2020届二轮复习二次函数与幂函数课时作业（全国通用） 练习

第6节 二次函数与幂函数

课时作业

基础对点练(时间：30分钟)

1．若f(x)是幂函数，且满足＝2，则f＝(　　)

(A)  (B)  (C)2  (D)4

B　解析：设f(x)＝xa，∵＝＝3a＝2，∴f()＝()a＝()2a＝＝＝.故选B.

2．函数y＝xa与y＝ax，a＞0且a≠1，在同一直角坐标系第一象限中的图象可能是(　　)

C　解析：由幂函数y＝xa的图像在x∈(0,1)上的凹凸性，可知选项A中的a＞1，而由选项A中的直线可知0＜a＜1，所以A不可能；由选项B中幂函数图像可知0＜a＜1，而由选项B中的直线可知a＞1，所以B不可能；由选项D中幂函数图像可知a＜0，而由选项D中的直线可知a＞1，所以D不可能；由选项C中幂函数图像可知a＞1，而由选项C中的直线可知a＞1，所以C可能，选C.

3．设函数f(x)＝x|x|＋bx＋c，给出下列四个命题：

①c＝0时，y＝f(x)是奇函数；

②b＝0，c＞0时，方程f(x)＝0只有一个实根；

③y＝f(x)的图象关于(0，c)对称；

④方程f(x)＝0至多有两个实根．

上述四个命题中正确的是(　　)

(A)①④  (B)①③  (C)①②③  (D)①②④

C　解析：①显然正确，②f(x)＝，因c＞0显然f(x)＝0只有一解，

由f(－x)＝2c－f(x)成立，故③正确，④令b＝－4，

c＝3，

验之f(x)＝0有三个根，故选C.

4．设f(x)是定义在R上的周期为3的函数，当x∈[－2,1)时，f(x)＝则f()＝(　　)

(A)0  (B)1  (C)  (D)－1

D　解析：因为f(x)是周期为3的周期函数，所以f＝f＝f＝4×2－2＝－1，故选D.

5．已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3，若存在f(a)＝g(b)，则实数b的取值范围为(　　)

(A)[1,3]  (B)(1,3)

(C)[2－，2＋]  (D)(2－，2＋)

D　解析：函数f(x)＝ex－1的值域为(－1，＋∞)，g(x)＝－x2＋4x－3的值域为(－∞，1]，若存在f(a)＝g(b)，则需g(b)＞－1，－b2＋4b－3＞－1，所以b2－4b＋2＜0，所以2－＜b＜2＋，故选D.

6．(2018日照第一中学月考)已知函数f(x)＝x2－2x＋3在区间[0，t]上有最大值3，最小值2，则t的取值范围是(　　)

(A)[1，＋∞)   B)[0,2]

(C)(－∞，2]   D)[1,2]

D　解析：f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2，当x＝1时，f(x)取最小值2.又f(0)＝f(2)＝3，作出其图象如图所示．结合图形可知，t的取值范围是[1,2]．故选D.

7．若(a＋1)－<(3－2a)－，则a的取值范围是(　　)

(A)，＋∞   B)，

(C)1，  (D)，1

B　解析：因为f(x)＝x－的定义域为(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上是减函数，

所以原不等式等价于

即所以<a<.

8．(2018广州市高三五校联考)已知函数f(x)＝若f(3－a2)＜f(2a)，则实数a的取值范围是________．

解析：画出f(x)的图像(图略)，由图像易得f(x)在R上单调递减，因为f(3－a2)＜f(2a)，所以3－a2＞2a，解得－3＜a＜1.

答案：(－3,1)

9．若f(x)＝在区间(－2，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________．

解析：f(x)＝＝a＋，

∵f(x)在(－2，＋∞)上递增，

∴1－2a＜0，即a＞.

答案：

10.

已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示．

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)求函数f(x)在区间[t，t＋2]上的最大值．

解：(1)设f(x)＝a(x－4)2＋16.

由f(0)＝0⇒a＝－1，所以f(x)＝－(x－4)2＋16.

(2)①当t＞4时，f(x)max＝f(t)＝－(t－4)2＋16＝－t2＋8t；

②当t＋2＜4，即t＜2时，f(x)max＝f(t＋2)＝－t2＋4t＋12；

③当2≤t≤4时，f(x)max＝16.

