2020届二轮复习（文）专题三第2讲　空间点、直线、平面之间的位置关系作业

第2讲　空间点、直线、平面之间的位置关系

一、选择题

1.(2018四川遂宁模拟)直线l不平行于平面α,且l⊄α,则(　　)

A.α内的所有直线与l异面

B.α内不存在与l平行的直线

C.α内存在唯一的直线与l平行

D.α内的直线与l都相交

答案　B　如图,设l∩α=A,α内的直线若经过点A,则与直线l相交;若不经过点A,则与直线l异面.故选B.

2.(2018河南六市一模)设直线m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列事件中是必然事件的是(　　)

A.若m∥α,n∥β,m⊥n,则α⊥β

B.若m∥α,n⊥β,m∥n,则α∥β

C.若m⊥α,n∥β,m⊥n,则α∥β

D.若m⊥α,n⊥β,m∥n,则α∥β

答案　D　对于A,m∥α,n∥β,m⊥n,则α与β可能平行,也可能相交,所以A不是必然事件;对于B,n⊥β,m∥n,则m⊥β,又m∥α,则α⊥β,所以B是不可能事件;对于C,m⊥α,n∥β,m⊥n,则α与β可能平行也可能相交,所以C不是必然事件;对于D,m⊥α,m∥n,则n⊥α,又n⊥β,所以α∥β,所以D是必然事件.故选D.

二、填空题

3.(2018广西百色月考)不在同一条直线上的三点A,B,C到平面α的距离相等,且A∉α,给出以下三个结论:

①△ABC中至少有一条边平行于α;②△ABC中至多有两边平行于α;③△ABC中只可能有一条边与α相交,其中正确的结论是　　　　.  

答案　①

解析　如图所示,三点A,B,C可能在α的同侧(如图1),也可能在α的两侧(如图2),其中真命题是①.

4.(2019山东济南模拟)如图,在正方形ABCD中,点E,F分别为BC,AD的中点,将四边形CDFE沿EF翻折,使得平面CDFE⊥平面ABEF,则异面直线BD与CF所成角的余弦值为　　　　. 

答案　

解析　如图,连接DE交FC于O,取BE的中点G,连接OG,CG,则OG∥BD且OG=BD,所以∠COG为异面直线BD与CF所成的角或其补角.设正方形ABCD的边长为2,则CE=BE=1,CF=DE==,所以CO=CF=.易得BE⊥平面CDFE,所以BE⊥DE,所以BD==,所以OG=BD=.易知CE⊥平面ABEF,所以CE⊥BE,又GE=BE=,所以CG==.在△COG中,由余弦定理得,cos∠COG===,所以异面直线BD与CF所成角的余弦值为.

三、解答题

5.(2019湖南益阳月考)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是梯形,AD∥BC,AD⊥AB,AB=BC=2AD=4,△ABP是等边三角形,且平面PAB⊥平面ABCD,E是PB的中点,点M在棱PC上.

(1)求证:AE⊥BM;

(2)若三棱锥C-MDB的体积为,且PM=λPC,求实数λ的值.

解析　(1)证明:因为在梯形ABCD中,AD∥BC,AD⊥AB,

所以BC⊥AB,又平面PAB⊥平面ABCD,且平面PAB∩平面ABCD=AB,

所以BC⊥平面PAB,又AE⊂平面PAB,所以BC⊥AE.

因为△ABP是等边三角形,E是PB的中点,所以BP⊥AE,

又BC∩BP=B,所以AE⊥平面PBC,

又BM⊂平面PBC,所以AE⊥BM.

(2)过点P作PF⊥AB于点F,连接CF,易知PF⊥平面ABCD,则PF⊥CF,因为△ABP是等边三角形,AB=4,所以PF=2.

过点M作MN⊥CF于点N,则MN∥PF,=,

V三棱锥P-BCD=××4×4×2=,

V三棱锥C-MDB==V三棱锥M-BCD,所以=,

又==,所以==,所以=,

所以λ=.

