2020届二轮复习（理）中难提分突破特训(五)作业 练习

中难提分突破特训(五)

1．已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝an＋，bn＝.

(1)求数列{bn}的通项公式；

(2)求数列{an}的前n项和Sn.

解　(1)由an＋1＝an＋，得＝＋，

又bn＝，∴bn＋1－bn＝，

由a1＝1，得b1＝1，

累加可得(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)＝＋＋…＋，即bn－b1＝＝1－，

∴bn＝2－.

(2)由(1)可知an＝2n－，设数列的前n项和为Tn，则

Tn＝＋＋＋…＋，　　　①

Tn＝＋＋＋…＋，  ②

①－②，得Tn＝＋＋＋…＋－

＝－＝2－，

∴Tn＝4－.

易知数列{2n}的前n项和为n(n＋1)，

∴Sn＝n(n＋1)－4＋.

2．如图，在直角梯形ABED中，AB∥DE，AB⊥BE，且AB＝2DE＝2BE，点C是AB的中点，现将△ACD沿CD折起，使点A到达点P的位置．

(1)求证：平面PBC⊥平面PEB；

(2)若PE与平面PBC所成的角为45°，求平面PDE与平面PBC所成锐二面角的余弦值．

解　(1)证明：∵AB∥DE，AB＝2DE，点C是AB的中点，

∴CB∥ED，CB＝ED，

∴四边形BCDE为平行四边形，∴CD∥EB，

又EB⊥AB，∴CD⊥AB，

∴CD⊥PC，CD⊥BC，∴CD⊥平面PBC，

∴EB⊥平面PBC，

又EB⊂平面PEB，∴平面PBC⊥平面PEB.

(2)由(1)知EB⊥平面PBC，

∴∠EPB即为PE与平面PBC所成的角，

∴∠EPB＝45°，

∵EB⊥平面PBC，∴EB⊥PB，

∴△PBE为等腰直角三角形，

∴EB＝PB＝BC＝PC，

故△PBC为等边三角形，

取BC的中点O，连接PO，则PO⊥BC，

∵EB⊥平面PBC，又EB⊂平面EBCD，

∴平面EBCD⊥平面PBC，又PO⊂平面PBC，

∴PO⊥平面EBCD，

以O为坐标原点，过点O与BE平行的直线为x轴，CB所在的直线为y轴，OP所在的直线为z轴建立空间直角坐标系如图，

设BC＝2，则B(0,1,0)，E(2,1,0)，D(2，－1,0)，P(0,0，)，

从而＝(0,2,0)，＝(2,1，－)，

设平面PDE的一个法向量为m＝(x，y，z)，

则由得

令z＝2得m＝(，0,2)，

又平面PBC的一个法向量n＝(1,0,0)，

则cos〈m，n〉＝＝＝，

所以，平面PDE与平面PBC所成锐二面角的余弦值为.

3．有一片产量很大的水果种植园，在临近成熟时随机摘下某品种水果100个，其质量(均在1至11 kg)频数分布表如下(单位：kg)：

以各组数据的中间值代表这组数据的平均值，将频率视为概率．

(1)由种植经验认为，种植园内的水果质量X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，σ2≈4.请估计该种植园内水果质量在(5.5,9.5)内的百分比；

(2)现在从质量为[1,3)，[3,5)，[5,7)的三组水果中，用分层抽样方法抽取8个水果，再从这8个水果中随机抽取2个．若水果质量在[1,3)，[3,5)，[5,7)的水果每销售一个所获得的利润分别为2元、4元、6元，记随机抽取的2个水果总利润为Y元，求Y的分布列和数学期望．

附：若ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.9544.

解　(1)＝×(2×10＋4×30＋6×40＋8×15＋10×5)＝5.5，

由正态分布知，

P(5.5<X<9.5)＝P(μ<ξ<μ＋2σ)＝P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝×0.9544＝0.4772.

该种植园内水果质量在(5.5,9.5)内的百分比为47.72%.

(2)由题意知，从质量在[1,3)，[3,5)，[5,7)的三组水果中抽取的个数分别为1,3,4，

Y的取值为6,8,10,12.

则P(Y＝6)＝＝；

P(Y＝8)＝＝＝；

P(Y＝10)＝＝＝；P(Y＝12)＝＝＝.

所以Y的分布列为

E(Y)＝6×＋8×＋10×＋12×＝＝9.5.

4．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＝sinθ(ρ≥0,0≤θ<π)．

(1)写出曲线C1的极坐标方程，并求C1与C2交点的极坐标；

(2)射线θ＝β与曲线C1，C2分别交于点A，B(A，B异于原点)，求的取值范围．

解　(1)由题意可得曲线C1的普通方程为x2＋(y－2)2＝4，把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入，

得曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，

联立C1，C2的极坐标方程，得

得4sinθcos2θ＝sinθ，此时0≤θ<π，

①当sinθ＝0时，θ＝0，ρ＝0，得交点的极坐标为(0,0)；

②当sinθ≠0时，cos2θ＝，当cosθ＝时，θ＝，ρ＝2，得交点的极坐标为，

当cosθ＝－时，θ＝，ρ＝2，得交点的极坐标为，所以C1与C2交点的极坐标为(0,0)，，.

(2)将θ＝β代入C1的极坐标方程，得ρ1＝4sinβ，

代入C2的极坐标方程，得ρ2＝，

∴＝＝4cos2β，

∵≤β≤，∴1≤4cos2β≤3，

∴的取值范围为[1,3]．

5．已知函数f(x)＝|2x＋1|－|2x－3|，g(x)＝|x＋1|＋|x－a|.

(1)求f(x)≥1的解集；

(2)若对任意的t∈R，s∈R，都有g(s)≥f(t)．求a的取值范围．

解　(1)∵函数f(x)＝|2x＋1|－|2x－3|，

∴f(x)≥1，等价于|2x＋1|－|2x－3|≥1，

等价于　①

或  ②

或  ③

①无解，解②得≤x≤，解③得x>，

综上可得，不等式的解集为.

(2)若对任意的t∈R，s∈R，都有g(s)≥f(t)，可得g(x)min≥f(x)max.

∵函数f(x)＝|2x＋1|－|2x－3|≤|2x＋1－(2x－3)|＝4，

∴f(x)max＝4.

∵g(x)＝|x＋1|＋|x－a|≥|x＋1－(x－a)|＝|a＋1|，

故g(x)min＝|a＋1|，∴|a＋1|≥4，

∴a＋1≥4或a＋1≤－4，解得a≥3或a≤－5，

故a的取值范围为{a|a≥3或a≤－5}．