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2020届二轮复习(理)高难拉分攻坚特训(四)作业 练习
展开高难拉分攻坚特训(四)
1.设数列{an}的前n项和为Sn,an+1+an=2n+1,且Sn=1350.若a2<2,则n的最大值为( )
A.51 B.52 C.53 D.54
答案 A
解析 因为an+1+an=2n+1 ①,
所以an+2+an+1=2(n+1)+1=2n+3 ②,
②-①得an+2-an=2,且a2n-1+a2n=2(2n-1)+1=4n-1,所以数列{an}的奇数项构成以a1为首项,2为公差的等差数列,数列{an}的偶数项构成以a2为首项,2为公差的等差数列,数列{a2n-1+a2n}是以4为公差的等差数列,
所以Sn=
当n为偶数时,=1350,无解(因为50×51=2550,52×53=2756,所以接下来不会有相邻两数之积为2700).当n为奇数时,+(a1-1)=1350,a1=1351-,因为a2<2,所以3-a1<2,所以a1>1,所以1351->1,所以n(n+1)<2700,又n∈N*,51×52=2652,所以n≤51,故选A.
2.底面为正多边形,顶点在底面的射影为底面多边形中心的棱锥为正棱锥,则半径为2的球的内接正四棱锥的体积最大值为________.
答案
解析 因为正四棱锥内接于球内,且欲使正四棱锥的体积最大,则球的球心在正四棱锥的高上,如图所示,其中球的球心为E点,设BC=a,则BO=a,
在Rt△EOB中,则有EO2+OB2=EB2,故EO= ,正四棱锥的高为2+ ,正四棱锥的体积为V=×a2×,令x= ,x∈(0,2),则V(x)=×(8-2x2)×(2+x),即V(x)=×(-2x3-4x2+8x+16),对V(x)求导得,V′(x)=×(-6x2-8x+8),令V′(x)=0,即-6x2-8x+8=0,解得x=或x=-2(舍去),当x∈时,V′(x)>0,V(x)单调递增,当x∈时,V′(x)<0,V(x)单调递减,故当x=时,V(x)max=.
3.已知函数f(x)=函数y=f[f(x)+1]-m(m∈R)恰有两个零点x1和x2.
(1)求函数f(x)的值域和实数m的最小值;
(2)若x1<x2,且ax1+x2≥1恒成立,求实数a的取值范围.
解 (1)当x≤0时,f(x)=e-x+1≥2.
当x>0时,f(x)=2>0.
∴f(x)的值域为(0,+∞).
令f[f(x)+1]=m,
∵f(x)+1>1,∴f[f(x)+1]>2,∴m>2.
又f(x)的单调递减区间为(-∞,0],单调递增区间为(0,+∞).
设f(x)+1=t1,f(x)+1=t2,且t1<0,t2>1.
∴f(x)=t1-1无解.
从而f(x)=t2-1要有两个不同的根,应满足t2-1≥2,
∴t2≥3.
∴f(t2)=f[f(x)+1]≥2.即m≥2.
∴m的最小值为2.
(2)y=f[f(x)+1]-m有两个零点x1,x2且x1<x2,
设f(x)=t,t∈[2,+∞),
∴e-x1+1=t,∴x1=-ln (t-1).
2=t,∴x2=.
∴-aln (t-1)+≥1对t∈[2,+∞)恒成立,
设h(t)=-aln (t-1)+-1,
h′(t)=+=.
∵t∈[2,+∞),∴t2-t∈[2,+∞)恒成立.
∴当2a≤2,即a≤1时,h′(t)≥0,
∴h(t)在[2,+∞)上单调递增.
∴h(t)≥h(2)=-aln 1+1-1=0成立.
当a>1时,设g(t)=t2-t-2a.
由g(2)=4-2-2a=2-2a<0,t→+∞时,g(t)→+∞.
∴∃t0∈(2,+∞),使得g(t0)=0.
且当t∈(2,t0)时,g(t)<0,t∈(t0,+∞)时,g(t)>0.
∴当t∈(2,t0)时,h(t)单调递减,此时h(t)<h(2)=0不符合题意.
综上,实数a的取值范围为a≤1.
4.已知F是抛物线C:x2=2py,p>0的焦点,G,H是抛物线C上不同的两点,且|GF|+|HF|=3,线段GH的中点到x轴的距离为.点P(0,4),Q(0,8),曲线D上的点M满足·=0.
(1)求抛物线C和曲线D的方程;
(2)是否存在直线l:y=kx+m分别与抛物线C相交于点A,B(A在B的左侧)、与曲线D相交于点S,T(S在T的左侧),使得△OAT与△OBS的面积相等?若存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由.
解 (1)由抛物线定义知+=,
得p=,
故抛物线的方程为x2=y.
由·=0得点M的轨迹D是以PQ为直径的圆,
其方程为x2+(y-6)2=4.
(2)由△OAT与△OBS的面积相等得|AT|=|BS|,
则|AS|=|BT|,
设A(x1,y1),B(x2,y2),S(x3,y3),T(x4,y4),
由=(x3-x1,y3-y1),=(x2-x4,y2-y4),
且=得x3-x1=x2-x4,即x1+x2=x4+x3.
(ⅰ)当直线l的斜率为0时,l的方程为y=m,此时只需点(0,m)在圆D内即可,此时4<m<8.
(ⅱ)当直线l的斜率不为0时,
由方程组得x2-kx-m=0,
因为直线l与抛物线交于A,B两点,
所以Δ=k2+4m>0,①
且x1+x2=k.
由方程组
得(1+k2)x2+2k(m-6)x+(m-6)2-4=0,
直线l与圆D交于S,T两点,所以圆心D(0,6)到直线l的距离
d=<r=2,
即(m-6)2<4(1+k2),②
且x3+x4=-.
因为x1+x2=x4+x3,所以k=-,k≠0,
化简得k2=11-2m.
代入①②得解得-2<m<6.
又k2=11-2m>0,∴-2<m<.
综上所述,实数m的取值范围为(-2,8).