2020届二轮复习算法与平面向量课时作业（全国通用） 练习

第3讲　算法与平面向量

一、选择题

1．(2019·广东六校第一次联考)在△ABC中，D为AB的中点，点E满足＝4，则＝(　　)

A．－ 　 B．－

C．＋  D．＋

解析：选A．因为D为AB的中点，点E满足＝4，所以＝，＝，所以＝＋＝＋＝(＋)－＝－，故选A．

2．(2019·武昌区调研考试)已知向量a＝(2，1)，b＝(2，x)不平行，且满足(a＋2b)⊥(a－b)，则x＝(　　)

A．－  B．

C．1或－  D．1或

解析：选A．因为(a＋2b)⊥(a－b)，所以(a＋2b)·(a－b)＝0，所以|a|2＋a·b－2|b|2＝0，因为向量a＝(2，1)，b＝(2，x)，所以5＋4＋x－2(4＋x2)＝0，解得x＝1或x＝－，因为向量a，b不平行，所以x≠1，所以x＝－，故选A．

3．(2019·广州市综合检测(一))a，b为平面向量，已知a＝(2，4)，a－2b＝(0，8)，则a，b夹角的余弦值等于(　　)

A．－  B．－

C．  D．

解析：选B．设b＝(x，y)，则有a－2b＝(2，4)－(2x，2y)＝(2－2x，4－2y)＝(0，8)，所以，解得，故b＝(1，－2)，|b|＝，|a|＝2，cos〈a，b〉＝＝＝－，故选B．

4．(2019·湖南省五市十校联考)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a·(a－2b)＝0，则|a＋b|＝(　　)

A．  B．

C．2  D．

解析：选A．由题意知，a·(a－2b)＝a2－2a·b＝1－2a·b＝0，所以2a·b＝1，所以|a＋b|＝＝＝.故选A．

5．(2019·湖南省五市十校联考)执行如图所示的程序框图，其中t∈Z.若输入的n＝5，则输出的结果为(　　)

A．48  B．58

C．68  D．78

解析：选B．输入的n＝5，则a＝28＝7×4；n＝7，a＝38＝7×5＋3；n＝9，a＝48＝7×6＋6；n＝11，a＝58＝7×8＋2.退出循环，输出的结果为58.故选B．

6．已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝|b|＝2，则a在a－b方向上的投影为(　　)

A．1  B．

C．  D．

解析：选B．由向量的数量积公式可得a·(a－b)＝|a||a－b|cos〈a，a－b〉，所以a在a－b方向上的投影|a|cos〈a，a－b〉＝＝.又a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉＝2×2×cos 120°＝－2，所以|a|cos〈a，a－b〉＝＝，故选B．

7．(2019·湖南省湘东六校联考)执行如图所示的程序框图，为使输出的数据为63，则判断框中应填入的条件为(　　)

A．i≤4  B．i≤5

C．i≤6  D．i≤7

解析：选B．初始值，S＝1，i＝1，第一次循环，S＝3，i＝2；第二次循环，S＝7，i＝3；第三次循环，S＝15，i＝4；第四次循环，S＝31，i＝5，第五次循环，S＝63，i＝6，此时退出循环，输出S＝63.结合选项知判断框中应填入的条件为i≤5，故选B．

8．(一题多解)(2019·贵阳模拟)如图，在直角梯形ABCD中，AB＝4，CD＝2，AB∥CD，AB⊥AD，E是BC的中点，则·(＋)＝(　　)

A．8  B．12

C．16  D．20

解析：选D．法一：设＝a，＝b，则a·b＝0，a2＝16，＝＋＝b＋a，＝(＋)＝＝a＋b，所以·(＋)＝a·＝a·＝a2＋a·b＝a2＝20，故选D．

法二：以A为坐标原点建立平面直角坐标系(如图所示)，设AD＝t(t>0)，则B(4，0)，C(2，t)，E，所以·(＋)＝(4，0)·＝(4，0)·＝20，故选D．

9．(2019·蓉城名校第一次联考)已知n等于执行如图所示的程序框图输出的结果S，则的展开式中常数项是(　　)

