2020届二轮复习（文）专题三第1讲　空间几何体的三视图、表面积与体积作业

第1讲　空间几何体的三视图、表面积与体积

一、选择题

1.(2019济南模拟)我国古代数学家刘徽在学术研究中,不迷信古人,坚持实事求是.他对《九章算术》中“开立圆术”给出的公式产生质疑,为了证实自己的猜测,他引入了一种新的几何体“牟合方盖”:以正方体相邻的两个侧面为底做两次内切圆柱切割,然后剔除外部,剩下的内核部分.如果“牟合方盖”的主视图和左视图都是圆,则其俯视图形状为(　　)

答案　B　在正方体内做两次内切圆柱切割,得到的几何体的直观图如图所示,

由图易知俯视图为B.

2.(2019重庆模拟)一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的体积是(　　)

A. B.1

C.2+ D.2

答案　A　由三视图知,体积V=Sh=××2×1×1=,所以选A.

3.(2018福州模拟)已知圆柱的高为2,底面半径为,若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上,则这个球的表面积等于(　　)

A.4π B.

C. D.16π

答案　D　如图,球的半径R===2,表面积为4πR2=16π.故选D.

4.(2019南昌模拟)一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其主视图如图所示,则该四棱锥的侧面积是(　　)

A.4 B.4

C.4(+1) D.8

答案　B　因为四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,所以该四棱锥为正四棱锥,如图.

由题意知底面正方形的边长为2,正四棱锥的高为2,

则正四棱锥的斜高PE==.

所以该四棱锥的侧面积S=4××2×=4.

5.(2019山西六校联考)如图,一个水平放置的圆柱形玻璃杯的底面半径为9 cm,高为36 cm.玻璃杯内水深为33 cm,将一个球放在杯口,球面恰好与水面接触,并且球面与杯口密闭.如果不计玻璃杯的厚度,则球的表面积为(　　)

A.900π cm2 B.450π cm2

C.800π cm2 D.400π cm2

答案　A　由已知,球嵌入玻璃杯的高度h=36-33=3(cm).设球的半径为R(cm),则R2=92+(R-3)2,解得R=15,所以该球的表面积S=4πR2=900π(cm2),所以选A.

6.(2018吉林长春质检)已知矩形ABCD的顶点都在球心为O,半径为R的球面上,AB=6,BC=2,且四棱锥O-ABCD的体积为8,则R等于(　　)

A.4 B.2

C. D.

答案　A　设球心O到平面ABCD的距离为h,由题意可知VO-ABCD=S矩形ABCD·h=×6×2·h=8,解得h=2,又矩形ABCD所在的截面圆的半径为==2,从而球的半径R==4.故选A.

7.(2019江西南昌模拟)如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,点P是平面A1B1C1D1内一点,则三棱锥P-BCD的正视图与侧视图的面积之比为(　　)

A.1∶1 B.2∶1

C.2∶3 D.3∶2

答案　A　由已知,三棱锥P-BCD的正视图是三角形,且底边为正四棱柱的底面边长,高为正四棱柱的高;侧视图是三角形,且底边为正四棱柱的底面边长,高为正四棱柱的高,所以三棱锥P-BCD的正视图与侧视图的面积之比为1∶1.

8.(2019广州模拟)三棱锥P-ABC中,平面PAC⊥平面ABC,AB⊥AC,PA=PC=AC=2,AB=4,则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为(　　)

A.23π B.π

C.64π D.π

答案　D　如图,设O'为正△PAC的中心,D为Rt△ABC斜边的中点,H为AC的中点,连接PH,HD.由平面PAC⊥平面ABC得O'H⊥平面ABC.作O'O∥HD,OD∥O'H,则交点O为三棱锥P-ABC的外接球的球心,连接OP,又O'P=PH=××2=,OO'=DH=AB=2.∴R2=OP2=O'P2+O'O2=+4=,三棱锥P-ABC的外接球的表面积S=4πR2=π.

9.(2019安徽滁州测试)榫卯(sǔn mǎo)是中国古代建筑、家具及其他器械的主要结构方式,是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式,凸出部分叫做“榫头”.若某“榫头”的三视图如图所示,则该“榫头”的体积为(　　)

A.10 B.12

C.14 D.16

答案　C　由三视图知,该几何体是一个长,宽,高分别为3,3,2的长方体,去掉四个角(棱长为1的正方体)余下的几何体.∴该“榫头”的体积为3×2×3-4×13=14.

