2020届二轮复习(文)圆锥曲线的定义、方程及性质作业 练习

专题限时集训(十)　圆锥曲线的定义、方程及性质

[专题通关练]

(建议用时：30分钟)

1．(2019·合肥模拟)设双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为4，一条渐近线的方程为y＝x，则双曲线C的方程为(　　)

A.－＝1　 B.－＝1

C.－＝1   D．x2－＝1

A　[由题意知，双曲线的虚轴长为4，得2b＝4，即b＝2，又双曲线的焦点在x轴上，则其一条渐近线的方程为y＝x＝x，可得a＝4，所以双曲线C的方程为－＝1，故选A.]

2．(2019·全国卷Ⅰ)双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为(　　)

A．2sin 40°   B．2cos 40°

C.   D.

D　[由题意可得－＝tan 130°，

所以e＝＝＝

＝＝.

故选D.]

3．[一题多解](2019·长沙模拟)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，点A(1，a)(a＞0)在C上，|AF|＝3.若直线AF与C交于另一点B，则|AB|的值是(　　)

A．12   B．10

C．9   D．4.5

C　[法一：因为A(1，a)(a＞0)在抛物线C上，所以a2＝8，解得a＝2或a＝－2(舍去)，故直线AF的方程为y＝－2(x－2)，与抛物线的方程联立，消去y，可得x2－5x＋4＝0，解得x1＝1，x2＝4，由抛物线的定义，得|BF|＝4＋2＝6，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝9，故选C.

法二：因为直线AB过焦点F，所以xAxB＝p2＝4，又xA＝1，所以xB＝4，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋4＝9，故选C.]

4．(2019·青岛模拟)已知抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点F是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点，且该抛物线的准线与椭圆相交于A，B两点，若△FAB是正三角形，则椭圆的离心率为(　　)

A.   B.

C.   D.

C　[如图，由|AB|＝，△FAB是正三角形，得×＝2c，化简可得(2a2－3b2)(2a2＋b2)＝0，所以2a2－3b2＝0，所以＝，所以椭圆的离心率e＝＝＝，故选C.]

5．(2019·全国卷Ⅲ)已知F是双曲线C：－＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点．若|OP|＝|OF|，则△OPF的面积为(　　)

A.   B.

C.   D.

B　[由F是双曲线－＝1的一个焦点，知|OF|＝3，所以|OP|＝|OF|＝3.

不妨设点P在第一象限，P(x0，y0)，x0＞0，y0＞0，

则解得所以P，

所以S△OPF＝|OF|·y0＝×3×＝.

故选B.]

6．(2019·延安一模)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过F作直线l交抛物线C于A，B两点，若|AF|＝，|BF|＝2，则p＝________.

1　[如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

∵|AF|＝，|BF|＝2，

∴根据抛物线的定义可得x1＝－，x2＝2－，

∴＝＝＝，∴9＝2－，

∴p＝1.]

7．(2019·长春模拟)如图所示，A，B是椭圆的两个顶点，C是AB的中点，F为椭圆的右焦点，OC的延长线交椭圆于点M，且|OF|＝，若MF⊥OA，则椭圆的方程为________．

＋＝1　[∵F为椭圆的右焦点，|OF|＝，∴c＝.

设椭圆方程为＋＝1(b＞0)，

∵A，B为椭圆的两个顶点，C是AB的中点，OC交椭圆于点M，MF⊥OA，

∴A是长轴右端点，＋＝1，∴yM＝，

∴M.

∵A(，0)，B(0，b)，∴C.

∵kOM＝kOC，∴＝，

∴b＝.

∴所求椭圆方程是＋＝1.]

8．(2019·全国卷Ⅲ)设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为____________．

(3，)　[设F1为椭圆的左焦点，分析可知M在以F1为圆心、焦距为半径长的圆上，即在圆(x＋4)2＋y2＝64上．

因为点M在椭圆＋＝1上，

所以联立方程可得解得

又因为点M在第一象限，所以点M的坐标为(3，)．]

[能力提升练]

(建议用时：15分钟)

9．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，抛物线C上存在一点E(2，t)到焦点F的距离等于3.

