2020二轮复习(理) 选修4－5 不等式选讲作业 练习
展开专题限时集训(十六) 选修4－5 不等式选讲
(建议用时：20分钟)
1．已知函数f(x)＝|a－3x|－|2＋x|.
(1)若a＝2，解不等式f(x)≤3；
(2)若存在实数a，使得不等式f(x)≥1－a＋2|2＋x|成立，求实数a的取值范围．
[解](1)当a＝2时，不等式f(x)≤3即|2－3x|－|2＋x|≤3，则或或解得－≤x≤，
所以不等式f(x)≤3的解集为.
(2)不等式f(x)≥1－a＋2|2＋x|等价于|a－3x|－3|2＋x|≥1－a，即|3x－a|－|3x＋6|≥1－a.
由绝对值不等式的性质知|3x－a|－|3x＋6|≤|(3x－a)－(3x＋6)|＝|a＋6|.
若存在实数a，使得不等式f(x)≥1－a＋2|2＋x|成立，则|a＋6|≥1－a，解得a≥－，所以实数a的取值范围是 .
2．已知函数f(x)＝|x|－|x－3|(x∈R)．
(1)求f(x)的最大值m；
(2)设a，b，c为正实数，且2a＋3b＋4c＝m，
求证：＋＋≥3.
[解](1)法一：由f(x)＝
知f(x)∈[－3,3]，即m＝3.
法二：由绝对值不等式f(x)＝|x|－|x－3|≤|x－x＋3|＝3，得m＝3.
法三：由绝对值不等式的几何意义知f(x)＝|x|－|x－3|∈[－3,3](x∈R)，即m＝3.
(2)证明：∵2a＋3b＋4c＝3(a，b，c＞0)，
∴＋＋＝(2a＋3b＋4c)·
＝≥3.
当且仅当2a＝3b＝4c，
即a＝，b＝，c＝时取等号，
即＋＋≥3.
3．已知函数f(x)＝|2x－a|＋|x－1|，a∈R.
(1)若不等式f(x)＋|x－1|≥2对x∈R恒成立，求实数a的取值范围；
(2)当a＜2时，函数f(x)的最小值为a－1，求实数a的值．
[解] (1)f(x)＋|x－1|≥2可化为＋|x－1|≥1.
∵＋|x－1|≥，∴≥1, 解得a≤0或a≥4.
∴实数a的取值范围为(－∞，0]∪[4，＋∞)．
(2)函数f(x)＝|2x－a|＋|x－1|的零点为和1，
当a＜2时，＜1，
∴f(x)＝
易知f(x)在单调递减，在单调递增，
∴f(x)min＝f＝－＋1＝a－1，解得a＝＜2.
∴a＝.
内容 | 押题依据 |
分段函数的图象含绝对值不等式的解法 | 以含有两个绝对值的函数为背景，考查不等式的解法，考查分类讨论、数形结合思想、转化化归思想和应用意识. |
【押题】 已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.
(1)求不等式f(x)≥3的解集；
(2)若直线y＝x＋a与y＝f(x)的图象所围成的多边形面积为，求实数a的值．
[解](1)由题意知f(x)＝
由f(x)≥3可知：
(ⅰ)当x≥1时，3x≥3，即x≥1；
(ⅱ)当－＜x＜1时，x＋2≥3，即x≥1，与－＜x＜1矛盾，舍去；
(ⅲ)当x≤－时，－3x≥3，即x≤－1.
综上可知不等式f(x)≥3的解集为{x|x≤－1或x≥1}．
(2)画出函数y＝f(x)的图象，如图所示，
其中A，B(1,3)，由直线AB的斜率kAB＝1，知直线y＝x＋a与直线AB平行，若要围成多边形，则a＞2.
易得直线y＝x＋a与y＝f(x)的图象交于两点C，D，则|CD|＝·＝a，
平行线AB与CD间的距离d＝＝，|AB|＝，
∴梯形ABCD的面积S＝·＝·(a－2)＝(a＞2)，
即(a＋2)(a－2)＝12，∴a＝4，
故所求实数a的值为4.
