2020届二轮复习椭圆、双曲线、抛物线课时作业（全国通用） 练习

第三十六讲 椭圆双曲线抛物线
A 组
一.选择题
1. （2017年全国2卷理）若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【解析】圆心到渐近线 距离为 ，所以，故选A.

2．设椭圆：的左、右焦点分别为，是上的点，，，则的离心率为(　　)
A. B. C. D.
【答案】选D.
【解析】在中，令，因为，
所以.
所以.
3. (2017年天津卷理)已知双曲线的左焦点为，离心率为.若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为
A． B． C． D．
【答案】
【解析】由题意得 ，选B.
4．已知是双曲线的一条渐近线，是上的一点，是的两个焦点，若，则到轴的距离为
A. B. C. D.
【答案】选C.
【解析】，不妨设的方程为，设
由
得，故到轴的距离为，故选C
5.已知双曲线：的左右焦点分别是，过的直线与的左右两支分别交于两点，且，则=
A. B.3 C.4 D.
【答案】选C.
【解析】由双曲线定义可知：，;
两式相加得：①
又，①式可变为=4
即=4
5．（2017年全国3卷理）已知双曲线C： (a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为,且与椭圆有公共焦点，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得： ，又 ，解得 ，
则 的方程为 .
本题选择B选项.

二.填空题
6. （2017年全国1卷理）已知双曲线C：（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径做圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点。若∠MAN=60°，则C的离心率为________。
【答案】
【解析】

如图所示，，为双曲线的渐近线上的点，，
因为
所以
到直线的距离
在中，
代入计算得，即
由得
所以

7．已知双曲线：的左顶点为，右焦点为，点，且，则双曲线的离心率为 ．
【答案】
【解析】设F（c，0），又A（－，0），由，得：（－，－b）（c，－b）＝0，
所以，有：，即，化为，可得离心率e＝。
8. 与双曲线过一、三象限的渐近线平行且距离为的直线方程为 .
【答案】；
【解析】双曲线过一、三象限的渐近线方程为：
设直线方程为：所以，解得
三.解答题
9.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，左顶点为，左焦点为，点在椭圆上，直线与椭圆交于，两点，直线，分别与轴交于点，．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）在轴上是否存在点，使得无论非零实数怎样变化，总有为直角？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（Ⅰ）解法一：设椭圆的方程为，
因为椭圆的左焦点为，所以．
设椭圆的右焦点为，已知点在椭圆上，
由椭圆的定义知，
所以．
所以，从而．
所以椭圆的方程为．
解法二：设椭圆的方程为，
因为椭圆的左焦点为，所以． ①
因为点在椭圆上，所以． ②
由①②解得，，．
所以椭圆的方程为．
（Ⅱ）解法一：因为椭圆的左顶点为，则点的坐标为．
因为直线与椭圆交于两点，，
设点（不妨设），则点．
联立方程组消去得．
所以，．
所以直线的方程为．
因为直线与轴交于点，
令得，即点．
同理可得点．
假设在轴上存在点，使得为直角，则．
即，即．
解得或．
故存在点或，无论非零实数怎样变化，总有为直角．
解法二： 因为椭圆的左端点为，则点的坐标为．
因为直线与椭圆交于两点，，
设点，则点．
所以直线的方程为．
因为直线与轴交于点，
令得，即点．
同理可得点．
假设在轴上存在点，使得为直角，则．
即，即． （※）
因为点在椭圆上，
所以，即．
将代入（※）得．
解得或．
故存在点或，无论非零实数怎样变化，总有为直角．
解法三：因为椭圆的左顶点为，则点的坐标为．
因为直线与椭圆交于两点，，
设点（），则点．
所以直线的方程为．
因为直线与轴交于点，
令得，即点．
同理可得点．
假设在轴上存在点，使得为直角，则．
即，即．
解得或．
故存在点或，无论非零实数怎样变化，总有为直角．
10．已知椭圆的离心率为，其左顶点在圆 上。
（1）求椭圆的方程；
（2）若点为椭圆上不同于点的点，直线与圆的另
一个交点为，是否存在点，使得?若存在，求出点
的坐标；若不存在，说明理由。
解：（1）因为椭圆的左顶点A在圆上，令，得，所以.又离心率为，所以，所以,所以,
所以的方程为.
（2）设点，设直线的方程为，
与椭圆方程联立得,
化简得到, 因为为方程的一个根，
所以，所以
所以.
因为圆心到直线的距离为，
所以,
因为，
代入得到
显然，所以不存在直线，使得.
11.已知顶点为原点，焦点在轴上的抛物线，其内接的重心是焦点，若直线的方程为。
（1）求抛物线方程；
（2）过抛物线上一动点作抛物线切线，又且交抛物线于另一点，
(在的右侧)平行于轴，若，求的值。
解：（1）设抛物线的方程为，则其焦点为，，
联立，
∴，
，
又的重心为焦点F
代入抛物线中，解得
故抛物线方程为
（2）设，即切线，
即，又，
∵，

