2020届二轮复习（理）中难提分突破特训(四)作业 练习

中难提分突破特训(四)

1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其面积S＝b2sinA.

(1)求的值；

(2)设内角A的平分线AD交BC于D，AD＝，a＝，求b.

解　(1)由S＝bcsinA＝b2sinA，可知c＝2b，即＝2.

(2)由角平分线定理可知，BD＝，CD＝，

在△ABC中，cosB＝，

在△ABD中，cosB＝，

即＝，解得b＝1.

2．现代社会，“鼠标手”已成为常见病，一次实验中，10名实验对象进行160分钟的连续鼠标点击游戏，每位实验对象完成的游戏关卡一样，鼠标点击频率平均为180次/分钟，实验研究人员测试了实验对象使用鼠标前后的握力变化，前臂表面肌电频率(sEMG)等指标．

(1)10名实验对象实验前、后握力(单位：N)测试结果如下：

实验前：346,357,358,360,362,362,364,372,373,376

实验后：313,321,322,324,330,332,334,343,350,361

完成下列茎叶图，并计算实验后握力平均值比实验前握力的平均值下降了多少N?

(2)实验过程中测得时间t(分)与10名实验对象前臂表面肌电频率(sEMG)的中位数y(Hz)的9组对应数据(t，y)为(0,87)，(20,84)，(40,86)，(60,79)，(80,78)，(100,78)，(120,76)，(140,77)，(160,75)．建立y关于时间t的线性回归方程；

(3)若肌肉肌电水平显著下降，提示肌肉明显进入疲劳状态，根据(2)中9组数据分析，使用鼠标多少分钟就该进行休息了？

参考数据： (ti－)(yi－)＝－1800；

参考公式：回归方程＝x＋中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

＝，＝－.

解　(1)根据题意得到茎叶图如下图所示，

由图中数据可得1＝×(346＋357＋358＋360＋362＋362＋364＋372＋373＋376)＝363，

2＝×(313＋321＋322＋324＋330＋332＋334＋343＋350＋361)＝333，

∴1－2＝363－333＝30(N)，

∴故实验前后握力的平均值下降了30 N.

(2)由题意得＝×(0＋20＋40＋60＋80＋100＋120＋140＋160)＝80，

＝×(87＋84＋86＋79＋78＋78＋76＋77＋75)＝80，

 (ti－)2＝(0－80)2＋(20－80)2＋(40－80)2＋(60－80)2＋(80－80)2＋(100－80)2＋(120－80)2＋(140－80)2＋(160－80)2＝24000，

又 (ti－)(yi－)＝－1800，

∴＝＝＝－0.075，

∴＝－＝80－(－0.075)×80＝86，

∴y关于时间t的线性回归方程为＝－0.075t＋86.

(3)9组数据中40分钟到60分钟y的下降幅度最大，提示60分钟时肌肉已经进入疲劳状态，故使用鼠标60分钟就该休息了．

3．如图，四棱锥P－ABCD中，AB∥DC，∠ADC＝，AB＝AD＝CD＝2，PD＝PB＝，PD⊥BC.

(1)求证：平面PBD⊥平面PBC；

(2)在线段PC上是否存在点M，使得平面ABM与平面PBD所成锐二面角为？若存在，求的值；若不存在，说明理由．

解　(1)证明：因为四边形ABCD为直角梯形，

且AB∥DC，AB＝AD＝2，∠ADC＝，

所以BD＝2，

又因为CD＝4，∠BDC＝.

根据余弦定理得BC＝2，

所以CD2＝BD2＋BC2，故BC⊥BD.

又因为BC⊥PD，PD∩BD＝D，且BD，PD⊂平面PBD，所以BC⊥平面PBD，

又因为BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PBD.

(2)由(1)得平面ABCD⊥平面PBD，

设E为BD的中点，连接PE，

因为PB＝PD＝，所以PE⊥BD，PE＝2，

又因为平面ABCD⊥平面PBD，平面ABCD∩平面PBD＝BD，

所以PE⊥平面ABCD.

如图，以A为坐标原点，分别以，，E的方向为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系Axyz，

则A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(2,4,0)，D(2，0,0)，P(1,1,2)，

假设存在M(a，b，c)满足要求，

设＝λ(0≤λ≤1)，即＝λ，

(a－2，b－4，c)＝λ(－1，－3,2)，得a＝2－λ，b＝4－3λ，c＝2λ，

则M(2－λ，4－3λ，2λ)，

易得平面PBD的一个法向量为＝(2,2,0)．

设n＝(x，y，z)为平面ABM的一个法向量，

＝(0,2,0)，＝(2－λ，4－3λ，2λ)，

由得

不妨取n＝(2λ，0，λ－2)．

因为平面PBD与平面ABM所成的锐二面角为，所以

|cos〈B，n〉|＝＝，

解得λ＝，λ＝－2(不符合题意，舍去)．

故存在点M满足条件，且＝.

4．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝.

(1)求曲线C2的直角坐标方程；

(2)设M1是曲线C1上的点，M2是曲线C2上的点，求|M1M2|的最小值．

解　(1)∵ρ＝，

∴ρ－ρcosθ＝2，即ρ＝ρcosθ＋2.

∵x＝ρcosθ，ρ2＝x2＋y2，

∴x2＋y2＝(x＋2)2，

化简得y2－4x－4＝0.

∴曲线C2的直角坐标方程为y2－4x－4＝0.

(2)∵∴2x＋y＋4＝0.

∴曲线C1的普通方程为2x＋y＋4＝0，表示直线2x＋y＋4＝0.

∵M1是曲线C1上的点，M2是曲线C2上的点，

∴|M1M2|的最小值等于点M2到直线2x＋y＋4＝0的距离的最小值．

不妨设M2(r2－1,2r)，点M2到直线2x＋y＋4＝0的距离为d，

则d＝＝≥＝，

当且仅当r＝－时取等号．

∴|M1M2|的最小值为.

5．已知函数f(x)＝|x－1|.

(1)求不等式f(2x)－f(x＋1)≥2的解集；

(2)若a>0，b>0且a＋b＝f(3)，求证：＋≤2.

解　(1)因为f(x)＝|x－1|，

所以f(2x)－f(x＋1)＝|2x－1|－|x|

＝

由f(2x)－f(x＋1)≥2得

或或

解得x≤－1或x∈∅或x≥3，

所以不等式的解集为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．

(2)证明：a＋b＝f(3)＝2，又a>0，b>0，

所以要证＋≤2成立，

只需证(＋)2≤(2)2成立，

即证a＋b＋2＋2≤8，

只需证≤2成立，

因为a>0，b>0，所以根据基本不等式

≤＝2成立，

故命题得证．