2020届二轮复习 直线与圆 课时作业（全国通用） 练习

第三十五讲直线与圆

A组

一、选择题

1．若直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆的弦长为2，则 的最小值为（  ）

A. 4    B. 6    C. 12    D. 16

【答案】B

【解析】圆心坐标为，半径为1，又直线截圆得弦长为2，所以直线过圆心，即， ，所以 ，当且仅当时取等号，因此最小值为6，故选B．

2．已知直线与圆相交于 两点，且线段是圆的所有弦中最长的一条弦，则实数(    )

A. 2    B.

C. 或2    D. 1

【答案】D

【解析】由题设可知直线经过圆心，所以，应选答案D。

3．设点是⊙上的点,若点到直线 的距离为,则这样的点共有(     )

A. 1个    B. 2个    C. 3个    D. 4个

【答案】C

【解析】⊙ 的圆心坐标为(1,1),半径为 .

圆心C(1,1)到直线 l:x+y−4=0的距离 .

如图，则满足条件的点P有三个，分别是P在A，B，D的位置上。

本题选择C选项.

4．若圆C：x2＋y2－2x＋4y－20＝0上有四个不同的点到直线l：4x＋3y＋c＝0的距离为2，则c的取值范围是(　　)

A. (－12，8)    B. (－8，12)    C. (－13，17)    D. (－17，13)

【答案】C

【解析】圆C的方程化为(x－1)2＋(y＋2)2＝25，

则圆心C为(1，－2)，半径r＝5.

据题意，圆心C到直线l的距离d＜3，即 <3，则－13＜c＜17，选C.

5．若实数， 满足，则的取值范围为（　　）

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】解答：

由题意可得, 表示右半个圆x2+y2=1上的点(x,y)与原点(0,−2)连线的斜率，

设k=，故此圆的切线方程为y=kx−2，

再根据圆心(0,0)到切线的距离等于半径,可得r==1，

平方得k2=3

求得k=±,故的取值范围是，

故选：D.

6．设是定义在上的增函数,且对于任意的都有恒成立.如果实数满足不等式,那么的取值范围是(　 )

A. (9,49)    B. (13,49)    C. (9,25)    D. (3,7)

【答案】A

【解析】由是的增函数和奇函数可得,,所以 选A.

二、填空题

7．已知圆： 和圆： ，若点（， ）在两圆的公共弦上，则的最小值为__________．

【答案】

【解析】由题意得，圆： 和圆： 两个方程相减即可得到两圆的公共弦，即，又点（， ）在两圆的公共弦上，即，则

（当且仅当即，等号成立），即的最小值为.

8．在平面直角坐标系中，圆．若圆存在以为中点的弦，且，则实数的取值范围是____．

【答案】 (或)

【解析】由于圆存在以为中点的弦，且，所以,如图，过点作圆的两条切线，切点分别为，圆上要存在满足题意的点，只需，即，连接， ，由于， ， ，解得.

三、解答题

9．已知在平面直角坐标系中，点，直线： .设圆C的半径为1，圆心在直线上．

（1）若圆心C也在直线上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；

（2）若圆C上存在点，使，求圆心C的横坐标的取值范围．

【解析】（1）由题设，圆心C是直线y＝2x－4和y＝x－1的交点，解得点C(3，2)，于是切线的斜率必存在．

设过A(0，3)的圆C的切线方程为y＝kx＋3，

由题意， ＝1，解得k＝0或－，

故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.

（2）因为圆心在直线y＝2x－4上，所以圆C的方程为

(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.

设点M(x，y)，因为MA＝2MO，

所以＝2，

化简得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，

所以点M在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|2－1|≤CD≤2＋1，

即1≤≤3.

由5a2－12a＋8≥0，得a∈R；

由5a2－12a≤0，得0≤a≤.

所以点C的横坐标a的取值范围为[0， ]．

10．已知，直线被圆所截得的弦长为，且为圆上任意一点.

（1）求的最大值与最小值；

（2）圆与坐标轴相交于三点，求以这三个点为顶点的三角形的内切圆的半径.

