1,2),

∴k=.

11.已知λ∈R,函数f(x)=当λ=2时,不等式f(x)<0的解集是　　　　　.若函数f(x)恰有2个零点,则λ的取值范围是　. 

答案:(1,4)　(1,3]∪(4,+∞)

解析:当λ=2时,f(x)=

当x≥2时,f(x)=x-4<0,解得x<4,∴2≤x<4.

当x<2时,f(x)=x2-4x+3<0,解得1<x<3,

∴1<x<2.

综上可知,1<x<4,即f(x)≤0的解集为(1,4).

分别画出y1=x-4和y2=x2-4x+3的图象如图.

由函数f(x)恰有2个零点,结合图象可知1<λ≤3或λ>4.

故λ的取值范围为(1,3]∪(4,+∞).

12.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,0<φ<的部分图象如图所示.

(1)求f(x)的解析式;

(2)设g(x)=,求函数g(x)在区间上的最大值,并确定此时x的值.

解:(1)由题图知A=2,,则=4×,得ω=.

∵f=2sin=2sin=0,

∴sin=0.

∵0<φ<,-<φ-,∴φ-=0,即φ=,

∴f(x)的解析式为f(x)=2sin.

(2)由(1)可得f

=2sin=2sin,

g(x)==4×

=2-2cos.

∵x∈,∴-≤3x+,

∴当3x+=π,即x=时,g(x)max=4.

二、思维提升训练

13.已知函数f(x)=|ln x|,g(x)=若关于x的方程f(x)+m=g(x)恰有三个不相等的实数解,则m的取值范围是(　　)

A.[0,ln 2] B.(-2-ln 2,0]

C.(-2-ln 2,0) D.[0,2+ln 2]

答案:B

解析:设h(x)=f(x)+m,则h(x)的图象可由f(x)的图象沿着直线x=1上下平移得到.

当x=1时,h(1)=f(1)+m=ln1+m=m,

所以直线x=1与函数h(x)的图象的交点坐标为(1,m).

当x=1时,g(1)=0,当x=2时,g(2)=-2,所以直线x=2与函数g(x)的图象的交点为(2,-2).

当x=2时,h(2)=ln2+m,所以直线x=2与函数h(x)的图象的交点为(2,ln2+m),要使方程f(x)+m=g(x)恰有三个不相等的实数解,则等价为h(x)与g(x)的图象有三个不同的交点,则满足

即-2-ln2<m≤0,

即实数m的取值范围是(-2-ln2,0],故选B.

14.设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0,则a的取值范围是(　　)

A. B.

C. D.

答案:D

解析:设g(x)=ex(2x-1),h(x)=a(x-1),则不等式f(x)<0即为g(x)<h(x).

因为g'(x)=ex(2x-1)+2ex=ex(2x+1),

当x<-时,g'(x)<0,函数g(x)单调递减;

当x>-时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增.

所以g(x)的最小值为g.

而函数h(x)=a(x-1)表示经过点P(1,0),斜率为a的直线.

如图,分别作出函数g(x)=ex(2x-1)与h(x)=a(x-1)的大致图象.

显然,当a≤0时,满足不等式g(x)<h(x)的整数有无数多个.

函数g(x)=ex(2x-1)的图象与y轴的交点为A(0,-1),与x轴的交点为D.

取点C.

由图可知,不等式g(x)<h(x)只有一个整数解时,须满足kPC≤a<kPA.

而kPC=,kPA==1,

所以≤a<1.故选D.

15.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+4)=f(x),f(x)=若方程f(x)-ax=0有5个实根,则正数a的取值范围是(　　)

A. B.

C. D.

答案:C

解析:由f(x+4)=f(x),知函数f(x)是以4为周期的周期函数,作出函数y=f(x)与函数y=ax的图象,由图象可得方程y=-(x-4)2+1=ax,

即x2+(a-8)x+15=0在区间(3,5)内有两个实数根,

由解得0<a<8-2.

由方程f(x)=ax在区间(5,6)内无解可得,6a>1,a>.

综上可得,<a<8-2,故选C.

16.三名工人加工同一种零件,他们在一天中的工作情况如图所示,其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数,点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数,i=1,2,3.

(1)记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数,则Q1,Q2,Q3中最大的是　　　　　; 

(2)记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数,则p1,p2,p3中最大的是　　　　　. 

答案:(1)Q1　(2)p2

解析:(1)连接A1B1,A2B2,A3B3,分别取线段A1B1,A2B2,A3B3的中点C1,C2,C3,显然Ci的纵坐标即为第i名工人一天平均加工的零件数.

由图可知点C1最高,故Q1,Q2,Q3中最大的是Q1.

(2)设某工人上午、下午加工的零件数分别为y1,y2,工作时间分别为x1,x2,则该工人这一天中平均每小时加工的零件数为p==kOC(C为点(x1,y1)和(x2,y2)的中点).由图可得,故p1,p2,p3中最大的是p2.

17.设函数f(x)=ax3-3ax,g(x)=bx2-ln x(a,b∈R),已知它们的图象在x=1处的切线互相平行.

(1)求b的值;

(2)若函数F(x)=且方程F(x)=a2有且仅有四个解,求实数a的取值范围.

解:函数g(x)=bx2-lnx的定义域为(0,+∞).

(1)f'(x)=3ax2-3a⇒f'(1)=0.因为g'(x)=2bx-,

所以g'(1)=2b-1.依题意2b-1=0,得b=.

(2)当x∈(0,1)时,g'(x)=x-<0,当x∈(1,+∞)时,g'(x)=x->0.

所以当x=1时,g(x)取得极小值g(1)=.

当a=0时,方程F(x)=a2不可能有且仅有四个解.

当a<0,x∈(-∞,-1)时,f'(x)<0,当x∈(-1,0)时,f'(x)>0,所以当x=-1时,f(x)取得极小值f(-1)=2a,

又f(0)=0,所以F(x)的图象如图①所示.

从图象可以看出F(x)=a2不可能有四个解.

当a>0,x∈(-∞,-1)时,f'(x)>0,当x∈(-1,0)时,f'(x)<0,所以当x=-1时,f(x)取得极大值f(-1)=2a.

又f(0)=0,所以F(x)的图象如图②所示.

从图象看出方程F(x)=a2有四个解,则<a2<2a,

所以实数a的取值范围是.

图①

图②