(1)求抛物线C的方程；

(2)已知点P在抛物线C上且异于原点，点Q为直线x＝－1上的点，且FP⊥FQ，求直线PQ与抛物线C的交点个数，并说明理由．

[解]　(1)抛物线C的准线方程为x＝－，

所以点E(2，t)到焦点F的距离为2＋＝3，

解得p＝2.

所以抛物线C的方程为y2＝4x.

(2)直线PQ与抛物线C只有一个交点．

理由如下：

设点P，点Q(－1，m)．

由(1)得焦点F(1,0)，

则＝，＝(－2，m)，

由题意可得·＝0，

故－2＋my0＝0，从而m＝.

故直线PQ的斜率kPQ＝＝.

故直线PQ的方程为y－y0＝，

得x＝－.①

又抛物线C的方程为y2＝4x，②

所以由①②得(y－y0)2＝0，故y＝y0，x＝.

故直线PQ与抛物线C只有一个交点．

10．(2019·永州三模)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆过点(0,2)，点Q为椭圆上一动点(异于左、右顶点)，且△QF1F2的周长为4＋4.

(1)求椭圆E的方程；

(2)过点F1，F2分别作斜率为k1，k2的直线l1，l2，分别交椭圆E于A，B和C，D四点，且|AB|＋|CD|＝6，求k1k2的值．

[解]　(1)由题意可知，

解之得a＝2，b＝2，

所以椭圆E的方程为＋＝1.

(2)由题意可知，F1(－2,0)，F2(2,0)，

设直线AB的方程为y＝k1(x＋2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

联立得(1＋2k)x2＋8kx＋8k－8＝0，

∴Δ＝(8k)2－4(1＋2k)(8k－8)＝32(k＋1)＞0，

则x1＋x2＝－，x1x2＝，

|AB|＝|x1－x2|＝＝4，

同理联立方程，由弦长公式可知，|CD|＝4，

∵|AB|＋|CD|＝6，

∴4＋4＝6，

化简得kk＝，则k1k2＝±.

【押题1】　[一题多解]双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与抛物线y＝x2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为(　　)

A.　　　　B．5　　　　C.　　　　D.

D　[由于双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与抛物线y＝x2＋1只有一个公共点，所以直线y＝x与抛物线y＝x2＋1相切．

法一：由得ax2－bx＋a＝0，则该方程有两个相等的实数解，即Δ＝b2－4a2＝0，解得＝4，所以离心率e＝＝＝.故选D.

法二：设切点为(x0，x＋1)，对y＝x2＋1求导，得y′＝2x，则x＋1＝x0,2x0＝，所以＝2，所以离心率e＝＝＝.故选D.]

【押题2】　已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的顶点到直线l：y＝x的距离分别为，.

(1)求椭圆C的离心率；

(2)过圆O：x2＋y2＝4上任意一点P作椭圆的两条切线PM和PN分别与圆O交于点M，N，求△PMN面积的最大值．

[解]　(1)由直线l的方程知，直线l与两坐标轴的夹角均为45°，

则可得长轴端点到直线l的距离为a，短轴端点到直线l的距离为b，

所以解得所以c＝.

于是椭圆C的离心率e＝＝＝.

(2)设P(xP，yP)，则x＋y＝4.

①若两条切线中有一条切线的斜率不存在，则xP＝±，yP＝±1，

另一条切线的斜率为0，从而PM⊥PN.

此时S△PMN＝|PM|·|PN|＝×2×2＝2.

②若两条切线的斜率均存在，则xP≠±，由(1)知，椭圆方程为＋y2＝1，

设过点P的椭圆的切线方程为y－yP＝k(x－xP)，

代入椭圆方程，消去y并整理，得(3k2＋1)x2＋6k(yP－kxP)x＋3(yP－kxP)2－3＝0.

依题意有Δ＝0，即(3－x)k2＋2xPyPk＋1－y＝0.

设切线PM，PN的斜率分别为k1，k2，则k1k2＝＝＝－1，即PM⊥PN.

所以线段MN为圆O的直径，所以|MN|＝4.

所以S△PMN＝|PM|·|PN|≤(|PM|2＋|PN|2)＝|MN|2＝4，

当且仅当|PM|＝|PN|＝2时，S△PMN取得最大值，最大值为4.

综合①②可得，△PMN面积的最大值为4.