2020届二轮复习直线与圆课时作业（全国通用） 练习

（山东省德州市2019届高三期末联考数学（理科）试题）
15.在平面直角坐标系中,已知过点的直线与圆相切,且与直线垂直,则实数__________．
【答案】
【解析】
因为在圆上，所以圆心与切点的连线与切线垂直，又知与直线与直线垂直，所以圆心与切点的连线与直线斜率相等，，所以，故填：．

（山东省潍坊市2019届高三上学期期末测试数学（文科）试题）
14.若直线与两坐标轴分别交于，两点， 为坐标原点，则的内切圆的标准方程为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
结合三角形面积计算公式，建立等式，计算半径r，得到圆方程，即可。
【详解】设内切圆的半径为r，结合面积公式
则因而圆心坐标为，圆的方程为
【点睛】本道题考查了圆方程计算方法，难度较小。

（福建省宁德市 2019届高三第一学期期末质量检测数学理科试题）
13.过圆：的圆心，且斜率为1的直线方程为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
本道题先计算圆心坐标，结合点斜式，写出方程，即可。
【详解】结合满足圆心坐标为
则该圆方程圆心坐标为，而该直线斜率为1，所以方程为
，得到
【点睛】本道题考查了点斜式直线方程计算方法，较容易。



（山东省烟台市2018届高三下学期高考诊断性测试数学（文）试题）
20.已知动圆C与圆外切,并与直线相切
(1)求动圆圆心C的轨迹
(2)若从点P(m,-4)作曲线的两条切线,切点分别为A、B,求证:直线AB恒过定点。
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）由两圆外切，圆心距等于半径和，圆与直线相切，圆心到直线的距离等于半径。先列出几何关系，建立几何等式，或转化为定义，或代数化。（2）由（1）知曲线为抛物线，应用导数求过，的切线方程，两式结构一样，且都过P(m,-4)点，可知为方程的两个根，再结合直线的方程为.与抛物线方程组方程组中的韦达定理，得，.所以的方程为.过定点。
【详解】（1）由题意知，圆的圆心，半径为.设动圆圆心，半径为.
因为圆与直线相切，所以，即.
因为圆与圆外切,所以，即.
联立①②，消去，可得.
所以点的轨迹是以为焦点,为准线的抛物线.
（2）由已知直线的斜率一定存在.不妨设直线的方程为.
联立，整理得，其中
设，则，. ①
由抛物线的方程可得:,.
过的抛物线的切线方程为,
又代入整得:.
切线过，代入整理得:,
同理可得.
为方程的两个根，
，. ②
由①②可得，，
所以，.的方程为.
所以直线恒过定点.
【点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.

（四川省绵阳市2019届高三第二次（1月）诊断性考试数学理试题）
8.已知⊙O：与⊙O1：相交于A、B两点，若两圆在A点处的切线互相垂直，且｜AB｜=4，则⊙O1的方程为（ ）
A. ＝20 B. ＝50
C. ＝20 D. ＝50
【答案】C
【解析】
【分析】
根据两圆相交，在A处的切线互相垂直，即可得到结论．
【详解】依题意，得O（0,0），R＝，O1（，0），半径为r
两圆在A点处的切线互相垂直，则由切线的性质定理知：两切线必过两圆的圆心，如下图，
OC＝，OA⊥O1A，OO1⊥AB，
所以由直角三角形射影定理得：OA2＝OC×OO1，
即　5＝1×OO1，所以OO1＝5，r＝AO1＝＝2，
即＝5，得＝5，所以，圆O1的方程为：＝20，
故选：C．

【点睛】本题主要考查两圆位置关系的应用，根据切线垂直关系建立方程关系是解决本题的关键．


（湖北省宜昌市2019届高三元月调研考试文科数学试题）
11.已知两点，以及圆：，若圆上存在点，满足，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意可知：以AB为直径的圆与圆有公共点，从而得出两圆圆心距与半径的关系，列出不等式得出的范围．
【详解】 ，点在以，两点为直径的圆上，
该圆方程为：，又点在圆上，两圆有公共点。
两圆的圆心距

解得：
故选：D
【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，还考查了向量垂直的数量积表示，属于中档题．


（湖北省宜昌市2019届高三元月调研考试理科数学试题）
14.已知直线与圆：相交于、两点，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】
明确圆的圆心与半径，求出圆心C到直线的距离，进而得到弦长，即可得到的值.
【详解】圆：的圆心C：，半径r=2，
圆心C到直线的距离为
∴，
∴三角形ABC为等边三角形，
∴.
故答案为：
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查垂径定理，属于基础题.


