2020届二轮复习二项式定理课时作业（全国通用） 练习
展开【例1】 的展开式中的第四项是 ．【考点】求展开式中的指定项【难度】2星【题型】填空【关键字】2018年四川高考【解析】，∴，的展开式中的第四项是：【答案】 【例2】 的展开式中，的系数等于_ ___．【考点】求展开式中的指定项【难度】2星【题型】填空【关键字】2018，安徽高考【解析】略；【答案】15； 【例3】 若，则的值是（ ）A． B． C． D．【考点】求展开式中的指定项【难度】2星【题型】选择【关键字】2018年丰台一模【解析】，四个选项中只有满足．【答案】A； 【例4】 的展开式中项的系数是（ ）A． B． C． D．【考点】求展开式中的指定项【难度】3星【题型】选择【关键字】2018年，东城一模【解析】所求系数为．【答案】A； 【例5】 在的展开式中，的系数为_______（用数字作答）．【考点】求展开式中的指定项【难度】3星【题型】填空【关键字】无【解析】将多项市看作，通项公式为，只能取0或1，不难算出的系数为．本题也可以直接用排列组合的观点来解． 5个相乘，要得到项，只有两种情况：①1个取，其余4个取常数项，此时的系数为；②两个取，其余3个取常数项，此时的系数为因此的系数为1360．【答案】1360； 【例6】 在的展开式中，项的系数是 ．（用数字作答）【考点】求展开式中的指定项【难度】2星【题型】填空【关键字】2018年，湖南高考【解析】可以直接将6个式子中的项的系数相加，然后用组合数的性质来计算．如果注意到原多项式可化简为，则只需要求中项的系数即可，不难算出为．【答案】35； 【例7】 在展开式中，系数为有理数的项共有 项．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】填空【关键字】2018年，湖北高考【解析】略【答案】6； 【例8】 的展开式中共有_____项是有理项．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】填空【关键字】无【解析】展开式的第项为，要使第项为有理项，需要为与的倍数，从而，，又，故，共有项．【答案】17； 【例9】 二项式的展开式中的常数项为_____________，展开式中各项系数和为 ．（用数字作答）【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】填空【关键字】2018年，石景山一模【解析】通项公式，时，可得常数项；令即可得各项系数和为．【答案】； 【例10】 若的展开式中含有常数项，则最小的正整数等于 ． 【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】填空【关键字】无【解析】若的展开式中含有常数项，为常数项，则，即，所以被7整除，当时成立，最小的正整数等于7．【答案】7； 【例11】 已知的展开式中没有常数项，，且，则______．【考点】求展开式中的特定项【难度】4星【题型】填空【关键字】2018年，辽宁高考【解析】的通项公式为．如果题目中的多项式展开后没有常数项，则：．所以被4除只能余1．当时，．【答案】5； 【例12】 求展开式中的常数项．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】略【答案】．由展开式的通项公式，可得展开式的常数项为． 【例13】 求二项式的展开式中：⑴常数项；⑵有几个有理项（只需求出个数即可）；⑶有几个整式项（只需求出个数即可）．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】略【答案】展开式的通项为：．⑴设项为常数项，则，得，即常数项为；⑵设项为有理项，则为整数，∴为的倍数，又∵，∴可取，，三个数，故共有个有理项．⑶为非负整数，得或，∴有两个整式项． 【例14】 的展开式中共有_______项是有理项．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】填空【关键字】无【解析】展开式的第项为，要使第项为有理项，需要为与的倍数，从而，，又，故，共有项．【答案】17； 【例15】 在的展开式中任取一项，设所取项为有理项的概率为，则A．1 B． C． D．【考点】求展开式中的特定项【难度】4星【题型】选择【关键字】2009届高考数学二轮冲刺专题测试【解析】B；于是可取3，9，则，【答案】B； 【例16】 关于二项式有下列命题：①该二项展开式中非常数项的系数和是：②该二项展开式中第六项为；③该二项展开式中系数最大的项是第项与第项；④当时，除以的余数是．其中正确命题的序号是__________．（注：把你认为正确的命题序号都填上）【考点】求展开式中的特定项【难度】4星【题型】填空【关键字】无【解析】二项式所有项的系数和为，其常数项为，非常数项的系数和是，得①正确；二项展开式的第六项为，即得②错误；二项展开式中系数绝对值最大的项为第项（系数为）与第项（系数为），得系数最大的项是第项，即③错误；当时，除以的余数是，即④正确．故应填①④．