2020届二轮复习（文）专题五第1讲　直线与圆作业

第1讲　直线与圆

一、选择题

1.已知直线l1过点(-2,0)且倾斜角为30°,直线l2过点(2,0)且与直线l1垂直,则直线l1与直线l2的交点坐标为(　　)

A.(3,) B.(2,)

C.(1,) D.

答案　C　直线l1的斜率k1=tan 30°=,因为直线l2与直线l1垂直,所以直线l2的斜率k2=-=-,又直线l1过点(-2,0),直线l2过点(2,0),所以直线l1的方程为y=(x+2),直线l2的方程为y=-(x-2),联立得解得即直线l1与直线l2的交点坐标为(1,).

2.已知圆C的圆心是直线x-y+1=0与x轴的交点,且圆C与直线x+y+3=0相切,则圆C的方程是(　　)

A.(x+1)2+y2=2 B.(x+1)2+y2=8

C.(x-1)2+y2=2 D.(x-1)2+y2=8

答案　A　根据题意知,圆C的圆心为(-1,0).因为圆与直线x+y+3=0相切,所以半径为圆心到切线的距离,即r=d==,则圆的方程为(x+1)2+y2=2.

3.已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2.则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是(　　)

A.内切 B.相交

C.外切 D.相离

答案　B　由题意知,圆M的圆心为(0,a),半径R=a,因为圆M截直线x+y=0所得线段的长度为2,所以圆心M到直线x+y=0的距离d==(a>0),解得a=2,又圆N的圆心为(1,1),半径r=1,所以|MN|=,因为R-r<<R+r,所以两圆的位置关系为相交,故选B.

4.已知圆C:(x-1)2+(y-2)2=2与y轴在第二象限所围区域的面积为S,直线y=2x+b将圆C分成两部分,其中一部分的面积也为S,则b=(　　)

A.- B.±

C.- D.±

答案　D　结合图形(图略)及题意知,圆心C(1,2)到y轴的距离与到直线y=2x+b的距离相等,易知C(1,2)到y轴的距离为1,则=1,解得b=±,故选D.

5.(2019河南开封模拟)已知圆O:x2+y2=4上到直线l:x+y=a的距离等于1的点至少有2个,则实数a的取值范围是(　　)

A.(-3,3)

B.(-∞,-3)∪(3,+∞)

C.(-2,2)

D.[-3,3]

答案　A　由圆O的方程可知圆心为(0,0),半径为2.因为圆O上到直线l的距离等于1的点至少有2个,所以圆心到直线l的距离d<r+1=2+1,即d==<3,解得a∈(-3,3).

6.(2019广西南宁模拟)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,直线x-ky+1=0与圆C:x2+y2=4相交于A,B两点,=+,若点M在圆C上,则实数k的值为(　　)

A.-2 B.-1

C.0 D.1

答案　C　解法一:设A(x1,y1),B(x2,y2),由得(k2+1)y2-2ky-3=0,则Δ=4k2+12(k2+1)>0,y1+y2=,x1+x2=k(y1+y2)-2=-,因为=+,故M,又点M在圆C上,故+=4,解得k=0.

解法二:由直线与圆相交于A,B两点,=+,且点M在圆C上,得圆心C(0,0)到直线x-ky+1=0的距离为半径的一半,为1,即d==1,解得k=0.

二、填空题

7.(2019广东湛江一模)已知圆C:(x-3)2+(y-3)2=72,若直线x+y-m=0垂直于圆C的一条直径,且经过这条直径的一个三等分点,则m=　　　　. 

答案　2或10

解析　圆C:(x-3)2+(y-3)2=72的圆心C的坐标为(3,3),半径r=6,

因为直线x+y-m=0垂直于圆C的一条直径,且经过这条直径的一个三等分点,所以圆心到直线的距离为2,

则有d==2,

解得m=2或10.

8.已知直线ax+y-1=0与圆C:(x-1)2+(y+a)2=1相交于A、B两点,且△ABC为等腰直角三角形,则实数a的值为　　　　. 

答案　±1

解析　由题意得圆心(1,-a)到直线ax+y-1=0的距离为,所以=,解得a=±1.

9.已知P(x,y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一点,PA是圆C:x2+y2-2y=0的一条切线,A是切点,若PA长度的最小值为2,则k的值为　　　　. 

答案　2

解析　圆C:x2+y2-2y=0的圆心坐标是(0,1),

半径r=1,

∵PA是圆C:x2+y2-2y=0的一条切线,A是切点,PA长度的最小值为2,∴PC长度的最小值为=.

由点到直线的距离公式可得=.∴k=±2,∵k>0,∴k=2.

10.(2018广西南宁二中、柳州高中联考)过点(,0)的直线l与曲线y=相交于A,B两点,O为坐标原点,当△AOB的面积取最大值时,直线l的斜率为　　　　. 

答案　-

解析　解法一:设点P(,0),结合题意可设直线l的方程为y=k(x-)(k<0),将其代入y=,整理得(1+k2)x2-2k2x+2k2-1=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,

Δ=(-2k2)2-4(1+k2)(2k2-1)=4-4k2>0,得k2<1.

所以弦长|AB|=·=·=2.

因为点O到直线l:kx-y-k=0的距离d=,

所以S△AOB=·|AB|·d=×2×=≤=,当且仅当即k=-时取等号.

故当△AOB的面积取最大值时,直线l的斜率为-.

解法二:设点P(,0),结合题意可设直线l的方程为x=my+(m<0),将其代入y=,整理得(1+m2)y2+2my+1=0.

设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=-,y1y2=,

Δ=(2m)2-4(1+m2)=4m2-4>0,得m2>1.