（河南省驻马店市2019届高三上学期期中考试数学文试题）
14.已知直线与圆相切，则实数_____．
【答案】2或12
【解析】
【分析】
首先将圆的方程整理为标准型，然后结合直线与圆的位置关系得到关于实数b的方程，解方程即可求得最终结果．
【详解】圆的标准方程即：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，
由题意可得圆心（1，1）到直线3x+4y﹣b＝0的距离为1，
即：，解得：b＝2或b＝12．
故答案为：2或12．
【点睛】本题考查了圆的标准方程，直线与圆的位置关系等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．


（河北省张家口市2019届高三上学期期末考试数学（文）试题）
15.经过点作圆的切线，设两个切点分别为，,则__________．
【答案】
【解析】
【分析】
由圆的方程可以求出圆心坐标及半径，进而可以求出，，从而求出的值，由，利用二倍角的正切公式，可以求出的值.
【详解】圆的方程可化为，则圆心为，半径为r=1，设，，，，
则,.


【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了圆的性质，考查了两点间的距离公式，二倍角的正切公式，属于基础题。


（福建省厦门市2019届高三第一学期期末质检文科数学试题）
14.直线与圆交于两点，则____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，求得圆心到直线点距离为，再由圆的弦长公式，即可求解.
【详解】根据题意，圆的圆心为，半径为，
则圆心到直线点距离为，
则.
【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，以及弦长的计算，其中解答中熟记点到直线的距离公式和圆的弦长公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.


（福建省泉州市2019届高三1月单科质检数学理试题）
9.设为坐标原点，直线交圆于，两点，则面积的最大值是（ ）

A. 1 B. C. 2 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
本道题分别计算出三角形OAB的底和高，结合三角形面积计算公式，计算面积最值，即可。
【详解】设直线OA和x轴夹角为，则高为，所以
，而，所以S的最大值为2，故选C。
【点睛】本道题考查了用三角函数计算面积求最值问题，难度中等。


（福建省龙岩市2019届高三第一学期期末教学质量检查数学（理科）试题）
5.若直线与曲线有且只有一个公共点，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
运用几何意义，当直线与半圆相切或者只有一个公共点时满足题意
【详解】表示半圆，如图所示：

直线与曲线有且只有一个公共点，
①，解得，（舍去）
②代入（-1，0）可得
代入（1，0）可得
结合图象，综上可得或
故选C
【点睛】本题考查了直线与半圆之间的位置关系，为满足题意中只有一个交点，则需要进行分类讨论，运用点到直线距离和点坐标代入计算出结果


（安徽省黄山市2019届高三第一次质量检测（一模）数学（理）试题）
4.直线与轴的交点为,点把圆的直径分为两段，则较长一段比上较短一段的值等于 ( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出点坐标，然后求出点与圆心的距离，结合半径可以求出答案。
【详解】令代入可得，圆心坐标为，
则与圆心的距离为，半径为6，
可知较长一段为8，较短一段4，则较长一段比上较短一段的值等于2。
故答案为A.
【点睛】本题考查了直线与圆的方程，圆的半径，圆心坐标，属于基础题。


（辽宁省丹东市2018年高三模拟（二）理科数学试题）
3.圆心为的圆与圆相外切，则的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
分析：由两圆外切得圆心距为半径和从而得解.
详解：圆，即.圆心为，半径为3
设圆的半径为.
由两圆外切知，圆心距为.
所以.
的方程为，展开得：.
故选D.
点睛：此题主要考查解析几何中圆的标准方程，两圆的位置关系，以及两点间的距离公式的应用等有关方面的知识与技能，以属于中低档题型，也是常考考点.判断两圆的位置关系，有两种方法，一是代数法，联立两圆方程，消去其中一未知数，通过对所得方程的根决断，从而可得两圆关系；一是几何法，通计算两圆圆心距与两圆半径和或差进行比较，从而可得两圆位置关系.


（河北省衡水中学2019届高三上学期七调考试数学（文）试题）
16.已知双曲线C：（a＞0，b＞0），圆M：．若双曲线C的一条渐近线与圆M相切，则当取得最小值时，C的实轴长为________．
【答案】4
【解析】
【分析】
设渐近线方程为，由点到直线的距离公式可得，则，利用导数研究函数的单调性可得在上递减，在上递增，时，有最小值，从而可得结果.
【详解】设渐近线方程为，即，
与相切，
所以圆心到直线的距离等于半径，
，
，

，
时，；时，，
在上递减，在上递增，
时，有最小值，
此时实轴，故答案为4.
【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线、直线与圆的位置关系以及利用导数研究函数的单调性与最值，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于难题. 解答直线与圆的位置关系的题型，主要是考虑圆心到直线的距离与半径之间的大小关系.