【解析】（1）∵直线被圆所截得的弦长为，

∴到直线的距离为，

解得或，又，∴.

∴，

∴， .

（2）由（1）知圆的方程为，

令，得或；令，得，或.

∴这三个点的坐标为， ， .

易知， 为直角三角形，且斜边，

则内切圆的半径为.

11．过直线上一动点不在轴上)作焦点为的抛物线的两条切线, 为切点,直线分别与轴交于点.

(Ⅰ)求证: ，并求的外接圆面积的最小值；

(Ⅱ)求证:直线恒过一定点。

【解析】 ( I )

 设，则直线为，与联立，得：

因为相切，所以，得： ，又，所以  即，同理： ，所以为的外接圆，又因为： ，所以的外接圆面积最小值为： .

（Ⅱ）设点，

易知：直线方程为： ，

代入点坐标得： ，同理： ，

所以直线方程为： ，又点满足：

所以直线恒过定点

12．已知动点到点和直线l： 的距离相等.

（Ⅰ）求动点的轨迹E的方程；

（Ⅱ）已知不与垂直的直线与曲线E有唯一公共点A，且与直线的交点为，以AP为直径作圆.判断点和圆的位置关系，并证明你的结论．

【解析】（Ⅰ）设动点，

由抛物线定义可知点的轨迹E是以为焦点，直线l： 为准线的抛物线，

所以轨迹E的方程为.

（Ⅱ）法1：由题意可设直线，

由可得（*），

因为直线与曲线E有唯一公共点A，

所以，即.

所以（*）可化简为，

所以，

令得，

因为，

所以

所以，

所以点在以PA为直径的圆上.

法2：依题意可设直线，

由可得（*），

因为直线与曲线E有唯一公共点A，且与直线的交点为，

所以即

所以（*）可化简为，

所以.

令得，

因为，

所以，

所以点在以PA为直径的圆上.

B组

一、选择题

1．已知,直线被圆所截得的弦长为，且为圆上任意一点，则的最大值为（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】根据弦心距、半径、半弦长的关系得： ，解得： 或 (舍去)，当时， 的最大值，故选D.

2．过直线y=2x上一点P作圆M： 的两条切线l1，l2，A，B为切点，当直线 l1，l2关于直线y=2x对称时，则∠APB等于

A. 30°    B. 45°    C. 60°    D. 90°

【答案】C

【解析】

连接PM、AM,可得当切线l1，l2关于直线l对称时，

直线l⊥PM，且射线PM恰好是∠APB的平分线，

∵圆M的方程为，

∴点M坐标为(3,2),半径r=，

点M到直线l:2x−y=0的距离为PM==，

由PA切圆M于A,得Rt△PAM中,sin∠APM==，

得∠APM=30∘，

∴∠APB=2∠APM=60∘.

故选：C.

3．已知直线分别于半径为的圆相切于点，若点在圆的内部（不包括边界），则实数的取值范围是(     )

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】因为，由切线长定理知，又

，因此，解得．

4．已知动点在直线上，动点在圆上，若，则的最大值为（   ）

A. 2    B. 4    C. 5    D. 6

【答案】C

【解析】 如图所示，设点，

 圆心到直线的距离为，则，

 因为直线与圆有交点，所以，

 所以，解得，所以的最大值为，故选C.

5．若在圆上，总存在相异两点到原点的距离等于1，则实数的取值范围是（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】圆心 与原点之间的距离为 ，当原点在圆外时，则 ；当原点在圆外时，则；当点在圆上， 显然符合，综上3种情况有，解得 或 ，选C.

6．已知圆： 和两点， ，若圆上存在点，使得，则的最小值为（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】由题意可得点P的轨迹方程是以位直径的圆，当两圆外切时有：

，

即的最小值为1.

本题选择D选项.

二、填空题

7．已知函数，其中是半径为4的圆的一条弦， 为原点， 为单位圆上的点，设函数的最小值为，当点在单位圆上运动时， 的最大值为3，则线段的长度为__________．

【答案】

【解析】设，

则函数，其中P为单位圆O上的点，

∵，

∴点A在直线MN上；

∴函数f(x)的最小值t为点P到直线MN的距离，

当tmax=3时，如图所示；

线段MN的长度为.

