2020届二轮复习数列通项与求和课时作业（全国通用） 练习

第2讲　数列通项与求和[A组　夯基保分专练]一、选择题1．(2019·广东省六校第一次联考)数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n＋1，bn＝(－1)nan(n∈N*)，则数列{bn}的前50项和为(　　)A．49　　　　　　　　　 B．50C．99  D．100解析：选A．由题意得，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n，当n＝1时，a1＝S1＝3，所以数列{bn}的前50项和为－3＋4－6＋8－10＋…＋96－98＋100＝1＋48＝49，故选A．2．(一题多解)(2019·洛阳尖子生第二次联考)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝(　　)A．2n－1  B．C．  D．解析：选B．法一：当n＝1时，S1＝a1＝2a2，则a2＝.当n≥2时，Sn－1＝2an，则Sn－Sn－1＝an＝2an＋1－2an，所以＝，所以当n≥2时，数列{an}是公比为的等比数列，所以an＝，所以Sn＝1＋＋×＋…＋×＝1＋＝，当n＝1时，此式也成立．故选B．法二：当n＝1时，S1＝a1＝2a2，则a2＝，所以S2＝1＋＝，结合选项可得只有B满足，故选B．3．数列{an}中，a1＝2，a2＝3，an＋1＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，那么a2 019＝(　　)A．1  B．－2C．3  D．－3解析：选A．因为an＋1＝an－an－1(n≥2)，所以an＝an－1－an－2(n≥3)，所以an＋1＝an－an－1＝(an－1－an－2)－an－1＝－an－2(n≥3)．所以an＋3＝－an(n∈N*)，所以an＋6＝－an＋3＝an，故{an}是以6为周期的周期数列．因为2 019＝336×6＋3，所以a2 019＝a3＝a2－a1＝3－2＝1.故选A．4．若数列{an}满足a1＝1，且对于任意的n∈N*都有an＋1＝an＋n＋1，则＋＋…＋＋等于(　　)A．  B．C．  D．解析：选C．由an＋1＝an＋n＋1，得an＋1－an＝n＋1，则a2－a1＝1＋1，a3－a2＝2＋1，a4－a3＝3＋1，…，an－an－1＝(n－1)＋1，以上等式相加，得an－a1＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n－1，把a1＝1代入上式得，an＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n＝，＝＝2，则＋＋…＋＋＝2＝2＝.5．(2019·郑州市第一次质量预测)已知数列{an}满足2an＋1＋an＝3(n≥1)，且a3＝，其前n项和为Sn，则满足不等式|Sn－n－6|<的最小整数n是(　　)A．8  B．9C．10  D．11解析：选C．由2an＋1＋an＝3，得2(an＋1－1)＋(an－1)＝0，即＝－(*)，又a3＝，所以a3－1＝，代入(*)式，有a2－1＝－，a1－1＝9，所以数列{an－1}是首项为9，公比为－的等比数列．所以|Sn－n－6|＝|(a1－1)＋(a2－1)＋…＋(an－1)－6|＝＝<，又n∈N*，所以n的最小值为10.故选C．6．(2019·江西省五校协作体试题)设Sn是数列{an}的前n项和，若an＋Sn＝2n，2bn＝2an＋2－an＋1，则＋＋…＋＝(　　)A．  B．C．  D．解析：选D．因为an＋Sn＝2n①，所以an＋1＋Sn＋1＝2n＋1②，②－①得2an＋1－an＝2n，所以2an＋2－an＋1＝2n＋1，又2bn＝2an＋2－an＋1＝2n＋1，所以bn＝n＋1，＝＝－，则＋＋…＋＝1－＋－＋…＋－＝1－＝，故选D．二、填空题7．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上述的已知条件，可求得该女子前3天所织布的总尺数为________．解析：设该女子第一天织布x尺，则＝5，解得x＝，所以该女子前3天所织布的总尺数为＝.答案：8．(一题多解)已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＋1＝Sn＋an＋3，a4＋a5＝23，则S8＝________．解析：法一：由Sn＋1＝Sn＋an＋3得an＋1－an＝3，则数列{an}是公差为3的等差数列，又a4＋a5＝23＝2a1＋7d＝2a1＋21，所以a1＝1，S8＝8a1＋d＝92.法二：由Sn＋1＝Sn＋an＋3得an＋1－an＝3，则数列{an}是公差为3的等差数列，S8＝＝＝92.答案：929．(2019·蓉城名校第一次联考)已知Sn是数列{an}的前n项和，若an＋Sn＝2，则a12＝________．解析：当n＝1，2，3，4，…时，＝0，1，0，1，…，所以a1＝a3＝a5＝a7＝…＝2，a2＋S2＝a4＋S4＝a6＋S6＝a8＋S8＝…＝a12＋S12＝…＝2，S2－S1＋S2＝S4－S3＋S4＝S6－S5＋S6＝S8－S7＋S8＝…＝2，所以2S2＝2＋S1⇒S2＝2；2S4＝2＋S3＝4＋S2⇒S4＝2＋S2＝3，同理可得S6＝2＋S4＝2＋＝，S8＝2＋S6＝2＋＝，S10＝2＋＝，S12＝，又a12＋S12＝2，所以a12＝2－S12＝2－＝－.答案：－三、解答题10．(2019·广州市综合检测(一))已知{an}是等差数列，且lg a1＝0，lg a4＝1.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若a1，ak，a6是等比数列{bn}的前3项，求k的值及数列{an＋bn}的前n项和．解：(1)因为lg a1＝0，lg a4＝1，所以a1＝1，a4＝10.设等差数列{an}的公差为d，则d＝＝3.所以an＝a1＋3(n－1)＝3n－2.(2)由(1)知a1＝1，a6＝16，因为a1，ak，a6是等比数列{bn}的前3项，所以a＝a1a6＝16.