2020届二轮复习坐标系与参数方程课时作业（全国通用）(1) 练习

第1讲 坐标系与参数方程

1．(2019·东北四市联合体模拟(一))在平面直角坐标系xOy中，直线l1的倾斜角为30°，且经过点A(2，1)．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l2：ρcos θ＝3.从坐标原点O作射线交l2于点M，点N为射线OM上的点，满足|OM|·|ON|＝12，记点N的轨迹为曲线C.

(1)写出直线l1的参数方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)设直线l1与曲线C交于P，Q两点，求|AP|·|AQ|的值．

解：(1)直线l1的参数方程为(t为参数)，即(t为参数)．

设N(ρ，θ)，M(ρ1，θ1)(ρ>0，ρ1>0)，

则，又ρ1cos θ1＝3，所以ρ＝12，即ρ＝4cos θ，所以曲线C的直角坐标方程为x2－4x＋y2＝0(x≠0)．

(2)设P，Q对应的参数分别为t1，t2，将直线l1的参数方程代入曲线C的直角坐标方程中，

得(2＋t)2－4(2＋t)＋(1＋t)2＝0，

即t2＋t－3＝0，Δ＝13>0，

t1，t2为方程的两个根，所以t1t2＝－3，

所以|AP||AQ|＝|t1t2|＝|－3|＝3.

2．(2019·四省八校双教研联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(其中t为参数)．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，并取相同的单位长度，曲线C2的极坐标方程为ρcos(θ＋)＝1.

(1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；

(2)过P(0，1)的直线l交曲线C1于A，B两点，当|PA|·|PB|＝8时，求直线l的倾斜角．

解：(1)消去参数t得曲线C1的普通方程为x2＝4y，曲线C2的极坐标方程可化为ρcos θ－ρsin θ＝2，化为直角坐标方程为x－y－2＝0.

(2)设直线l的参数方程为(m为参数，α为直线l的倾斜角且α≠90°)，

代入曲线C1的普通方程中得m2cos2α－4msin α－4＝0，

所以m1m2＝，

所以|PA|·|PB|＝|m1m2|＝＝8，得α＝45°或135°，即直线l的倾斜角为45°或135°.

3．(2019·广州市综合检测(一))在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为ρ(sin θ－acos θ)＝(a∈R)．

(1)写出曲线C1的普通方程和直线C2的直角坐标方程；

(一题多解)(2)若直线C2与曲线C1有两个不同的交点，求a的取值范围．

解：(1)曲线C1的普通方程为y＝1－x2(－1≤x≤1)，把x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入ρ(sin θ－acos θ)＝，得直线C2的直角坐标方程为y－ax＝，即ax－y＋＝0.

(2)法一：由直线C2∶ax－y＋＝0，知直线C2恒过点M(0，)．由y＝1－x2(－1≤x≤1)，知当y＝0时，x＝±1，

则直线MP的斜率为k1＝＝，

直线MQ的斜率为k2＝＝－.

因为直线C2的斜率为a，且直线C2与曲线C1有两个不同的交点，所以k2≤a≤k1，即－≤a≤.

所以a的取值范围为[－，]．

法二：联立，消去y得x2＋ax－＝0，依题意，得x2＋ax－＝0在[－1，1]上有两个不相等的实根．

设f(x)＝x2＋ax－，

则解得－≤a≤.

所以a的取值范围为[－，]．

4．(2019·湖南省湘东六校联考)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ＝4sin(θ＋)．

(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)设曲线C与直线l的交点为A，B，Q是曲线C上的动点，求△ABQ面积的最大值．

解：(1)由消去t得x＋y－5＝0，所以直线l的普通方程为x＋y－5＝0.

由ρ＝4sin(θ＋)＝4sin θ＋4cos θ，得ρ2＝4ρsin θ＋4ρcos θ，

化为直角坐标方程为x2＋y2＝4x＋4y，

所以曲线C的直角坐标方程为(x－2)2＋(y－2)2＝8.

