2020二轮复习(理) 空间几何体的表面积、体积及有关量的计算作业 练习
展开专题限时集训(七) 空间几何体的表面积、体积及有关量的计算
[专题通关练]
(建议用时：30分钟)
1．在一个密闭透明的圆柱筒内装一定体积的水，将该圆柱筒分别竖直、水平、倾斜放置时，指出圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是( )
A．圆面 B．矩形面
C．梯形面 D．椭圆面或部分椭圆面
C [将圆柱桶竖放，水面为圆面；将圆柱桶斜放，水面为椭圆面或部分椭圆面；将圆柱桶水平放置，水面为矩形面，所以圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状不可能是梯形面，故选C.]
2．[易错题]一个正方体的内切球O1、外接球O2、与各棱都相切的球O3的半径之比为( )
A．1∶3∶2 B．1∶1∶1
C．1∶∶ D．1∶2∶3
C [设正方体的棱长为1，则其内切球O1的半径为，外接球O2的半径为(正方体体对角线的一半)，与各棱都相切的球O3的半径为(正方体面对角线的一半)，所以它们的半径之比是1∶∶，故选C.]
3．已知三棱锥PABC中，PB⊥平面ABC，∠ABC＝90°，PA＝，AB＝BC＝1，则三棱锥PABC 的外接球的表面积为( )
A．12π B．6π
C．24π D.
B [如图，
∵PB⊥平面ABC，∴PB⊥AB，
∵AB＝1，PA＝，∴PB＝2，
又AB⊥BC，把三棱锥PABC补形为长方体，则长方体对角线长为＝，
则三棱锥PABC外接球的半径为，
∴三棱锥PABC的外接球的表面积为4π×＝6π.故选B.]
4．[重视题]两个相同的正四棱锥底面重合组成一个八面体，可放于棱长为1的正方体中，重合的底面与正方体的某一个面平行，各顶点均在正方体的表面上(如图)，该八面体的体积可能值有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．无数个
D [设ABCD与正方体的截面四边形为A′B′C′D′，设AA′＝x(0≤x≤1)，则AB′＝1－x，
|AD|2＝x2＋(1－x)2＝2＋，
故S四边形ABCD＝|AD|2∈，
V＝S四边形ABCD·h·2＝S四边形ABCD∈.
∴该八面体的体积可能值有无数个，故选D.]
5．已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC的中点，则三棱锥AB1DC1的体积为( )
A．3 B.
C．1 D.
C [∵D是等边三角形ABC的边BC的中点，
∴AD⊥BC.
又ABCA1B1C1为正三棱柱，
∴AD⊥平面BB1C1C.
∵四边形B为矩形，∴S＝S＝×2×＝.又AD＝2×＝，
∴V＝S·AD＝××＝1.故选C.]
6.如图所示，图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的体积为________．
[由题知，旋转一周后形成的几何体是一圆台去掉一个半球，其中圆台的体积为V＝×(π×22＋＋π×52)×4＝52π，半球的体积V＝××π×23＝，则所求体积为52π－＝.]
7．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源与古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称．从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来，如图，若正四棱柱体的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为________．(容器壁的厚度忽略不计)
41π [由题意，该球形容器的半径的最小值为：＝，
∴该球形容器的表面积的最小值为4π·＝41π.]
8．三棱锥PABC的四个顶点均在同一个球面上，其中PA⊥平面ABC，△ABC是正三角形，PA＝2BC＝4，则该球的表面积为________．
[球心应位于过正三角形ABC的中心且垂直于平面ABC的直线上，又PA⊥平面ABC，PA＝4，所以球心O到平面ABC的距离为2，所以球的半径r＝＝，所以球的表面积为S＝4πr2＝.]
[能力提升练]
(建议用时：15分钟)
9．(2019·成都七中模拟)《九章算术》中将底面是直角三角形、侧棱垂直于底面的三棱柱称之为“堑堵”，现有一“堑堵”型石材，其底面三边长分别为3,4,5，若此石材恰好可以加工成一个最大的球体，则其高为( )
A．4 B．3
C．2 D．1
C [
如图，是过球心且与底面平行的轴截面，设球的半径为r，由AC＝3，BC＝4，可得AB＝5，由等面积法可得：×3×4＝(3＋4＋5)r，解得r＝1.∴此石材d的高为2r＝2.故选C.]