又an＝3n－2>0，所以ak＝4.因为ak＝3k－2，所以3k－2＝4，得k＝2.所以等比数列{bn}的公比q＝＝＝4.所以bn＝4n－1.所以an＋bn＝3n－2＋4n－1.所以数列{an＋bn}的前n项和为Sn＝＋＝n2－n＋(4n－1)．11．(2019·江西八所重点中学联考)设数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)．(1)求证：数列是等差数列；(2)设bn＝－1，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)证明：因为an＋1＝，所以－＝－＝－＝＝－.又a1＝1，所以＝－1，所以数列是以－1为首项，－为公差的等差数列．(2)由(1)知＝－1＋(n－1)＝－，所以an＝2－＝，所以bn＝－1＝－1＝－1＝＝，所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝＝＝，所以数列{bn}的前n项和Tn＝.12．(2019·福建省质量检查)数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2an－n.(1)求证数列{an＋1}是等比数列，并求an；(2)若数列{bn}为等差数列，且b3＝a2，b7＝a3，求数列{anbn}的前n项和．解：(1)当n＝1时，S1＝2a1－1，所以a1＝1.因为Sn＝2an－n①，所以当n≥2时，Sn－1＝2an－1－(n－1)②，①－②得an＝2an－2an－1－1，所以an＝2an－1＋1，所以＝＝＝2.所以{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列．所以an＋1＝2·2n－1，所以an＝2n－1.(2)由(1)知，a2＝3，a3＝7，所以b3＝a2＝3，b7＝a3＝7.设{bn}的公差为d，则b7＝b3＋(7－3)·d，所以d＝1.所以bn＝b3＋(n－3)·d＝n.所以anbn＝n(2n－1)＝n·2n－n.设数列{n·2n}的前n项和为Kn，数列{n}的前n项和为Tn，则Kn＝2＋2×22＋3×23＋…＋n·2n③，2Kn＝22＋2×23＋3×24＋…＋n·2n＋1④，③－④得，－Kn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝－n·2n＋1＝(1－n)·2n＋1－2，所以Kn＝(n－1)·2n＋1＋2.又Tn＝1＋2＋3＋…＋n＝，所以Kn－Tn＝(n－1)·2n＋1－＋2，所以数列{anbn}的前n项和为(n－1)·2n＋1－＋2.[B组　大题增分专练]1．(2019·江西七校第一次联考)数列{an}满足a1＝1，＝an＋1(n∈N*)．(1)求证：数列{a}是等差数列，并求出{an}的通项公式；(2)若bn＝，求数列{bn}的前n项和．解：(1)由＝an＋1得a－a＝2，且a＝1，所以数列{a}是以1为首项，2为公差的等差数列，所以a＝1＋(n－1)×2＝2n－1，又由已知易得an>0，所以an＝(n∈N*)．(2)bn＝＝＝－，故数列{bn}的前n项和Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝(－1)＋(－)＋…＋(－)＝－1.2．(2019·湖南省湘东六校联考)已知数列{an}的前n项和Sn满足＝＋1(n≥2，n∈N)，且a1＝1.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)记bn＝，Tn为{bn}的前n项和，求使Tn≥成立的n的最小值．解：(1)由已知有－＝1(n≥2，n∈N)，所以数列为等差数列，又＝＝1，所以＝n，即Sn＝n2.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.又a1＝1也满足上式，所以an＝2n－1.(2)由(1)知，bn＝＝，所以Tn＝＝＝.由Tn≥得n2≥4n＋2，即(n－2)2≥6，所以n≥5，所以n的最小值为5.3．(2019·河北省九校第二次联考)已知{an}是各项都为正数的数列，其前n项和为Sn，且Sn为an与的等差中项．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，求{bn}的前n项和Tn.解：(1)由题意知，2Sn＝an＋，即2Snan－a＝1，①当n＝1时，由①式可得S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，代入①式，得2Sn(Sn－Sn－1)－(Sn－Sn－1)2＝1，整理得S－S＝1.所以{S}是首项为1，公差为1的等差数列，S＝1＋n－1＝n.因为{an}的各项都为正数，所以Sn＝，所以an＝Sn－Sn－1＝－(n≥2)，又a1＝S1＝1，所以an＝－.(2)bn＝＝＝(－1)n(＋)，当n为奇数时，Tn＝－1＋(＋1)－(＋)＋…＋(＋)－(＋)＝－；当n为偶数时，Tn＝－1＋(＋1)－(＋)＋…－(＋)＋(＋)＝.所以{bn}的前n项和Tn＝(－1)n.4．(2019·高考天津卷)设{an}是等差数列，{bn}是等比数列．已知a1＝4，b1＝6，b2＝2a2－2，b3＝2a3＋4.(1)求{an}和{bn}的通项公式；(2)设数列{cn}满足c1＝1，cn＝其中k∈N*.①求数列{a(c－1)}的通项公式；②求aici(n∈N*).解：(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.依题意得解得故an＝4＋(n－1)×3＝3n＋1，bn＝6×2n－1＝3×2n.所以，{an}的通项公式为an＝3n＋1，{bn}的通项公式为bn＝3×2n.(2)①a(c－1)＝a(bn－1)＝(3×2n＋1)(3×2n－1)＝9×4n－1.所以，数列{a(c－1)}的通项公式为a(c－1)＝9×4n－1.②aici＝[ai＋ai(ci－1)]＝ai＋a  (c－1)＝[2n×4＋×3]＋(9×4i－1)＝(3×22n－1＋5×2n－1)＋9×－n＝27×22n－1＋5×2n－1－n－12(n∈N*)．