（吉林省长春实验高中2019届 高三第五次月考 数学（文）试题）
8.已知圆：与圆关于轴对称，为圆上的动点，当到直线的距离最小时，的横坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
圆的方程为：，过M（3，-4）且与直线y=x+2垂直的直线方程为y=-x-1,代入，得 ，故当Q到直线y=x+2的距离最小时，Q的坐标为


（山东省济南外国语学校2019届高三1月份阶段模拟测试数学（文）试题）
15.已知抛物线的准线为与圆相交所得弦长为，则___．
【答案】
【解析】
【分析】
利用弦心距、半弦长与半径之间的关系计算即得结论；
【详解】抛物线y＝ax2（a＞0）的准线l：y，∴圆心（3，0）到其距离为d= .
故答案为.
【点睛】本题考查抛物线的性质和圆中垂径定理的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．







（河北省衡水市第十三中学2019届高三质检（四）理科数学试题）
1.直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意，取得直线的斜率，进而可求得倾斜角，得到答案．
【详解】由题意得，故倾斜角为.故选B.
【点睛】本题主要考查了直线的斜率与倾斜角，以及三角函数的求值，其中解答中根据直线的方程，求得直线的斜率是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．

（河北省衡水市第十三中学2019届高三质检（四）理科数学试题）
8.已知动圆P过定点A(－3,0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与定圆相切，则动圆的圆心P的轨迹是(　　)
A. 线段 B. 直线
C. 圆 D. 椭圆
【答案】D
【解析】
【分析】
设切点为M，根据题意，列出点P满足的关系式即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|=8>6．则
P点的轨迹是椭圆即得解．
【详解】设动圆P和定圆B内切于点M．动点P到定点A（﹣3，0）和定圆圆心B（3，0）距离之
和恰好等于定圆半径，即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|=8>6．
∴点P的轨迹是以A，B为两焦点，半长轴为4的椭圆，b==．
∴点P的轨迹方程为．
故答案为：D
【点睛】本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法，应该熟练并灵活运用．


（湖南省长望浏宁四县2019年高三3月调研考试 数学（文科）试题）
10.过点（0，1）的直线被圆所截得的弦长最短时，直线的斜率为（ ）
A. 1 B. -1 C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：点在圆内，要使得过点的直线被圆所截得的弦长最短，则该弦以为中点，与圆心和连线垂直，而圆心和连线的斜率为，所以所求直线斜率为1，故选择A．
考点：直线与圆的位置关系．

（湖南省长沙市长郡中学2019届高三上学期第一次适应性考试（一模）数学（文）试题）
15.已知圆，圆圆与圆相切，并且两圆的一条外公切线的斜率为7，则为_________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意作出如下图形：

由圆方程求出圆心连线斜率为：，计算出圆心距，
再利用外公切线的斜率为7求出圆心连线与公切线的夹角，从而在直角三角形中列方程求得，联立方程即可求出，，问题得解。
【详解】根据题意作出如下图形：

AB为两圆的公切线，切点分别为A,B.
当公切线AB与直线平行时，公切线AB斜率不为7，即
不妨设
过作AB的平行线交于点E，则：，且
,
直线的斜率为：，
所以直线AB与直线的夹角正切为：.
在直角三角形中，，所以，
又,整理得：，
解得：，又，解得：，，
所以=.
【点睛】本题主要考查了圆的公切线特点及两直线夹角公式，还考查了解三角形知识及计算能力、方程思想，属于中档题。

（安徽省淮南市2019届高三第一次模拟考试数学（文）试题）
12.在平面直角坐标系中，设点，定义，其中为坐标原点，对于下列结论：
符合的点的轨迹围成的图形面积为8；
设点是直线：上任意一点，则；
设点是直线：上任意一点，则使得“最小的点有无数个”的必要条件是；
设点是圆上任意一点，则．
其中正确的结论序号为　　
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据新定义由，讨论x的取值，得到y与x的分段函数关系式，画出分段函数的图象，由图象可知点P的轨迹围成的图形为边长是的正方形，求出正方形的面积即可；
运用绝对值的含义和一次函数的单调性，可得的最小值；
根据大于等于或，把代入即可得到当最小的点P有无数个时，k等于1或；而k等于1或推出最小的点P有无数个，得到是“使最小的点P有无数个”的充要条件；
把P的坐标用参数表示，然后利用三角函数的化积求得的最大值说明命题正确．
【详解】由，根据新定义得：，
由方程表示的图形关于x，y轴对称和原点对称，
且，
画出图象如图所示：