10．(2019·唐山二模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A．16π B．14π
C．10π D．8π
C [根据三视图知，该几何体是半球体截去一个圆锥体剩余部分，画出图形如图所示；
结合图中数据，计算该几何体的表面积为
S＝S半球表面积＋S半球底面圆＋S圆锥侧面积－S圆锥底面圆＝2π·()2＋π·()2＋π·1·－π·12＝10π.故选C.]
11．一块边长为6 cm的正方形铁皮按如图1所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，将该容器按如图2放置，若其正视图为等腰直角三角形，则该容器的体积为( )
图1 图2
A．12 cm3 B．4 cm3
C．27 cm3 D．9 cm3
D [如图2，△PMN为该四棱锥的正视图，由图1可知，PM＋PN＝6，且PM＝PN，由△PMN为等腰直角三角形，可知MN＝3，PM＝3.设MN中点为O，则PO⊥平面ABCD，∴PO＝MN＝，∴VPABCD＝×2×＝×18×＝9.选D.
]
图1 图2
12．[重视题]正三棱锥SABC的底面边长为a，各侧面的顶角为30°，D为侧棱SC的中点，截面△DEF过D且平行于AB.当△DEF的周长最小时，截得的三棱锥SDEF的侧面积为________．
a2 [将正三棱锥的侧面展开(如图所示)，可得三个顶角均为30°的等腰三角形，底面边长为a，D′为SC′的中点，DD′的连线长即为最短．
∵DD′∥CC′∥A′B′，∴E′，F′即为相对应的E，F.
在△SCB′中，B′C＝a，∠CSB′＝30°，
则SC＝SB′＝.
又∵∠CSC′＝90°，
∴DD′＝CC′＝·a·＝a，
即为截面△DEF的周长的最小值，
这时，三棱锥SDEF的侧面展开图的顶角为90°，
∴S△SDD′＝＝a2.]
题号 | 内容 | 押题依据 |
1 | 数学文化、锥体的体积、柱体的表面积、不等式 | 高考热点之一，通过对几何体的体积计算实现知识间的融合考查了学生的空间想象和数学运算的素养 |
2 | 球的切接体积的最值问题 | 有关球的切接及体积的最值问题一直是高考的热点，考查学生的动态分析问题能力 |
【押题1】 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年．例如“堑堵”指的是底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；“阳马”指的是底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥．如图所示，在堑堵ABCA1B1C1中，AC⊥BC，A1A＝AB＝2，当堑堵ABCA1B1C1的侧面积取得最大值时，阳马BA1ACC1的体积为( )
A. B.
C．4 D.
A [根据题意，设AC＝x，BC＝y，则有x2＋y2＝4，堑堵ABCA1B1C1的侧面积S侧＝(2＋x＋y)×2＝4＋2(x＋y)≤4＋2＝4＋2，当且仅当x＝y＝时取等号，此时阳马BA1ACC1的体积V＝×AC×CC1×BC＝××2×＝，故选A.
【押题2】 如图，三棱锥ABCD中，AD⊥BD，AC⊥BC，∠DAB＝，∠BAC＝.三棱锥的外接球的表面积为16π，则该三棱锥的体积的最大值为( )
A. B.
C. D.
B [设外接球的半径为R.由题意得，4πR2＝16π，解得R＝2.由题意知△ADB，△ABC都是直角三角形，所以三棱锥ABCD的外接球的球心为AB的中点，且AB＝4.由∠DAB＝，∠BAC＝，可求得AD＝2，BD＝2，AC＝BC＝2.当三棱锥ABCD的体积最大时，平面ADB⊥平面ABC.所以三棱锥的体积的最大值为V三棱锥ABCD＝V三棱锥CABD＝××2×2×2＝.故选B.]