于是,S△AOB=|S△AOP-S△BOP|=·|OP|·|y1-y2|=·|OP|·=××=≤=,

当且仅当即m=-时取等号.

故当△AOB的面积取最大值时,

直线l的斜率为=-.

解法三:设点P(,0),则结合题意画出图形如图所示.

根据图形可得S△AOB=|OA|·|OB|sin∠AOB=sin∠AOB≤,当且仅当sin∠AOB=1,即∠AOB=90°时取等号.于是,当△AOB的面积取最大值时,有∠AOB=90°,此时作OM⊥l,垂足为M,易得|OM|=,又|OP|=,所以可得∠MPO=30°,故所求直线l的斜率为tan(180°-30°)=-.

三、解答题

11.已知以点A(-1,2)为圆心的圆与直线m:x+2y+7=0相切,过点B(-2,0)的动直线l与圆A相交于M、N两点.

(1)求圆A的方程;

(2)当|MN|=2时,求直线l的方程.

解析　(1)易知A(-1,2)到直线x+2y+7=0的距离为圆A的半径r,∴r==2,

∴圆A的方程为(x+1)2+(y-2)2=20.

(2)记MN的中点为Q,则∠MQA=90°,且|MQ|=,

在Rt△AMQ中,|AQ|==1,当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-2,显然x=-2符合题意.

当直线l的斜率存在时,设动直线l的方程为y=k(x+2),

由A(-1,2)到l的距离为1,得=1,解得k=.

∴所求l的方程为3x-4y+6=0或x=-2.

12.已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.

(1)求M的轨迹方程;

(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及△POM的面积.

解析　(1)圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16,

所以圆心为C(0,4),半径为4.

设M(x,y),则=(x,y-4),=(2-x,2-y).

由题设知·=0,故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,

即(x-1)2+(y-3)2=2.

由于点P在圆C的内部,

所以M的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.

(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1,3)为圆心,为半径的圆.

由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上,又点P在圆N上,从而ON⊥PM.

因为直线ON的斜率为3,所以直线l的斜率为-,

故直线l的方程为y=-x+.

又|OM|=|OP|=2,点O到直线l的距离为,所以|PM|=,所以△POM的面积为.

13.(2018广东广州调研)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线C上存在一点E(2,t)到焦点F的距离等于3.

(1)求抛物线C的方程;

(2)过点K(-1,0)的直线l与抛物线C相交于A,B两点(A,B两点在x轴的上方),点A关于x轴的对称点为D,且FA⊥FB,求△ABD的外接圆的方程.

解析　(1)抛物线的准线方程为x=-,

所以点E(2,t)到焦点F的距离为2+=3,

解得p=2.

所以抛物线C的方程为y2=4x.

(2)解法一:设直线l的方程为x=my-1(m>0).

将x=my-1代入y2=4x,并整理得y2-4my+4=0,

由Δ=(-4m)2-16>0,解得m>1.

设A(x1,y1),B(x2,y2),则D(x1,-y1),

y1+y2=4m,y1y2=4,易知抛物线的焦点为F(1,0),

所以·=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(1+m2)y1y2-2m(y1+y2)+4=8-4m2,

因为FA⊥FB,所以·=0,

即8-4m2=0,结合m>1,解得m=.

所以直线l的方程为x-y+1=0.

设AB的中点坐标为(x0,y0),

则y0==2m=2,x0=my0-1=3,

所以线段AB的垂直平分线的方程为y-2=-(x-3).

因为线段AD的垂直平分线的方程为y=0,

所以△ABD的外接圆的圆心坐标为(5,0).

因为圆心(5,0)到直线l的距离d=2,

且|AB|==4,

所以圆的半径r==2.

所以△ABD的外接圆的方程为(x-5)2+y2=24.

解法二:依题意可设直线l的方程为y=k(x+1)(k>0).

将直线l与抛物线C的方程联立,并整理得k2x2+(2k2-4)x+k2=0.

由Δ=(2k2-4)2-4k4>0,结合k>0,得0<k<1.

设A(x1,y1),B(x2,y2),

则x1+x2=-2+,x1x2=1.

所以y1y2=k2(x1x2+x1+x2+1)=4,

所以·=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2=8-,

因为FA⊥FB,所以·=0,

所以8-=0,又0<k<1,解得k=.

以下同解法一.

14.(2019安徽安庆模拟)已知定点M(1,0)和N(2,0),动点P满足|PN|=|PM|.

(1)求动点P的轨迹C的方程;

(2)若A,B为(1)中轨迹C上两个不同的点,O为坐标原点.设直线OA,OB,AB的斜率分别为k1,k2,k.当k1k2=3时,求k的取值范围.

解析　(1)设动点P的坐标为(x,y),

因为M(1,0),N(2,0),|PN|=|PM|,

所以=·.

整理得,x2+y2=2.

所以动点P的轨迹C的方程为x2+y2=2.

(2)设点A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为y=kx+b.

由消去y,整理得(1+k2)x2+2bkx+b2-2=0.(*)

由Δ=(2bk)2-4(1+k2)(b2-2)>0,得b2<2+2k2.①

由根与系数的关系,得x1+x2=-,x1x2=.②

由k1·k2=·=·=3,

得(kx1+b)(kx2+b)=3x1x2,

即(k2-3)x1x2+bk(x1+x2)+b2=0.③

将②代入③,整理得b2=3-k2.④

由④得b2=3-k2≥0,解得-≤k≤.⑤

由①和④,解得k<-或k>.⑥

要使k1,k2,k有意义,则x1≠0,x2≠0,

所以0不是方程(*)的根,

所以b2-2≠0,即k≠1且k≠-1.⑦

由⑤⑥⑦,得k的取值范围是

[-,-1)∪∪∪(1,].