2020届二轮复习（文）专题五第2讲　圆锥曲线的方程与性质作业

第2讲　圆锥曲线的方程与性质

一、选择题

1.(2019湖南五市十校联考)已知双曲线C:-=1(m>0)的离心率为2,则C的焦点坐标为(　　)

A.(±2,0) B.(±,0)

C.(0,±2) D.(0,±)

答案　A　由题意知,离心率e====2,解得m2=1,所以c==2,又双曲线C的焦点在x轴上,所以双曲线C的焦点坐标为(±2,0),故选A.

2.(2019河南洛阳尖子生第二次联考,4)经过点(2,1),且渐近线与圆x2+(y-2)2=1相切的双曲线的标准方程为(　　)

A.-=1 B.-y2=1

C.-=1 D.-=1

答案　A　设双曲线的渐近线方程为y=kx,即kx-y=0,由渐近线与圆x2+(y-2)2=1相切可得圆心(0,2)到渐近线的距离等于半径,由点到直线的距离公式可得=1,解得k=±.因为双曲线经过点(2,1),所以双曲线的焦点在x轴上,可设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),将(2,1)代入可得-=1,由解得故所求双曲线的标准方程为-=1.故选A.

一题多解　设双曲线的方程为mx2-ny2=1(mn>0),将(2,1)代入方程可得,4m-n=1①.双曲线的渐近线方程为y=±x,圆x2+(y-2)2=1的圆心为(0,2),半径为1,由渐近线与圆x2+(y-2)2=1相切,可得=1,即=3②,由①②可得m=,n=,所以该双曲线的标准方程为-=1,故选A.

解后反思　用待定系数法求双曲线的方程时,先确定焦点在x轴还是y轴上,设出标准方程,再由条件确定a2,b2的值,即“先定型,再定量”,如果焦点的位置不好确定,可将双曲线的方程设为-=λ(λ≠0)或mx2-ny2=1(mn>0),再根据条件求解.

3.设F1,F2为椭圆+=1的两个焦点,点P在椭圆上,若线段PF1的中点在y轴上,则的值为(　　)

A. B. C. D.

答案　D　

如图,设线段PF1的中点为M,因为O是F1F2的中点,所以OM∥PF2,可得PF2⊥x轴,则|PF2|==,|PF1|=2a-|PF2|=,所以=,故选D.

4.(2019福建3月质检)设椭圆E的两焦点分别为F1,F2,以F1为圆心,|F1F2|为半径的圆与E交于P,Q两点.若△PF1F2为直角三角形,则E的离心率为(　　)

A.-1 B.

C. D.+1

答案　A　不妨设椭圆E的方程为+=1(a>b>0),如图所示,

∵△PF1F2为直角三角形,∴PF1⊥F1F2,又|PF1|=|F1F2|=2c,

∴|PF2|=2c,∴|PF1|+|PF2|=2c+2c=2a,∴椭圆E的离心率e==-1.故选A.

5.(2019湖南五市十校联考)在平面直角坐标系xOy中,抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,P为C上一点,PQ垂直l于点Q,M,N分别为PQ,PF的中点,直线MN与x轴交于点R,若∠NFR=60°,则|NR|=(　　)

A.2 B.

C.2 D.3

答案　A　如图,连接MF,QF,设准线l与x轴交于点H,∵y2=4x的焦点为F,准线为l,P为C上一点,∴|FH|=2,|PF|=|PQ|.∵M,N分别为PQ,PF的中点,∴MN∥QF.∵PQ垂直l于点Q,∴PQ∥OR.又∠NFR=60°,∴∠QPF=60°,∴△PQF为等边三角形,∴MF⊥PQ,∴F为HR的中点,∴|FR|=|FH|=2,∴|NR|=2.故选A.

6.(2019安徽合肥模拟)已知A,B,C是双曲线-=1(a>0,b>0)上的三个点,直线AB经过原点O,AC经过右焦点F,若BF⊥AC,且3|AF|=|CF|,则该双曲线的离心率为(　　)

A. B.

C. D.

答案　A　如图,设双曲线的左焦点为E,连接AE,CE,BE,

由题意知|BF|=|AE|,|BE|=|AF|,四边形AEBF为矩形,

令|BF|=|AE|=m,|AF|=n,

由双曲线的定义,得|CE|-|CF|=|AE|-|AF|=2a,

在直角三角形EAC中,m2+(3n+n)2=(3n+2a)2,

将2a=m-n代入,化简,可得m=3n,

所以n=a,m=3a,

在直角三角形EAF中,m2+n2=(2c)2,即9a2+a2=4c2,

可得e==.故选A.

二、填空题

7.(2019江西七校第一次联考)点M(2,1)到抛物线y=ax2准线的距离为2,则a的值为　　　　. 

答案　或-

解析　易知a≠0,抛物线方程化为标准形式为x2=y,因为点M(2,1)到抛物线的准线的距离为2,所以当a>0时,==1,解得a=;当a<0时,=-=3,解得a=-.故a的值为或-.