所以f(x)max＝

能力提升练((时间：15分钟)

11．已知函数f(x)＝(m2－m－1)x4m9－m5－1是幂函数，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足＞0，若a，b∈R，且a＋b＞0，ab＜0，则f(a)＋f(b)的值(　　)

(A)恒大于0   B)恒小于0

(C)等于0  (D)无法判断

A　解析：因为函数f(x)＝(m2－m－1)x4m9－m5－1是幂函数，所以m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1，当m＝2时，f(x)＝x2018，当m＝－1时，f(x)＝x－4.又对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，满足＞0，则函数f(x)是增函数，所以函数的解析式为f(x)＝x2018，函数f(x)＝x2018是奇函数且是增函数，因为a，b∈R，且a＋b＞0，ab＜0，则a，b异号且正数的绝对值比负数的绝对值大，所以f(a)＋f(b)恒大于0，故选A.

12．(2018西安五校三模)定义域为R的函数f(x)满足f(x＋2)＝2f(x)，当x∈[0,2)时，f(x)＝，若当x∈[－4，－2)时，函数f(x)≥－t＋恒成立，则实数t的取值范围为(　　)

(A)2≤t≤3   B)1≤t≤3

(C)1≤t≤4   D)2≤t≤4

B　解析：当0≤x＜1时，函数g(x)＝x2－x的最小值为g＝－；当1≤x＜2时，p(x)＝－|x－|的最小值为p＝－1，所以函数f(x)在x∈[0,2)上的最小值为－1.当－4≤x＜－2时，有0≤x＋4＜2，由f(x＋2)＝2f(x)得，f(x)＝f(x＋2)＝＝f(x＋4)，

所以当－4≤x＜－2时，函数f(x)的最小值为－.

若当x∈[－4，－2)时，函数f(x)≥－t＋恒成立，只需－t＋≤f(x)min，即－t＋≤－，解得1≤t≤3，所以实数t的取值范围为1≤t≤3.故选B.

13．(2018辽宁五校联考)一个人以6米/秒的速度去追赶停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时交通灯由红变绿，汽车开始变速直线行驶(汽车与人前进方向相同)，汽车在时间t内的路程为s＝t2(单位：米)，那么，此人(　　)

(A)可在7秒内追上汽车

(B)可在9秒内追上汽车

(C)不能追上汽车，但期间最近距离为14米

(D)不能追上汽车，但期间最近距离为7米

D　解析：s＝t2，车与人的间距d＝(s＋25)－6t＝t2－6t＋25＝(t－6)2＋7.当t＝6时，d取得最小值7.故选D.

14．已知函数f(x)＝x－2m2＋m＋3(m∈Z)为偶函数，且f(3)＜f(5)．若g(x)＝loga[f(x)－2x](a＞0，且a≠1)，则当a＝时，g(x)在(2,3]上的最小值为________．

解析：因为f(3)＜f(5)，所以由幂函数的性质得，－2m2＋m＋3＞0，解得－1＜m＜，因为m∈Z，所以m＝0或m＝1.当m＝0时，f(x)＝x3，不是偶函数，且m＝1时，f(x)＝x2，是偶函数，

所以m＝1，f(x)＝x2，所以g(x)＝loga(x2－2x)．

设t＝x2－2x，x∈(2,3]，则t∈(0,3]，此时g(x)在(2,3]上的值域就是函数y＝logat，t∈(0,3]的值域．

当a＝时，y＝logat＝logt在(0,3]上是减函数，∴y≥log3＝－1，∴g(x)在(2,3]上的最小值为－1.

答案：－1

15．比较下列各组值的大小：

(1)－8－和－；

(2)4.1、3.8－和(－1.9)－；

(3)0.20.5和0.40.3.

解：比较幂值的大小，一般可以借助幂函数和指数函数的单调性，有时也要借助中间值．

(1)－＝－9－，由于幂函数y＝x－在(0，＋∞)上是减函数，所以8－＞9－；

因此－8＜－9－，即－8－＜－；

(2)由于4.1＞1,0＜3.8－＜1，(－1.9)－＜0，因此4.1＞3.8－＞(－1.9)－；

(3)由于指数函数y＝0.2x在R上是减函数，所以0.20.5＜0.20.3，又由于幂函数y＝x0.3在(0，＋∞)上是增函数，所以0.20.3＜0.40.3，故有0.20.5＜0.40.3.

16．已知函数f(x)＝mx2＋(m－3)x＋1的图象的零点至少有一个在原点右侧，求实数m的范围．

解：(1)当m＝0时，f(x)＝－3x＋1，直线与x轴的交点为，即函数的零点为，在原点右侧，符合题意．

(2)当m≠0时，因为f(0)＝1，所以抛物线过点(0,1)．

若m＜0，f(x)的开口向下，如图①所示．

二次函数的两个零点必然是一个在原点右侧，一个在原点左侧．

若m＞0，f(x)的开口向上，如图②所示．

要使函数的零点在原点右侧，当且仅当，

解得，

即0＜m≤1.

综上所述，所求m的范围是(－∞，1]．