根据图形得到：四边形ABCD为边长是的正方形，面积等于8，
故正确；
为直线：上任一点，可得，
可得，
当时，；当时，；
当时，可得，综上可得的最小值为1，故正确；
，当时，，满足题意；
而，当时，，满足题意．
“使最小的点P有无数个”的充要条件是“”，正确；
点P是圆上任意一点，则可设，，，
，，，正确．
则正确的结论有：、、．
故选：C．
【点睛】此题考查学生理解及运用新定义的能力，考查了数形结合的数学思想，关键是对题意的理解，是中档题．
（广东省东莞市2019届高三上学期期末调研测试数学理试题）
9.过点且倾斜角为的直线交圆于，两点，则弦的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
写出直线l的方程，求圆心到直线l的距离，再利用弦长公式进行求解即可．
【详解】过点且倾斜角为的直线为y-1=即,
∵圆，∴圆心（0，3），半径r=3，
圆心到直线l：的距离d==1，
∴直线被圆截得的弦长l=2=．
故选：D．
【点睛】本题考查了直线被圆截得的弦长公式，主要用到了点到直线的距离公式．

（江西省上饶市重点中学2019届高三六校第一次联考数学（文）试卷）
16.已知点Q（x0，1），若上存在点，使得∠OQP＝60°，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据直线和圆的位置关系，利用数形结合即可得到结论．
【详解】由题意画出图形如图：点Q（x0，1），要使圆O：x2+y2＝1上存在点N，使得∠OQP＝60°，则∠OQP的最大值大于或等于60°时一定存在点P，使得∠OQP＝60°，而当QP与圆相切时∠OQP取得最大值，此时OP＝1，＝．图中只有Q′到Q″之间的区域满足|QP|≤，∴x0的取值范围是．
故答案为：

【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，数形结合是快速解得本题的策略之一，属于中档题.
（陕西省宝鸡市2019届高三高考模拟检测（二）数学（文科）试题）
3.若直线x＋（1＋m）y－2＝0与直线m＋2y＋4＝0平行，则m的值是（ ）
A. 1 B. －2 C. 1或－2 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
分类讨论直线的斜率情况，然后根据两直线平行的充要条件求解即可得到所求．
【详解】①当时，两直线分别为和，此时两直线相交，不合题意．
②当时，两直线的斜率都存在，由直线平行可得，解得．
综上可得．
故选A．
【点睛】本题考查两直线平行的等价条件，解题的关键是将问题转化为对直线斜率存在性的讨论．也可利用以下结论求解：若，则
且或且．

（广东省揭阳市2019届高三一模数学（文科）试题）
15.若圆与圆相切，则的值为________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据两圆相切得圆心之间距离等于半径之和或之差的绝对值，解得的值.
【详解】因为，所以,
因为两圆相切，所以或，
解得或.
【点睛】本题考查两圆位置关系，考查基本分析求解能力.属基本题.

（山东省菏泽市2019届高三下学期第一次模拟考试数学（文）试题）
5.圆与直线的位置关系是（ ）
A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 以上三种情况都有可能
【答案】C
【解析】
【分析】
通过比较圆心到直线的距离和半径即可得到位置关系.
【详解】圆的圆心坐标是，半径是，因为圆心到直线的距离，满足，所以圆与直线的位置关系是相离，
故选:C
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的判定，比较圆心到直线的距离和半径即可.

（西安市2019届高三年级第一次质量检测文科数学）
7.若直线：与圆：无交点，则点与圆的位置关系是（ ）
A. 点在圆上 B. 点在圆外 C. 点在圆内 D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意知圆心到直线的距离大于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关系式，再利用两点间的距离公式判断，可得出结论．
【详解】直线：与圆：无交点，则，即，
∴点在圆内部.
故应选C.
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，以及点与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，以及两点间的距离公式，属于基础题.