8．在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__________．

【答案】

【解析】 ,当 时，半径最大为 ，圆方程为 ，故答案为.

9．已知直线与圆相交于两点，点分别在圆上运动，且位于直线两侧，则四边形面积的最大值为______．

【答案】

【解析】把圆M:x2+y2−2x+2y−1=0化为标准方程：(x−1)2+(y+1)2=3,圆心(1,−1),半径 .

直线与圆相交,由点到直线的距离公式的弦心距 ，

由勾股定理的半弦长= ,所以弦长 .

又B，D两点在圆上，并且位于直线l的两侧，四边形ABCD的面积可以看成是两个三角形△ABC和△ACD的面积之和，

如图所示，

当B,D为如图所示位置,即BD为弦AC的垂直平分线时(即为直径时)，两三角形的面积之和最大，即四边形ABCD的面积最大，

最大面积为：   .

10．已知圆，设为直线上的一条线段，若对于圆上的任意一点,,则的最小值是________.

【答案】

【解析】若对于圆上的任意一点,,则圆上的任意一点都在以线段为直径的圆内，圆心 到直线的距离为 ,所以圆上的点到直线的距离的最大值为 ，所以以线段为直径的圆的半径的最小值为，则的最小值是。

三、解答题

11．如图，已知圆与轴相切于点，与轴的正半轴交于两点（点在点的左侧），且.

（Ⅰ）求圆的方程；

（Ⅱ）过点任作一条直线与圆相交于两点，连接， 求证： 为定值.

【解析】（1）因为圆与轴相切于点，可设圆心的坐标为，则圆的半径为，又，所以，解得，所以圆的方程为

（2）由（1）知，当直线AB的斜率为0时，易知即

当直线AB的斜率不为0时，设直线AB: 将代入，并整理得，设，所以则

综上可得。

12．若圆： 与圆： 相外切．

（1）求的值；

（2）若圆与轴的正半轴交于点，与轴的正半轴交于点， 为第三象限内一点且在圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值．

【解析】

（1）圆的圆心坐标，半径为，

圆的圆心坐标，半径为3，

又两圆外切得， ．

（2）点坐标为，点坐标为，

设点坐标为，

由题意得点的坐标为；点的坐标为，

四边形的面积

，

有点在圆上，有，

∴四边形的面积，

即四边形的面积为定值4．

13．已知平面直角坐标系内两个定点、,满足

的点形成的曲线记为.

(1)求曲线的方程;

(2)过点B的直线与曲线相交于C、D两点,当⊿COD的面积最大时,求直线的方程(O为坐标原点);

(3)设曲线分别交x、y轴的正半轴于M、N两点,点Q是曲线位于第三象限内一段上的任意一点,连结QN交x轴于点E、连结QM交y轴于.求证四边形MNEF的面积为定值.

【解析】

 (1)由题设知,两边平方化简得

∴点的轨迹的方程为

(2)由题意知的斜率一定存在, 设即,

∵原点到直线的距离,

∴,

当且仅当时,取得“=”

∴当时,此时,

∴直线的方程为

(3)设

设 (其中)

则,令得

∴

,令得

∴

(定值)

14．已知动圆与圆外切，与圆内切．

（1）试求动圆圆心的轨迹方程；

（2）过定点且斜率为的直线与（1）中轨迹交于不同的两点，试判断在轴上是否存在点，使得以为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数的范围；若不存在，请说明理由．

【解析】

（1）由得，由得，设动圆的半径为，两圆的圆心分别为，则，∴，根据椭圆的定义可知，点的轨迹为以为焦点的椭圆，∴，

∴， ∴动圆圆的轨迹方程为．

（2）存在，直线的方程为，设， 的中点为．假设存在点，使得以为邻边的平行四边形为菱形，则，

由，得，

，∴， ，

∵，∴，即，

∴，

当时， ，∴；

当时， ，∴．

因此，存在点，使得以为邻边的平行四边形为菱形，且实数的取值范围为．

C组

一、选择题

1．已知，点是直线与圆的公共点，则的最大值为（    ）

A. 15    B. 9    C. 1    D.

【答案】B

【解析】由于直线和圆有公共点，所以圆心到直线的距离不大于半径，即，解得，将点坐标代入直线和圆的方程，有，第一个式子两边平方后，代入第二个式子，化简得，二次函数对称轴为，且开口向上，根据可知当时， 有最大值为,