A．10  B．20

C．35  D．56

解析：选B．执行程序框图，i＝0，S＝0，i＝0＋1＝1，满足i<4；S＝0＋1＝1，i＝1＋1＝2，满足i<4；S＝1＋2＝3，i＝2＋1＝3，满足i<4，S＝3＋3＝6，i＝3＋1＝4，不满足i<4退出循环，输出的S＝6.所以n＝6，二项式的展开式的通项Tr＋1＝Cx6－r＝Cx6－2r，令6－2r＝0⇒r＝3，所以二项式的展开式的常数项为T4＝C＝20.故选B．

10．在如图所示的矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为线段BC上的点，则·的最小值为(　　)

A．12  B．15

C．17  D．16

解析：选B．以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，4)，D(2，4)，设E(x，0)(0≤x≤2)，所以·＝(x，－4)·(x－2，－4)＝x2－2x＋16＝(x－1)2＋15，于是当x＝1，即E为BC的中点时，·取得最小值15，故选B．

11．(2019·济南模拟)执行如图所示的程序框图，若输入的a，b，c依次为(sin α)sin α，(sin α)cos α，(cos α)sin α，其中α∈，则输出的x为(　　)

A．(cos α)cos α  B．(sin α)sin α

C．(sin α)cos α  D．(cos α)sin α

解析：选C．该程序框图的功能是输出a，b，c中的最大者．当α∈时，0<cos α<sin α<1.由指数函数y＝(cos α)x可得，(cos α)sin α<(cos α)cos α.由幂函数y＝xcos α可得，(cos α)cos α<(sin α)cos α，所以(cos α)sin α<(sin α)cos α.由指数函数y＝(sin α)x可得，(sin α)sin α<(sin α)cos α.所以a，b，c中的最大者为(sin α)cos α，故输出的x为(sin α)cos α，正确选项为C．

12．(一题多解)已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2－4e·b＋3＝0，则|a－b|的最小值是(　　)

A．－1  B．＋1

C．2  D．2－

解析：选A．法一：设O为坐标原点，a＝，b＝＝(x，y)，e＝(1，0)，由b2－4e·b＋3＝0得x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1，所以点B的轨迹是以C(2，0)为圆心，1为半径的圆．因为a与e的夹角为，所以不妨令点A在射线y＝x(x>0)上，如图，数形结合可知|a－b|min＝||－||＝－1.故选A．

法二：由b2－4e·b＋3＝0得b2－4e·b＋3e2＝(b－e)·(b－3e)＝0.

设b＝，e＝，3e＝，所以b－e＝，b－3e＝，所以·＝0，取EF的中点为C，则B在以C为圆心，EF为直径的圆上，如图．设a＝，作射线OA，使得∠AOE＝，所以|a－b|＝|(a－2e)＋(2e－b)|≥|a－2e|－|2e－b|＝||－||≥－1.故选A．

二、填空题

13．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________．

解析：2a＋b＝(4，2)，因为c＝(1，λ)，且c∥(2a＋b)，所以1×2＝4λ，即λ＝.

答案：

14．(2019·济南市学习质量评估)已知|a|＝|b|＝2，a·b＝0，c＝(a＋b)，|d－c|＝，则|d|的取值范围是________．

解析：不妨令a＝(2，0)，b＝(0，2)，则c＝(1，1)．设d＝(x，y)，则(x－1)2＋(y－1)2＝2，点(x，y)在以点(1，1)为圆心、为半径的圆上，|d|表示点(x，y)到坐标原点的距离，故|d|的取值范围为[0，2]．

答案：[0，2]

15．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是7，则判断框内m的取值范围是________．

解析：k＝1，S＝2，k＝2，S＝2＋4＝6，k＝3，S＝6＋6＝12，k＝4，S＝12＋8＝20，k＝5，S＝20＋10＝30，k＝6，S＝30＋12＝42，k＝7，此时不满足S＝42＜m，退出循环，所以30＜m≤42.

答案：(30，42]

16．在△ABC中，(－3)⊥，则角A的最大值为________．

解析：因为(－3)⊥，所以(－3)·＝0，(－3)·(－)＝0，2－4·＋32＝0，即cos A＝＝＋≥2＝，当且仅当||＝||时等号成立．因为0＜A＜π，所以0＜A≤，即角A的最大值为.

答案：