（晋冀鲁豫名校2018-2019年度高三上学期期末联考数学(理)试题）
3.若直线平分圆，则实数的值为（ ）
A. B. C. D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意可知直线经过圆心，据此得到关于实数a的方程，解方程即可确定实数a的值.
【详解】当直线经过圆心时平分圆，所以，圆心在直线上，
所以，解得．
本题选择A选项.
【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，方程思想的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
（河北省五个一名校联盟2019届高三下学期第一次诊断考试数学（文）试题）
7.已知点为圆上一点，,则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
取AB中点D,，的最大值转化为圆心C到D的距离加半径再乘以2即可求解.
【详解】取AB中点D(2,-3),,
,d+r=
的最大值为
故选：C.
【点睛】本题考查点与圆的位置关系，圆上的点到圆外定点距离的最值，是中档题.

（陕西省咸阳市2019届高三高考模拟检测（二）数学（文）试题）
15.已知点是直线上的动点，过引圆的切线，则切线长的最小值为____.
【答案】
【解析】
【分析】
利用切线和点到圆心的距离关系即可得到结果.
【详解】圆的圆心为，半径为1，
要使切线长最小，则只需要点P到圆心的距离最小。
此时最小值为圆心到直线的距离，
此时切线长的最小值为，
故答案是：1.
【点睛】该题考查的是有关圆的切线长的最小值问题，涉及到的知识点有点到直线的距离公式，切线长，圆的半径以及点到圆心的距离对应的直角三角形，在解题的过程中，注意分析得出什么时候使得切线长最短值解题的关键.

（广西南宁市、玉林市、贵港市等2019届高三毕业班摸底考试数学（文）试题）
5.若直线与圆相交，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
直线与圆相交等价于圆心到直线距离小于半径.
【详解】直线化为一般式为：，
直线与圆相交等价于圆心到直线距离小于半径，
即，∴
∴
故选：D
【点睛】这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；还有就是在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值.

（陕西省2019届高三第二次教学质量检测数学（理）试题）
15.圆的任意一条切线与圆相交于，两点，为坐标原点，则____.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，根据AB与圆相切且交外面的圆于A、B两点，由垂径定理及勾股定理，求得的大小，进而利用向量数量积即可求得解。
【详解】由题意，画出几何图形如下图所示：

设切点为P，则
且 ，则
所以
因为，
所以

【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系及性质，向量数量积的应用，属于基础题。

（四川省成都市实验外国语学校2019届高三二诊模拟考试理科数学）
14.圆心在直线上的圆C与轴交于两点，，则圆C的方程为______．
【答案】
【解析】
分析：根据题意，列出关于圆心和半径的方程，求解即可。
详解：设圆的方程为，根据题意可得：，
，，联立求解可得.
圆C的方程为。
点睛：已知曲线类型，求参数利用待定系数法，根据题意列方程，对圆的参数圆心坐标和半径求解，是常见解法。

（安徽省合肥市2019届高三第二次教学质量检测数学（文）试题）
12.在平面直角坐标系中，圆经过点，，且与轴正半轴相切，若圆上存在点，使得直线与直线关于轴对称，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求出圆的圆心坐标与半径，设的斜率为，因为，所以，当最大时最小，利用圆心到直线的距离等于半径求得的最大值，即可得到的最小值.
【详解】
圆经过，
圆心在的垂直平分线上，
又圆与轴正半轴相切，圆的半径为2，
设圆心坐标为，
由得，
圆心坐标为，
设的斜率为，因为，所以，
当最大时最小，
设（），由图可知当与圆相切时最大，
此时，
解得，此时，
即的最小值为，故选D.
【点睛】本题主要考查圆的方程与性质以及直线与圆的位置关系、转化思想的应用，属于难题. 解答直线与圆的位置关系的题型，常见思路有两个：一是考虑圆心到直线的距离与半径之间的大小关系；二是直线方程与圆的方程联立，考虑运用韦达定理以及判别式来解答.


（陕西省咸阳市2019届高三高考模拟检测（二）数学（文）试题）
20.设定点，动圆过点且与直线相切.
（I）求动圆圆心的轨迹的方程；
（II）设为直线上任意一点，过点作轨迹的两条切线和，证明：．
【答案】（1）（2）见证明
【解析】
【分析】
（I）根据抛物线的定义和题设中的条件可知的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线，焦点到准线的距离，进而求得抛物线的方程；
（II）首先判断过点过与曲线相切的直线斜率存在，设切线方程为，与抛物线的方程联立，整理得出判别式等于0，从而求得，利用韦达定理得出，从而得到.
【详解】（I）依题意知，点的轨迹是以为焦点，
以直线为准线的抛物线，方程为
(II) 设，显然过与曲线相切的直线斜率存在，设切线方程为，
与曲线联立得，即，
依题意，即，

，分别是直线和的斜率，.
【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有利用定义求曲线方程，直线与抛物线的位置关系，相切对应的条件，两直线垂直的条件，属于简单题目.

