2020届二轮复习（文）专题五第3讲第1课时 圆锥曲线中的取值、范围、证明问题作业
展开第3讲 圆锥曲线的综合问题
第1课时 圆锥曲线中的取值、范围、证明问题
解答题
1.(2019山东济南学习质量评估)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,右焦点为F,且该椭圆过点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)当动直线l与椭圆C相切于点A,且与直线x=相交于点B时,求证:△FAB为直角三角形.
解析 (1)由题意得=,+=1,又a2=b2+c2,所以b2=1,a2=4,即椭圆C的方程为+y2=1.
(2)证明:由题意可得直线l的斜率存在,
设l的方程为y=kx+m,联立得
得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,
又Δ=64k2m2-16(4k2+1)(m2-1)=0,得m2=4k2+1>0.
设A(x1,y1),则x1===-,y1=kx1+m=+m=,即A.
易得B,F(,0),
则=,=,
·=+=--1++1=0,
所以⊥,即△FAB为直角三角形.
2.(2019河北九校第二次联考)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,若过点F且斜率为1的直线与抛物线C相交于M,N两点,且|MN|=8.
(1)求抛物线C的方程;
(2)设直线l为抛物线C的切线,且l∥MN,P为l上一点,求·的最小值.
解析 (1)由题意可知F,则直线MN的方程为y=x-,代入y2=2px(p>0)得x2-3px+=0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=3p,
∵|MN|=8,∴x1+x2+p=8,即3p+p=8,解得p=2,
∴抛物线C的方程为y2=4x.
(2)设直线l的方程为y=x+b,代入y2=4x,得x2+(2b-4)x+b2=0,
∵直线l为抛物线C的切线,∴Δ=0,解得b=1,
∴直线l的方程为y=x+1.
由(1)可知,x1+x2=6,x1x2=1,设P(m,m+1),
则=(x1-m,y1-(m+1)),=(x2-m,y2-(m+1)),
∴·=(x1-m)(x2-m)+[y1-(m+1)][y2-(m+1)]=x1x2-m(x1+x2)+m2+y1y2-(m+1)(y1+y2)+(m+1)2,
(y1y2)2=16x1x2=16,∴y1y2=-4,
-=4(x1-x2),∴y1+y2=4×=4,
·=1-6m+m2-4-4(m+1)+(m+1)2
=2(m2-4m-3)
=2[(m-2)2-7]
≥-14,
当且仅当m=2,即点P的坐标为(2,3)时,·取得最小值-14.
3.(2019河北石家庄模拟(一))已知抛物线C:y2=2px(p>0)上一点P(x0,2)到焦点F的距离|PF|=2x0.
(1)求抛物线C的方程;
(2)过点P引圆M:(x-3)2+y2=r2(0<r≤)的两条切线PA,PB,切线PA,PB与抛物线C的另一交点分别为A,B,线段AB中点的横坐标记为t,求t的取值范围.
解析 (1)由抛物线定义,得|PF|=x0+,由题意得,
解得
所以抛物线C的方程为y2=4x.
(2)由题意知,过点P引圆(x-3)2+y2=r2(0<r≤)的切线斜率存在且不为0,设切线PA的方程为y=k1(x-1)+2,则圆心M(3,0)到切线PA的距离d==r,整理得(r2-4)-8k1+r2-4=0.
设切线PB的方程为y=k2(x-1)+2,
同理可得(r2-4)-8k2+r2-4=0.
所以k1,k2是方程(r2-4)k2-8k+r2-4=0的两个根,
k1+k2=,k1k2=1.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
由得,k1y2-4y-4k1+8=0,由根与系数的关系知,2y1=,所以y1==-2=4k2-2,同理可得y2=4k1-2.
t====2(+)-2(k1+k2)+1
=2(k1+k2)2-2(k1+k2)-3,
设λ=k1+k2,则λ=∈[-4,-2),
所以t=2λ2-2λ-3,其图象的对称轴为λ=>-2,所以9<t≤37.
4.(2019河南洛阳尖子生第二次联考)如图,椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,过点F的直线交椭圆于A,B两点,|AF|的最大值为M,|BF|的最小值为m,满足M·m=a2.
(1)若线段AB垂直于x轴时,|AB|=,求椭圆的方程;
(2)设线段AB的中点为G,AB的垂直平分线与x轴和y轴分别交于D,E两点,O是坐标原点,记△GFD的面积为S1,△OED的面积为S2,求的取值范围.
解析 (1)由题意得F(-c,0),则根据椭圆的性质得,
M=a+c,m=a-c,又M·m=a2,
∴a2-c2=a2,即a2=4c2,a=2c.
又|AB|==,且a2=b2+c2,∴a=1,b2=,
∴椭圆的方程为x2+=1.
(2)由(1)可知a=2c,则b==c,
椭圆的方程为+=1.
由题意知直线AB的斜率一定存在且不为零,
设直线AB的方程为y=k(x+c)(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),
则由消去y并整理得(4k2+3)x2+8ck2x+4k2c2-12c2=0,
∴x1+x2=-,y1+y2=k(x1+x2+2c)=,
∴G.
∵DG⊥AB,设D(xD,0),
∴·k=-1,∴xD=-.
易得Rt△FGD与Rt△EOD相似,
∴===9+>9.
故的取值范围是(9,+∞).