(2)由(1)知，曲线C是以(2，2)为圆心，2为半径的圆，直线l过点P(3，2)，可知点P在圆内．

将直线l的参数方程化为，代入圆的直角坐标方程，得t2－9t＋33＝0.

设A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝9，t1t2＝33，

所以|AB|＝|t2－t1|＝＝.

又圆心(2，2)到直线l的距离d＝＝，

所以△ABQ面积的最大值为××(＋2)＝.

5．(2019·济南市学习质量评估)在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos2θ＝sin θ，直线l的参数方程为(t为参数，其中a>0)，直线l与曲线C相交于M，N两点．

(1)求曲线C的直角坐标方程；

(2)若点P(0，a)满足＋＝4，求a的值．

解：(1)曲线C的极坐标方程可化为ρ2cos2θ＝ρsin θ，

由，得曲线C的直角坐标方程为y＝x2.

(2)将直线l的参数方程(t为参数)代入y＝x2，得t2－－a＝0，Δ＝＋3a>0.

设M，N对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝，t1t2＝－，

所以＋＝＝

＝＝＝4，

化简得64a2－12a－1＝0，

解得a＝或a＝－(舍去)，

所以a＝.

6．(2019·广东省七校联考)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：(φ为参数，实数a>0)，曲线C2：(φ为参数，实数b>0)．在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ＝α(ρ≥0，0≤α≤)与C1交于O，A两点，与C2交于O，B两点，当α＝0时，|OA|＝1；当α＝时，|OB|＝2.

(1)求a，b的值；

(2)求2|OA|2＋|OA|·|OB|的最大值．

解：(1)将C1的参数方程化为普通方程为(x－a)2＋y2＝a2，其极坐标方程为ρ1＝2acos θ，

由题意可得，当θ＝α＝0时，|OA|＝2a＝1，所以a＝.

将C2的参数方程化为普通方程为x2＋(y－b)2＝b2，其极坐标方程为ρ2＝2bsin θ，

由题意可得，当θ＝α＝时，|OB|＝2b＝2，所以b＝1.

(2)由(1)可得C1，C2的方程分别为ρ1＝cos θ，ρ2＝2sin θ，

所以2|OA|2＋|OA|·|OB|＝2cos2θ＋2sin θcos θ＝sin 2θ＋cos 2θ＋1＝sin(2θ＋)＋1.

因为θ＝α，0≤α≤，所以0≤θ≤，所以2θ＋∈[，]，

所以当2θ＋＝，即θ＝时，sin(2θ＋)＋1取得最大值，为＋1.

7．(2019·合肥市第一次质量检测)已知曲线C的参数方程为(α为参数)，以平面直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求曲线C的极坐标方程；

(2)P，Q为曲线C上两点，若·＝0，求的值．

解：(1)由，得曲线C的普通方程是＋y2＝1，将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入，得5ρ2sin2θ＋2ρ2cos2θ＝5，

即ρ2＝(ρ2＝也可得分)．

(2)因为ρ2＝，所以＝sin2θ＋，

由·＝0，得OP⊥OQ，

设点P的极坐标为(ρ1，θ)，则点Q的极坐标可设为(ρ2，θ±)，

所以＝＝

＝＝＝.

8．(2019·郑州市第二次质量预测)在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ＝12，直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与曲线C交于M，N两点．

(1)若点P的极坐标为(2，π)，求|PM|·|PN|的值；

(2)求曲线C的内接矩形周长的最大值．

解：(1)由ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ＝12得x2＋3y2＝12，故曲线C的直角坐标方程为＋＝1，点P的直角坐标为(－2，0)，

将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程＋＝1中，得t2－t－4＝0，设点M，N对应的参数分别为t1，t2，则|PM|·|PN|＝|t1t2|＝4.

(2)由(1)知，曲线C的直角坐标方程为＋＝1，可设曲线C上的动点A(2cos α，2sin α)，0<α<，

则以A为顶点的内接矩形的周长为4(2cos α＋2sin α)＝16sin(α＋)，0<α<.

因此该内接矩形周长的最大值为16，当且仅当α＝时取得最大值．