（河北省唐山市2019届高三上学期第一次摸底考试数学（文）试题）
20.斜率为的直线与抛物线交于两点，且的中点恰好在直线上.
（1）求的值；
（2）直线与圆交于两点，若，求直线的方程.
【答案】（1）1；（2）
【解析】
【分析】
（1）设直线的方程为，代入抛物线的方程，利用韦达定理得到，由的中点在上，即可求解；
（2）根据圆的弦长公式，分别求解，利用求得实数的值，进而得到答案.
【详解】（1）设直线l的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得，x2－2kx－2m＝0，
D＝4k2＋8m，
x1＋x2＝2k，x1x2＝－2m，
因为AB的中点在x＝1上，
所以x1＋x2＝2．
即2k＝2，
所以k＝1．
（2）O到直线l的距离d＝，|CD|＝2，
所以|AB|＝|x1－x2|＝·＝2·，
因为|AB|＝|CD|,
所以2·＝2，
化简得m2＋8m－20＝0，
所以m＝－10或m＝2．
由得－＜m＜2．
所以m＝2，
直线l的方程为y＝x＋2．
【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.

（河北省五个一名校联盟2019届高三下学期第一次诊断考试数学（文）试题）
20.已知动圆过定点,且在轴上截得的弦长为，设该动圆圆心的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）直线过曲线的焦点，与曲线交于、两点，且,都垂直于直线，垂足分别为，直线与轴的交点为,求证为定值.
【答案】(1) (2)见证明
【解析】
【分析】
（1）设动圆圆心坐标为C(x,y)，由题意得，能求出曲线方程；（2）设代入
【详解】（Ⅰ）设动圆圆心坐标为C(x,y)，根据题意得
，
化简得
（Ⅱ）设，,由题意知的斜率一定存在设，
则，得所以，，
，

又

=
【点睛】本题考查轨迹方程，直线与抛物线位置关系，面积公式及定值问题，是综合题，要注意转化为以FQ为底比较简便.

（湖南省长望浏宁四县2019年高三3月调研考试 数学（文科）试题）
20.已知动圆过定点，且与定直线相切．
（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
（2）过点的任一条直线与轨迹交于不同的两点，试探究在轴上是否存在定点（异于点），使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1) ，（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线的定义即可得解；
（2）假设存在点满足题设条件，由题意可得直线与的斜率互为相反数，即，设，，设,再由直线与抛物线联立，利用韦达定理代入求解即可.
【详解】（1）解法1：依题意动圆圆心到定点的距离与到定直线的距离相等，
由抛物线的定义，可得动圆圆心的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 其中．
动圆圆心的轨迹的方程为．
解法2：设动圆圆心 ，依题意：.
化简得：，即为动圆圆心的轨迹的方程
（2）解：假设存在点满足题设条件．
由可知，直线与的斜率互为相反数，
即 ①
直线的斜率必存在且不为，设,
由得．
由,得或．
设，则．
由①式得 ,
,即．
消去，得,
,
,
存在点使得．
【点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.

（河北省衡水市第十三中学2019届高三质检（四）理科数学试题）
21.已知点是圆：上的一动点，点，点在线段上，且满足.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）设曲线与轴的正半轴，轴的正半轴的交点分别为点，，斜率为的动直线交曲线于、两点，其中点在第一象限，求四边形面积的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由向量的数量积的运算，可得，化简得，利用椭圆的定义，即可求得动点的轨迹方程．
（2）设直线的方程为，联立方程组，利用根与系数的关系和弦长公式，求得
和，在利用点到直线的距离公式，求得点到直线的距离 和点到直线的距离为，得出四边形面积，即可求解．
【详解】（1）由题意， ，
∴.
∴ ，
∴点的轨迹是以点，为焦点且长轴长为6的椭圆，
即，，∴，，∴.
即点的轨迹的方程为.
（2）由（1）可得，.
设直线的方程为，由点在第一象限，得，，，
由，得，
则，， ，
点到直线的距离为，点到直线的距离为，
∴四边形面积 ，
又，∴当时，取得最大值.
即四边形面积的最大值为.
【点睛】本题主要考查椭圆的定义和标准方程的求解、及直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．