即。
12.已知椭圆:的左右顶点分别为，右焦点为，离心率，点是椭圆上异于两点的动点，△的面积最大值为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与直线交于点，试判断以为直径的圆与直线的位置关系，并作出证明．
解：（1）由题意得，，解得：
所以，椭圆方程为：.
（2）以为直径的圆与直线相切．
证明：设直线：，则：，的中点为为
联立，消去整理得：
设，由韦达定理得：，
解得：，故有：
又，所以当时，，，此时轴，
以为直径的圆与直线相切．
当时，，
所以直线，即：，
所以点到直线的距离
而，即知：，所以以为直径的圆与直线相切



B 组
一.选择题
B
A
P

1.如图是长度为定值的平面的斜线段，点为斜足，若点在平面内运动，使得的面积是定值，则动点的轨迹是
A.圆    B.椭圆   C.一条直线   D.两条平行线
【答案】选B.
【解析】我们通过这个例题可以让生进一步认识圆锥 曲线的定义. 根据已知条件的面积为定值，是长度为定值的平面的斜线段，那么点到直线的距离为定值，仅仅考虑这一点，点应该在一个圆柱的侧面上，这个圆柱是以所在的直线为轴，点到直线的距离为底面半径.同时这个点又在平面上，点的轨迹是平面与圆柱侧面的截线，依据圆锥曲线的定义，应该选B.
2.如果，，…，是抛物线：上的点，它们的横坐标依次为，，…，，是抛物线的焦点，若，则
（A） （B） （C） （D）
【答案】选A.
【解析】由抛物线的焦点为（1,0），准线为＝－1，由抛物线的定义，可知， ，…，故
3．设双曲线的一条渐近线为，且一个焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】选C.
【解析】∵抛物线的焦点为．
∴解得
4.过双曲线的右焦点与对称轴垂直的直线与渐近线交于两点，若的面积为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】选D
【解析】.由题意，得代入，得交点，则，整理，得，故选D．
二.填空题
5.椭圆的右顶点为，经过原点的直线交椭圆于 两点，若，，则椭圆的离心率为 .
【答案】
【解析】不妨设点在第一象限，由对称性可得，因为在中，，故，易得，代入椭圆方程得：，故，所以离心率
6．已知直线与圆：相切且与抛物线交于不同的两点，则实数的取值范围是
【答案】
【解析】因为直线与圆相切，所以 ．又把直线方程代入抛物线方程并整理得，于是由，得 或．
三.解答题
7.已知抛物线经过点，在点处的切线交轴于点，直线经过点且垂直于轴.
（Ⅰ）求线段的长；
（Ⅱ）设不经过点和的动直线交于点和，交于点，若直线、、的斜率依次成等差数列，试问：是否过定点？请说明理由.
【解析】（Ⅰ）由抛物线经过点，得
，故，的方程为
在第一象限的图象对应的函数解析式为，则
故在点处的切线斜率为，切线的方程为
令得，所以点的坐标为
故线段的长为
（Ⅱ）恒过定点，理由如下：
由题意可知的方程为，因为与相交，故
由，令，得，故
设
由 消去得：
则，
直线的斜率为，同理直线的斜率为
直线的斜率为
因为直线、、的斜率依次成等差数列，所以

即
整理得：，
因为不经过点，所以
所以，即
故的方程为，即恒过定点
8．已知抛物线：，过其焦点作两条相互垂直且不平行于轴的直线，分别交抛物线于点，和点，，线段，的中点分别记为，．
（1）求面积的最小值；
（2）求线段的中点满足的方程．
解：（Ⅰ）由题设条件得焦点坐标为，设直线的方程为，.
联立，
消去并整理得. (*)
(*)关于的一元二次方程的判别式.
设，，则是方程(*)的两个不等实根，
经计算得．
设，则．
类似地，设，则．
所以，
，
因此．
因为，所以，
当且仅当，即时，取到最小值4．
（Ⅱ）设线段的中点，由（1）得
，
消去后得．∴线段的中点满足的方程为．
9．已知为椭圆的上顶点，是上的一点，以为直径的圆经过椭圆的右焦点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆相较于两点，为椭圆上任意一点，且线段的中点与线段的中点重合，求的取值范围。
解：（1）因为，，，，，
由题设可知，则 ①
又点在椭圆上，∴，解得，所以　②
①②联立解得，，，
故所求椭圆的方程为．
（2）设三点的坐标分别为，，，
由两点在椭圆上，则，则
由（1）－（2），得　　（3）．
由线段的中点与线段的中点重合，则．
又，即　　　（6）
把（4）（5）（6）代入（3）整理，得，
于是由，得，，
所以．
因为，所以，有，
所以，即的取值范围为．
10.已知椭圆上的动点到焦点距离的最小值为。以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若过点的直线与椭圆相交于两点，为椭圆上一点， 且满足
（为坐标原点）。当 时，求实数的值．
解：（Ⅰ）由题意知；
又因为，所以，．
故椭圆的方程为．
（Ⅱ）设直线的方程为，，，，
由得．
，．
，．又由，得，