6.(2019太原五中模拟)如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,四边形ABEF为正方形,AF=2FD=4,∠AFD=90°,且∠DFE=∠CEF=60°.

(1)证明:平面ABEF⊥平面EFDC;

(2)求五面体ABCDFE的体积.

解析　(1)证明:因为四边形ABEF为正方形,所以AF⊥EF.

因为∠AFD=90°,所以AF⊥DF.

又因为DF∩EF=F,又EF⊂平面EFDC,DF⊂平面EFDC,

所以AF⊥平面EFDC,

又AF⊂平面ABEF,

所以平面ABEF⊥平面EFDC.

(2)连接AE,AC,过点D作DM⊥EF,垂足为点M,

则DM⊥平面ABEF.

因为AB∥EF,AB⊄平面EFDC,EF⊂平面EFDC,所以AB∥平面EFDC.

因为平面ABCD∩平面EFDC=CD,AB⊂平面ABCD,

所以AB∥CD,所以CD∥EF.

由已知,∠DFE=∠CEF=60°.

所以四边形EFDC为等腰梯形.

VA-EFDC=·AF·S等腰梯形EFDC=4,

VC-ABE=VD-ABE=·DM·S△ABE=,

所以五面体ABCDFE的体积V=VA-EFDC+VC-ABE=.

7.(2019湖北联考)如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为平行四边形,AB⊥AC,PA⊥平面ABCD,且AB=AC=1,PA=,点E是PD的中点.

(1)求证:PB∥平面AEC;

(2)求点D到平面AEC的距离.

解析　(1)证明:如图,连接BD交AC于点O,则O为BD的中点,连接OE.

又点E是PD的中点,所以OE∥PB,又OE⊂平面ACE,PB⊄平面ACE,所以PB∥平面ACE.

(2)因为AB⊥AC,四边形ABCD为平行四边形,所以CD⊥AC.

因为PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以CD⊥PA.

因为PA∩AC=A,所以CD⊥平面PAC.

又因为PC⊂平面PAC,所以CD⊥PC,

VD-AEC=VE-ADC=VP-ADC,

VP-ADC=S△ACD·|PA|=.

设点D到平面AEC的距离为h,则VD-AEC=S△AEC·h,

在△PAD中,PA⊥AD,PA=,AD=,E为PD的中点;

所以AE=1,

在△PCD中,PC⊥CD,PC=,CD=1,E为PD的中点,所以CE=1,

则△ACE为正三角形,所以S△AEC=,

所以h=,即点D到平面AEC的距离为.

8.(2019安徽师大附中检测)如图,在多面体ABCDEF中,平面ADEF⊥平面ABCD,四边形ADEF为正方形,四边形ABCD为梯形,且AD∥BC,∠BAD=90°,AB=AD=1,BC=3.

(1)求证:AF⊥CD;

(2)求直线BF与平面CDE所成角的正弦值.

解析　(1)证明:因为四边形ADEF为正方形,所以AF⊥AD,

又平面ADEF⊥平面ABCD,平面ADEF∩平面ABCD=AD,AF⊂平面ADEF,

所以AF⊥平面ABCD,又CD⊂平面ABCD,

所以AF⊥CD.

(2)如图,取BC上的一点G,使BG=1,则BG?AD,又AD?EF,

所以BG?EF,即四边形BGEF是平行四边形,

所以EG?BF,EG=.

在平面ABCD内,过G作GH⊥CD,垂足为H,连接EH,DG.

由(1)及已知得,DE⊥平面ABCD,所以DE⊥GH,

又DE∩DC=D,所以GH⊥平面CDE,

即∠GEH为直线BF与平面CDE所成角的平面角.

在Rt△CDG中,DG=1,CG=2,所以CD=,GH=,

在Rt△EGH中,sin∠GEH==,

所以直线BF与平面CDE所成角的正弦值为.