10.(2019南昌调研)已知三棱锥P-ABC的所有顶点都在球O的球面上,△ABC满足AB=2,∠ACB=90°,PA为球O的直径且PA=4,则点P到底面ABC的距离为(　　)

A. B.2

C. D.2

答案　B　取AB的中点O1,连接OO1,如图,因为在△ABC中,AB=2,∠ACB=90°,所以△ABC所在小圆O1是以AB为直径的圆,所以O1A=,且OO1⊥AO1,又球O的直径PA=4,所以OA=2,所以OO1==,且OO1⊥底面ABC,所以点P到平面ABC的距离为2OO1=2.

11.(2018湖南郴州模拟)一只蚂蚁从正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A出发,经正方体的表面,按最短路线爬行到顶点C1的位置,则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图的是(　　)

A.①② B.①③

C.③④ D.②④

答案　D　由点A经正方体的表面,按最短路线爬行到达顶点C1的位置,共有6种路线(对应6种不同的展开方式),若把平面ABB1A1和平面BCC1B1展开到同一个平面内,连接AC1,则AC1是最短路线,且AC1会经过BB1的中点,此时对应的正视图为②;若把平面ABCD和平面CDD1C1展开到同一个平面内,连接AC1,则AC1是最短路线,且AC1会经过CD的中点,此时对应的正视图为④.而其他几种展开方式对应的正视图在题中没有出现.故选D.

12.(2018唐山模拟)把一个皮球放入如图所示的由8根长均为20 cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内,使皮球的表面与8根铁丝都有接触点(皮球不变形),则皮球的半径为(　　)

A.10 cm B.10 cm

C.10 cm D.30 cm

答案　B　在四棱锥S-ABCD中,所有棱长均为20 cm,连接AC,BD交于点O,连接SO,如图,则SO=AO=BO=CO=DO=10 cm,易知点O到AB,BC,CD,AD的距离均为10 cm,在等腰三角形OAS中,OA=OS=10 cm,AS=20 cm,所以O到SA的距离d=10 cm,同理可证O到SB,SC,SD的距离也为10 cm,所以球心为四棱锥底面ABCD的中心,所以皮球的半径r=10 cm.

二、填空题

13.已知一个正方体外接球的体积为V1,内切球的体积为V2,那么的值为　　　　. 

答案　3

解析　设正方体的棱长为a,则====()3=3.

14.(2019惠州模拟)已知三棱锥S-ABC,△ABC是直角三角形,其斜边AB=8,SC⊥平面ABC,SC=6,则三棱锥S-ABC的外接球的表面积为　　　　. 

答案　100π

解析　将三棱锥S-ABC放在长方体中(图略),易知三棱锥S-ABC所在长方体的外接球即为三棱锥S-ABC的外接球,所以三棱锥S-ABC的外接球的直径2R==10,即三棱锥S-ABC的外接球的半径R=5,所以三棱锥S-ABC的外接球的表面积S=4πR2=100π.

15.如图,铜质六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知正六棱柱的底面边长、高都为4 cm,圆柱的底面面积为9 cm2.若将该螺帽熔化后铸成一个高为6 cm的正三棱柱零件,则该正三棱柱零件的底面边长为　　　　cm.(不计损耗) 

答案　2

解析　∵V正六棱柱=24×4=96(cm3),

V圆柱=9×4=36(cm3),

∴V正三棱柱=96-36=60(cm3).

设正三棱柱零件的底面边长为a cm,

则·a·a·6=60,解得a=2.

故正三棱柱零件的底面边长为2 cm.

16.(2019湖北联考)一个帐篷下部的形状是高为2 m的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥(如图所示).当帐篷的顶点D到底面中心O1的距离为　　　　时,帐篷的体积最大. 

答案　 m

解析　设DO1为x m(2<x<5),由已知得,正六棱锥底面边长为= m,底面正六边形的面积为6××()2=(5+4x-x2)m2,所以帐篷体积为V(x)=(5+4x-x2)×2+×(5+4x-x2)(x-2)=(5+4x-x2)·=(5+4x-x2)(x+4),所以V'(x)=(21-3x2),当2<x<时,V'(x)>0,V(x)单调递增;当<x<5时,V'(x)<0,V(x)单调递减,所以当x=时,V(x)取得最大值.