2020届二轮复习（理）中难提分突破特训(一)作业 练习
展开中难提分突破特训(一)
1．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足＝.
(1)求角A的大小；
(2)若D为BC边上一点，且CD＝2DB，b＝3，AD＝，求a.
解 (1)由已知，得(2c－b)cosA＝acosB，
由正弦定理，得(2sinC－sinB)cosA＝sinAcosB，
整理，得2sinCcosA－sinBcosA＝sinAcosB，
即2sinCcosA＝sin(A＋B)＝sinC.
又sinC≠0，所以cosA＝，
因为A∈(0，π)，所以A＝.
(2)如图，过点D作DE∥AC交AB于点E，
又CD＝2DB，∠BAC＝，
所以ED＝AC＝1，∠DEA＝.
由余弦定理可知，
AD2＝AE2＋ED2－2AE·EDcos，
解得AE＝4，则AB＝6.
又AC＝3，∠BAC＝，
所以在△ABC中，由余弦定理，得a＝BC＝3.
2．已知长方形ABCD中，AB＝1，AD＝.现将长方形沿对角线BD折起，使AC＝a，得到一个四面体A－BCD，如图所示．
(1)试问：在折叠的过程中，异面直线AB与CD，AD与BC能否垂直？若能垂直，求出相应的a值；若不垂直，请说明理由；
(2)当四面体A－BCD的体积最大时，求二面角A－CD－B的余弦值．
解 (1)若AB⊥CD，由AB⊥AD，AD∩CD＝D，得
AB⊥平面ACD，所以AB⊥AC.
所以AB2＋a2＝BC2，即12＋a2＝()2，所以a＝1.
若AD⊥BC，由AD⊥AB，AB∩BC＝B，得
AD⊥平面ABC，所以AD⊥AC，
所以AD2＋a2＝CD2，即()2＋a2＝12，
所以a2＝－1，无解，故AD⊥BC不成立．
(2)要使四面体A－BCD的体积最大，
因为△BCD的面积为定值，
所以只需三棱锥A－BCD的高最大即可，
此时平面ABD⊥平面BCD，
过点A作AO⊥BD于点O，则AO⊥平面BCD，
以O为坐标原点建立空间直角坐标系Oxyz(如图)，则易知A，C，D，
显然，平面BCD的一个法向量为＝.
设平面ACD的法向量为n＝(x，y，z)．
因为＝，＝，
所以令y＝，得n＝(1，，2)．
观察可知二面角A－CD－B为锐二面角，
故二面角A－CD－B的余弦值为
|cos〈，n〉|＝＝.
3．已知动点P与两个定点O(0,0)，A(3,0)的距离的比为.
(1)求动点P的轨迹C的方程；
(2)过点B(－2,1)的直线l与曲线C交于M，N两点，求线段MN长度的最小值；
(3)已知圆Q的圆心为Q(t，t)(t>0)，且圆Q与x轴相切，若圆Q与曲线C有公共点，求实数t的取值范围．
解 (1)由题意，设P(x，y)，
则|AP|＝2|OP|，即|AP|2＝4|OP|2，
所以(x－3)2＋y2＝4(x2＋y2)，
整理得(x＋1)2＋y2＝4.
所以动点P的轨迹C的方程为(x＋1)2＋y2＝4.
(2)由(1)知轨迹C是以C(－1,0)为圆心，以2为半径的圆．
又因为(－2＋1)2＋12<4，所以点B在圆内，
所以当线段MN的长度最小时，BC⊥MN，
所以圆心C到直线MN的距离为
|BC|＝＝，
此时，线段MN的长为
|MN|＝2＝2×＝2，
所以，线段MN长度的最小值为2.
(3)因为点Q的坐标为(t，t)(t>0)，且圆Q与x轴相切，所以圆Q的半径为t，
所以圆Q的方程为(x－t)2＋(y－t)2＝t2.
因为圆Q与圆C有公共点，
又圆Q与圆C的两圆心距离为
|CQ|＝＝，
所以|2－t|≤|CQ|≤2＋t，
即(2－t)2≤2t2＋2t＋1≤(2＋t)2，解得－3＋2≤t≤3.
所以实数t的取值范围是[－3＋2，3]．
4.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，直线C2的普通方程为y＝x.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程；
(2)若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求＋.
解 (1)由曲线C1的参数方程为(α为参数)，
得曲线C1的普通方程为(x－3)2＋(y－3)2＝4，
所以曲线C1的极坐标方程为(ρcosθ－3)2＋(ρsinθ－3)2＝4，
即ρ2－6ρcosθ－6ρsinθ＋14＝0.
因为直线C2过原点，且倾斜角为，
所以直线C2的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．
(2)设点A，B对应的极径分别为ρ1，ρ2，
由
得ρ2－(3＋3)ρ＋14＝0，
所以ρ1＋ρ2＝3＋3，ρ1ρ2＝14，
又ρ1>0，ρ2>0，
所以＋＝＝＝.
5．设f(x)＝|x|＋2|x－a|(a>0)．
(1)当a＝1时，解不等式f(x)≤4；
(2)若f(x)≥4，求实数a的取值范围．
解 (1)当a＝1时，f(x)＝|x|＋2|x－1|，
当x<0时，由2－3x≤4，得－≤x<0；
当0≤x≤1时，由2－x≤4，得0≤x≤1；
当x>1时，由3x－2≤4，得1<x≤2.
综上，不等式f(x)≤4的解集为.
(2)f(x)＝|x|＋2|x－a|＝
可见，f(x)在(－∞，a]上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增．
当x＝a时，f(x)取得最小值a.
所以，a的取值范围为[4，＋∞)．