8.P是椭圆+=1(a>b>0)上的一点,A为左顶点,F为右焦点,PF⊥x轴,若tan∠PAF=,则椭圆的离心率e为　　　　. 

答案　

解析　如图,不妨设点P在第一象限,因为PF⊥x轴,所以xP=c,将xP=c代入椭圆方程得yP=,即|PF|=,则tan∠PAF===,结合b2=a2-c2,整理得2c2+ac-a2=0,两边同时除以a2得2e2+e-1=0,解得e=或e=-1(舍去).

9.(2019四省八校双教研联考)已知F1,F2是双曲线E的左、右焦点,点P在双曲线E上,∠F1PF2=,且(+)·=0,则双曲线E的离心率e=　　　　. 

答案　

解析　由题意知,△F2PF1是等腰三角形,|F1F2|=|F2P|=2c,因为∠F1PF2=,所以|PF1|=2c.由双曲线的定义,可得2c-2c=2a,所以双曲线E的离心率e==.

10.已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为C的焦点.若|FA|=2|FB|,则k=　　　　. 

答案　

解析　设抛物线C:y2=8x的准线为l,易知l:x=-2,

直线y=k(x+2)恒过定点P(-2,0).

如图,过A,B分别作AM⊥l于点M,BN⊥l于点N,

由|FA|=2|FB|,知|AM|=2|BN|,

∴点B为线段AP的中点,连接OB,

则|OB|=|AF|,

∴|OB|=|BF|,∴点B的横坐标为1.

∵k>0,∴点B的坐标为(1,2),∴k==.

三、解答题

11.(2019课标全国Ⅰ理,19,12分)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.

(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;

(2)若=3,求|AB|.

解析　设直线l:y=x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).

(1)由题设得F,故|AF|+|BF|=x1+x2+,由题设可得x1+x2=.

由可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,则x1+x2=-.

从而-=,得t=-.

所以l的方程为y=x-.

(2)由=3可得y1=-3y2.

由可得y2-2y+2t=0.

所以y1+y2=2.从而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3.

代入C的方程得x1=3,x2=.故|AB|=.

12.设O为坐标原点,动点M在椭圆C:+y2=1(a>1,a∈R)上,过O的直线交椭圆C于A,B两点,F为椭圆C的左焦点.

(1)若△FAB的面积的最大值为1,求a的值;

(2)若直线MA,MB的斜率乘积等于-,求椭圆C的离心率.

解析　(1)因为S△FAB=|OF|·|yA-yB|≤|OF|==1,所以a=.

(2)由题意可设A(x0,y0),B(-x0,-y0),M(x,y),则+y2=1,+=1,kMA·kMB=·====-=-,

所以a2=3,所以a=,所以c==,

所以椭圆的离心率e===.

13.(2019天津理,18,13分)设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4,离心率为.

(1)求椭圆的方程;

(2)设点P在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点M为直线PB与x轴的交点,点N在y轴的负半轴上.若|ON|=|OF|(O为原点),且OP⊥MN,求直线PB的斜率.

解析　(1)设椭圆的半焦距为c,依题意,2b=4,=,又a2=b2+c2,可得a=,b=2,c=1.

所以,椭圆的方程为+=1.

(2)由题意,设P(xP,yP)(xP≠0),M(xM,0).设直线PB的斜率为k(k≠0),又B(0,2),则直线PB的方程为y=kx+2,与椭圆方程联立整理得(4+5k2)x2+20kx=0,可得xP=-,代入y=kx+2得yP=,进而直线OP的斜率=.在y=kx+2中,令y=0,得xM=-.由题意得N(0,-1),所以直线MN的斜率为-.由OP⊥MN,得·=-1,化简得k2=,从而k=±.

所以,直线PB的斜率为或-.

14.(2019天津文,19,14分)设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,左顶点为A,上顶点为B.已知|OA|=2|OB|(O为原点).

(1)求椭圆的离心率;

(2)设经过点F且斜率为的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P,圆C同时与x轴和直线l相切,圆心C在直线x=4上,且OC∥AP.求椭圆的方程.

解析　本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力.

(1)设椭圆的半焦距为c,由已知有a=2b.

又由a2=b2+c2,消去b得a2=+c2,解得=.

所以,椭圆的离心率为.

(2)由(1)知,a=2c,b=c,故椭圆方程为+=1.

由题意,F(-c,0),则直线l的方程为y=(x+c).

点P的坐标满足

消去y并化简,得到7x2+6cx-13c2=0,解得x1=c,x2=-.代入到l的方程,解得y1=c,y2=-c.

因为点P在x轴上方,所以P.

由圆心C在直线x=4上,可设C(4,t).

因为OC∥AP,且由(1)知A(-2c,0),

故=,解得t=2.则C(4,2).

因为圆C与x轴相切,所以圆的半径长为2,

又由圆C与l相切,得=2,可得c=2.

所以,椭圆的方程为+=1.