【答案】①④； 【例17】 设的整数部分和小数部分分别为与，则的值为 ．【考点】求展开式中的特定项【难度】4星【题型】填空【关键字】2018年，湖北省八校第二次联考【解析】1；易知为整数，于是的小数部分与的小数部分相同，而，于是则．【答案】1； 【例18】 中，为正实数，且，它的展开式中系数最大的项是常数项，求的取值范围．【考点】求展开式中的特定项【难度】4星【题型】填空【关键字】无【解析】通项公式为．设第项的系数为当时，将已知条件代入得：，由已知，可知，即，第5项为常数项．若系数最大，则，化简可得．将代入，可得【答案】 【例19】 二项式的展开式中，末尾两项的系数之和为，且二项式系数最大的一项的值为，则在内的值为___________．【考点】求展开式中的特定项【难度】3星【题型】填空【关键字】无【解析】或；由已知可得，即得，二项式系数最大的一项为，解得，又，∴或．【答案】或 【例20】 展开式中不含的项的系数和为A． B． C． D．【考点】赋值求某些项系数的和与差【难度】3星【题型】选择【关键字】2018年，江西高考【解析】略【答案】B； 【例21】 设的展开式的各项系数之和为， 二项式系数之和为，若， 则展开式中的系数为（ ）A． B．150 C． D．500【考点】赋值求某些项系数的和与差【难度】3星【题型】选择【关键字】2018年，北京丰台一模【解析】求的展开式的各项系数之和令，而二项式系数之和为，则可以转化为得即．然后利用通项来求解．答案： B【答案】B； 【例22】 已知，求．【考点】赋值求某些项系数的和与差【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】由展开式知：均为负，均为正，∴令，则所求式子为．【答案】 【例23】 已知．⑴当时，求的值；⑵设．试用数学归纳法证明：当时，．【考点】赋值求某些项系数的和与差【难度】4【题型】解答【关键字】2009年，南京1模【解析】略【答案】⑴当时，原等式变为．令得．⑵因为，所以．所以（）．①当时，左边，右边，左边右边，等式成立．②假设当时，等式成立，即，那么，当时，左边右边．故当时，等式成立．综合①②，当时，． 【例24】 请先阅读：在等式的两边求导得，由求导法则得，化简得．⑴利用上述想法（或其他方法），结合等式（，整数），证明：；⑵对于整数，求证：．⑶对于整数，求证①；②．【考点】赋值求某些项系数的和与差【难度】4【题型】解答【关键字】2018年，江苏高考【解析】略【答案】⑴在等式两边对求导，得．移项得（）⑵在（）式中，令得，，，整理得．⑶①由⑴知，．两边对求导，得．在上式中，令，得，即，亦即．又由⑵知，上面两式相加，得．②将等式两边在上对积分，．由微积分基本定理，得，故． 【例25】 利用二项式定理证明：是64的倍数．【考点】证明整除或求余数【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】略【答案】64是8的平方，问题相当于证明是的倍数，为了使问题向二项式定理贴近，变形，将其展开后各项含有，与的倍数联系起来．∵是64的倍数． 【例26】 的末尾连续零的个数是（ ）A．7 B．5 C．3 D．2【考点】证明整除或求余数【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】上述展开式中，最后一项为1；倒数第二项为1000；倒数第三项为495000，末尾有三个0；倒数第四项为16170000，末尾有四个0；依次前面各项末尾至少有四个0．所以的末尾连续零的个数是3．故选C．【答案】C 【例27】 ，求证：．【考点】证明不等式【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】略【答案】显然时，原不等式成立．时，将原不等式变为设，则，于是：． 【例28】 已知是正整数，且，⑴证明；⑵证明．【考点】证明不等式【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】略【答案】⑴对于，有，同理，由于，故对整数，有，所以，即．⑵由二项式定理得：，，由⑴知（），而，，所以．因此．又，（）．∴，即． 【例29】 已知函数满足（），，并且使成立的实数有且只有一个．⑴求的解析式；⑵若数列的前项和为，满足，当时，，求数列的通项公式．⑶在⑵的条件下，令（），求证：当时，有．【考点】证明不等式【难度】3星【题型】解答【关键字】无【解析】略【答案】⑴令，由得．即只有一根，又，故．联立解得，，则，．⑵当时，，∴．∵当时，，∴．当时，，则（），两式相减得（），∴，即，从而数列是以为首项，为公比的等比数列．∴，∴．⑶∵，∴（）．∴．当时，，∴．∴． 【例30】 设，，，将的最小值记为，则，，，，…，，…其中 ．【考点】二项式定理的应用【难度】3星【题型】填空【关键字】2018年，浙江高考【解析】略【答案】 【例31】 由等式，定义映射，则等于（ ）A． B． C． D．【考点】二项式定理的应用【难度】3星【题型】选择【关键字】无【解析】D；由二项式定理，容易有当时，解得．于是答案为D．【答案】D；