2．已知点， ， 在圆上运动，且.若点的坐标为，则的取值范围为（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】由题意知AC是圆的直径，所以O是AC中点，故，PO的长为5，所以,显然当B在PO上时， 有最小值，当B在PO的延长线上时， 有最大值，故选C．

3．已知圆的半径为1， 为该圆上四个点，且，则的面积最大值为（   ）

A. 2    B. 1    C.     D.

【答案】B

【解析】因为 ,所以四边形为平行四边形,又因为 都在圆上,所以, 必为圆的直径, 四边形为矩形,

当且仅当时取等号,选B.

4．若曲线与曲线有三个不同的公共点，则实数的取值范围是（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】D

【解析】曲线可化为，表示直线和直线，直线与曲线，有一个交点，即原点.则需直线和有两个交点，即圆心到直线的距离小于半径，也即，解得.（当时，两直线有相同的公共点为原点，故舍去）

5．在区间中随机取一个实数，则事件“直线与圆相交”发生的概率为（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】A

【解析】圆 的圆心为 ，半径为1．圆心到直线的距离为，要使直线与圆相交，则，解得 ．∴在区间上随机取一个数，使直线与圆相交的概率为．故选A

6．已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过定点.（   ）

A.     B.     C.     D.

【答案】B

【解析】设是圆的切线， 是圆与以为直径的两圆的公共弦，可得以为直径的圆的方程为，  ①

 又 ， ②     ①-②得，可得满足上式，即过定点，故选B.

二、填空题

7．在平面直角坐标系中，点是直线上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别是，则的取值范围为__．

【答案】

【解析】圆心（1,1）半径为1，要使AB的长度最小，则最小，即最小，即PC最小，由点到直线的距离公式可得： ，则=60°，=120°，即AB=，当P在无限远取值时， 趋近180°，此时AB趋近直径2，故的取值范围为

8．直线与圆相交于两点、.若，则（为坐标原点）等于是__________．

【答案】

【解析】解：取MN的中点A，连接OA，则OA⊥MN，∵c2=a2+b2，

∴O点到直线MN的距离 ，x2+y2=16的半径r=4，

∴Rt△AON中,设∠AON=θ,得，

cos∠MON=cos2θ=2cos2θ−1= ，

由此可得： .

9．已知直线与⊙O： 交于P、Q两点，若满足，则______________；

【答案】-1

【解析】设P（x1，y1），Q（x2，y2），则由方程组，

直线Ax+By+C=0与圆x2+y2=2联立消去y，得（A2+B2）x2+2ACx+（C2﹣2B2）=0，∴x1x2=；

消去x，得（A2+B2）y2+2BCy+（C2﹣2B2）=0，∴y1y2=；

∴═x1x2+y1y2=+=，

∵A2，C2，B2成等差数列，

∴2C2=A2+B2，

∴=﹣1．

故答案为：﹣1．

三、解答题

10．已知圆与直线相切，点为圆上一动点， 轴于点，且动点满足，设动点的轨迹为曲线.

（1）求动点的轨迹曲线的方程；

（2）若直线与曲线相交于不同的两点、且满足以为直径的圆过坐标原点，求线段长度的取值范围.

【解析】（I）设动点，由于轴于点

又圆与直线即相切， ∴圆

由题意， ，得

即

将代入，得曲线的方程为

（II）（1）假设直线的斜率存在，设其方程为，设

联立，可得

由求根公式得（*）

∵以为直径的圆过坐标原点， 即

即

化简可得，

将（*）代入可得，即

即，又

将代入，可得

∴当且仅当，即时等号成立．又由， ， ．

（2）若直线的斜率不存在，因以为直径的圆过坐标原点，故可设所在直线方程为，联立解得 同理求得

故．综上，得．