可得．
又由，得，则，．
故，即．
得，，即



C 组
1.双曲线的左、右焦点分别为，渐近线分别为，点在第一象限内且在上，若，则该双曲线的离心率为
（A） （B）2 （C） （D）
【答案】选B．
【解析】双曲线的渐近线方程为，不妨的方程分别为．
因为，所以直线的方程为．由得
点坐标为．由，得，整理得，，
所以，所以该双曲线的离心率为2．应选B．
2.椭圆的左右焦点分别为、，过点的直线与椭圆交于两点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】选D.
【解析】设，
若是以为直角顶点的等腰直角三角形，
∴，．
由椭圆的定义可知的周长为，
∴，．
∴．
∵，
∴，
∴，．
3.已知直线被椭圆截得的弦长为7，则下列直线中被椭圆截得的弦长一定为7的有（ ）
① ② ③ ④
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条
【答案】选C.
【解析】直线与直线关于原点对称，直线与直线关于轴对称，与直线关于轴对称，故有3条直线被椭圆截得的弦长一定为7。
4.直线与双曲线的右支交于不同的两点,那么k的取值范围是　(　　)
A． B． C． D．
【答案】选D.
【解析】联立 得
由题意得 即解得
二.填空题
5.已知为抛物线的焦点，是该抛物线上的动点，点是抛物线的准线与轴的交点，当最小时，点的坐标为_____________.
【答案】
【解析】由题可知焦半径，
则，
则，因为点在抛物线上，所以，则(当且仅当时取等号)，则，且取最小值时，此时点P的坐标为．
6.△中，为动点，、为定点，,，且满足条件,则动点的轨迹方程为 ___.
【答案】
【解析】：由,得,
∴应为双曲线一支，且实轴长为,故方程为.
三.解答题
7.设椭圆过两点，为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且？若存在，求出该圆的方程；若不存在，说明理由。
解：（Ⅰ）因为，所以
解得，
所以椭圆的方程为．
（Ⅱ）若存在满足题意的定圆，设该定圆半径为，则直线与该定圆相切，由对称性及可知，此时直线方程为，其与椭圆交于，故，解得，下面说明定圆满足题意．
①由上述讨论可知，切线于椭圆交于两点，满足．由椭圆与圆均关于轴对称可知，切线也满足题意．
②当切线不与轴垂直时，设切线方程为，交于．
则圆心到切线的距离，即．
由得，， 所以
，
且．
所以，．所以，，
所以．
综上所述，存在定圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且．
F
P2
x
O
y
N
B
A
M
P1
Q
8． 如图，抛物线的焦点为，取垂直于轴的直线与抛物线交于不同的两点，，过，作圆心为的圆，使抛物线上其余点均在圆外，且。
（Ⅰ）求抛物线和圆的方程；
（Ⅱ）过点作直线，与抛物线和圆依次交于，，，，求 最小值。
解：（Ⅰ）因为抛物线的焦点为，
所以 ，解得，所以抛物线的方程为 。
由抛物线和圆的对称性，可设圆：，
∵，∴是等腰直角三角形，不妨设在左侧，则，
∴，代入抛物线方程有。
由题可知在，处圆和抛物线相切，对抛物线求导得，
所以抛物线在点处切线的斜率为。
由知，所以，代入，解得。
所以圆的方程为。
（Ⅱ）由题知直线的斜率一定存在，设直线的方程为。
圆心到直线的距离为，
∴。
由得，设，，
则，由抛物线定义知，。
所以
设，则
所以当时即时，有最小值16.
9.已知动圆过点,且与圆相内切.
（1）求动圆的圆心的轨迹方程；
（2）设直线（其中与(1)中所求轨迹交于不同两点,与双曲线交于不同两点,问是否存在直线，使得，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．
解：（1）圆， 圆心的坐标为，半径.
∵，∴点在圆内. ……1分
设动圆的半径为，圆心为，依题意得，且，
即. ……2分
∴圆心的轨迹是中心在原点，以两点为焦点，长轴长为的椭圆,设其方程为
, 则.∴.
∴所求动圆的圆心的轨迹方程为.
(2)由 消去化简整理得：
设，，
则.. ①
由 消去化简整理得：.
设，则,
. ②
∵，∴，即，
∴.∴或.解得或.
当时,由①、②得 ，∵Z,，∴的值为 ，，;当，由①、②得 ，∵Z,，∴.
∴满足条件的直线共有9条．
10.已知椭圆垂直于轴的焦点弦的弦长为 ，直线与以原点为圆心,以椭圆的离心率为半径的圆相切.
（1）求该椭圆的方程；
（2）过右焦点的直线交椭圆于两点，线段的中点为，
的中垂线与轴和轴分别交于两点．记的
面积为，的面积为．求的取值范围。
解：(1) ∴椭圆的方程为
（2）由（1）知 若直线的斜率不存在，则 不合题意，所以直线的斜率存在且不为，设其方程为 并代入中，整理得：
， ，…6分
∴ ∵ ∴
∴∴即
∵ ∴