2020届二轮复习（理）中难提分突破特训(三)作业(1) 练习

中难提分突破特训(三)

1．如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，BC＝BB1，∠B1BC＝60°，B1C1⊥AB1.

(1)证明：AB＝AC；

(2)若AB⊥AC，且AB1＝BB1，求二面角A1－CB1－C1的余弦值．

解　(1)证明：如图，取BC的中点O，连接AO，OB1.

因为BC＝BB1，∠B1BC＝60°，

所以△BCB1是等边三角形，

所以B1O⊥BC，

又BC∥B1C1，B1C1⊥AB1，

所以BC⊥AB1，

所以BC⊥平面AOB1，

所以BC⊥AO，由三线合一可知△ABC为等腰三角形，

所以AB＝AC.

(2)设AB1＝BB1＝2，则BC＝BB1＝2.

因为AB⊥AC，所以AO＝1.

又因为OB1＝，

所以OB＋AO2＝AB，所以AO⊥OB1.

以O为坐标原点，向量的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则O(0,0,0)，C(－1,0,0)，A1(－1，，1)，B1(0，，0)，＝(0，，1)，＝(1，，0)，

设平面A1B1C的一个法向量为n＝(x，y，z)，

则即可取n＝(，－1，)，

由(1)可知，平面CB1C1的法向量可取＝(0,0,1)，

所以cos〈，n〉＝＝，

由图示可知，二面角A1－CB1－C1为锐二面角，

所以二面角A1－CB1－C1的余弦值为.

2．已知函数f(x)＝2sinxsin.

(1)求函数f(x)的单调递增区间；

(2)锐角△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，角A的平分线交BC于D，直线x＝A是函数f(x)图象的一条对称轴，AD＝BD＝2，求边a.

解　(1)∵f(x)＝2sinxsin，

∴f(x)＝2sinxsinx·＋2sinxcosx·

＝＋sin2x＝sin2x－cos2x＋

＝sin＋.

令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得

－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.

即函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.

(2)∵x＝A是函数f(x)图象的一条对称轴，

∴2A－＝＋kπ，k∈Z.∴A＝＋，k∈Z.

又△ABC是锐角三角形，∴A＝.

在△ABD中，∠BAD＝，BD＝，AD＝2，

由正弦定理，得＝，

∴sinB＝.∴B＝.

∴C＝π－－＝.∠CDA＝＋＝.

∴AC＝AD＝2.

在△ABC中，由正弦定理，得＝，

∴BC＝a＝.

3．绿水青山就是金山银山．某山村为做好水土保持，退耕还林，在本村的山坡上种植水果，并推出山村游等旅游项目．为预估今年7月份游客购买水果的情况，随机抽样统计了去年7月份100名游客的购买金额．分组如下：[0,20)，[20,40)，…，[100,120]，得到如图所示的频率分布直方图：

(1)请用抽样的数据估计今年7月份游客人均购买水果的金额(同一组中的数据用该组区间中点值作代表)；

(2)若把去年7月份购买水果不低于80元的游客，称为“水果达人”．填写下面列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为“水果达人”与性别有关系？

(3)为吸引顾客，商家特推出两种促销方案．方案一：每满80元可立减10元；方案二：金额超过80元可抽奖三次，每次中奖的概率为，且每次抽奖互不影响，中奖1次打9折，中奖2次打8折，中奖3次打7折．若每斤水果10元，你打算购买12斤水果，请从实际付款金额的数学期望的角度分析应该选择哪种优惠方案．

参考公式和数据：K2＝，n＝a＋b＋c＋d.

临界值表：

解　(1)＝(10×0.005＋30×0.0075＋50×0.010＋70×0.0125＋90×0.010＋110×0.005)×20＝62.

估计今年7月份游客人均购买水果的金额为62元．

(2)列联表如下：

K2＝≈4.762>3.841，

因此有95%的把握认为“水果达人”与性别有关系．

(3)若选方案一：则需付款10×12－10＝110元；

若选方案二：设付款X元，则X的可能取值为84,96,108,120.

P(X＝84)＝C3＝，

P(X＝96)＝C2×＝，

P(X＝108)＝C××2＝，

P(X＝120)＝C3＝，

所以E(X)＝84×＋96×＋108×＋120×＝102.

因为102<110，所以选择方案二更划算．

4．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求C的极坐标方程；

(2)若直线l1，l2的极坐标方程分别为θ＝(ρ∈R)，θ＝(ρ∈R)，设直线l1，l2与曲线C的交点为O，M，N，求△OMN的面积．

解　(1)由参数方程(θ为参数)，

得普通方程为x2＋(y－2)2＝4，

所以C的极坐标方程为ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ－4ρsinθ＝0，即ρ＝4sinθ.

(2)不妨设直线l1：θ＝(ρ∈R)与曲线C的交点为O，M，则ρM＝|OM|＝4sin＝2，

又直线l2：θ＝(ρ∈R)与曲线C的交点为O，N，

则ρN＝|ON|＝4sin＝2.

又∠MON＝，

所以S△OMN＝|OM|·|ON|＝×2×2＝2.

5．已知函数f(x)＝|3x＋2|.

(1)解不等式：f(x)<4－|x－1|；

(2)已知m>0，n>0，m＋n＝1，若对任意的x∈R，m>0，n>0，不等式|x－a|－f(x)≤＋(a>0)恒成立，求正数a的取值范围．

解　(1)由题意得不等式为|3x＋2|＋|x－1|<4.

①当x≥1时，原不等式化为4x＋1<4，解得x<，不符合题意；

②当－<x<1时，原不等式化为2x＋3<4，解得x<，∴－<x<；

③当x≤－时，原不等式化为－4x－1<4，解得x>－，∴－<x≤－.

综上可得－<x<，

∴原不等式的解集为.

(2)∵m>0，n>0，m＋n＝1，

∴＋＝(m＋n)

＝2＋＋≥2＋2＝4.

当且仅当＝且m＋n＝1，m>0，n>0，

即m＝n＝时等号成立，∴min＝4.

由题意得|x－a|－|3x＋2|≤4(a>0)恒成立，

①当x≥a时，可得x－a－3x－2≤4恒成立，即－a≤2x＋6恒成立，∴－a≤(2x＋6)min＝2a＋6，

由a>0，可得上式显然成立；

②当－<x<a时，可得a－x－3x－2≤4恒成立，即a≤4x＋6恒成立，∵4x＋6>，∴a≤；

③当x≤－时，可得a－x＋3x＋2≤4恒成立，即a≤2－2x恒成立，∴a≤(2－2x)min＝.

综上可得0<a≤，

∴正数a的取值范围是.