2020二轮复习(理)　函数的图象与性质、函数与方程作业 练习

专题限时集训(十二)　函数的图象与性质、函数与方程

[专题通关练]

(建议用时：30分钟)

1．函数y＝(a>0，a≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则loga＋loga＝(　　 )

A．1　　　　　　 B．2

C．3 D．4

C　[当x＝1时，y＝0，则函数在[0,1]上为减函数，故a>1.∴当x＝0时，y＝1，则＝1，∴a＝2.

则loga＋loga＝loga＝log28＝3.]

2．(2019·昆明模拟)函数y＝－ln(x＋1)的图象大致为(　　)

A　[由于函数y＝－ln(x＋1)在(－1,0)，(0，＋∞)单调递减，故排除B，D；当x＝1时，y＝1－ln 2＞0，故排除C，故选A.]

3．[一题多解](2019·全国卷Ⅱ)若a＞b，则(　　)

A．ln(a－b)＞0 B．3a＜3b

C．a3－b3＞0 D．|a|＞|b|

C　[法一：由函数y＝ln x的图象(图略)知，当0＜a－b＜1时，ln(a－b)<0，故A不正确；因为函数y＝3x在R上单调递增，所以当a>b时，3a>3b，故B不正确；因为函数y＝x3在R上单调递增，所以当a>b时，a3>b3，即a3－b3＞0，故C正确；当b<a<0时，|a|<|b|，故D不正确．故选C.

法二：当a＝0.3，b＝－0.4时，ln(a－b)＜0,3a＞3b，|a|＜|b|，故排除A，B，D.故选C.]

4．(2019·长沙模拟)下列函数，在定义域内单调递增且图象关于原点对称的是(　　)

A．f(x)＝sin x－x

B．f(x)＝ln(x－1)－ln(x＋1)

C．f(x)＝

D．f(x)＝

D　[由函数的图象关于原点对称知函数为奇函数，由函数在定义域内单调递增，知在定义域内其导函数大于等于0.A中，f′(x)＝cos x－1＞0无解，故A不满足题意；B中，函数f(x)的定义域为(1，＋∞)，其图象不关于原点对称，故B不满足题意；C中，f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，故C不满足题意；D中，f(x)＝＝1－，所以f(x)在定义域内单调递增，又f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以f(x)在定义域内单调递增且图象关于原点对称，故D满足题意．故选D.]

5．若函数f(x)＝e－x－ln(x＋a)在(0，＋∞)上存在零点，则实数a的取值范围是(　　)

A. B．(－∞，e)

C.   D.

B　[若f(x)＝e－x－ln(x＋a)在(0，＋∞)上存在零点，即e－x＝ln(x＋a)在(0，＋∞)上有实根，

即两个函数y＝e－x和h(x)＝ln(x＋a)的图象在(0，＋∞)上有交点，作出两个函数的图象如图：

若a＞0，

则只需要h(0)＝ln a＜1，即0＜a＜e；

若a≤0，则h(x)＝ln(x＋a)的图象是函数y＝ln x向右平移的，此时在(0，＋∞)上恒有交点，满足条件，

综上a＜e，故选B.]

6．(2019·岳阳二模)已知f(x)为R上的奇函数，g(x)＝f(x)＋2，g(－2)＝3，则f(2)＝________.

－1　[∵g(x)＝f(x)＋2，∴g(－2)＝f(－2)＋2＝3，∴f(－2)＝1，又f(x)为奇函数，则f(2)＝－f(－2)＝－1.]

7．[易错题]已知函数f(x)＝满足对任意x1≠x2，都有<0成立，则a的取值范围是______．

　[<0⇒f(x)是减函数⇒⇒a∈.]

8．[重视题](2019·北京高考)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.

①当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；

②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为________．

130　15　[①当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，可得60＋80＝140(元)，

即有顾客需要支付140－10＝130(元)；

②在促销活动中，设订单总金额为m元，可得(m－x)×80%≥m×70%，

即x≤，由题意得m≥120，故x≤＝15，则x的最大值为15元．]

[能力提升练]

(建议用时：15分钟)

9．已知f(x)是定义在[2b,1－b]上的奇函数，且在[2b,0]上为增函数，则f(x－1)≤f(2x)的解集为(　　)

A.   B.

C．[－1,1]   D.

C　[函数f(x)是定义在[2b,1－b]上的奇函数，则2b＋(1－b)＝0，解得b＝－1，则函数的定义域为[－2,2]，又f(x)在[－2,0]上为增函数，则f(x)在[－2,2]上为增函数，f(x－1)≤f(2x)⇒－2≤x－1≤2x≤2，解得－1≤x≤1，即不等式的解集为[－1,1]，故选C.]

10．[重视题]已知定义在R上的函数f(x)，若f(x)是奇函数，f(x＋1)是偶函数，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，则f(2 019)＝(　　)

A．－1 B．1

C．0 D．2 0192

A　[因为f(x＋1)是偶函数，所以f(x＋1)＝f(－x＋1)，

即f(－x)＝f(x＋2)，又f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，

所以f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，

所以函数f(x)是以4为周期的周期函数，

又当0≤x≤1时，f(x)＝x2，所以f(2 019)＝f(4×505－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－1.故选A.]

11．设函数f(x)＝x2－4x＋a(ex－2＋e2－x)有唯一的零点，则实数a＝(　　)

A．－2 B．0

C．1 D．2

D　[令x－2＝t，则g(t)＝t2－4＋a(et＋e－t)，

易知g(t)为偶函数，且g(t)≥g(0)＝2a－4.

要使f(x)有唯一零点，则只需2a－4＝0，即a＝2.故选D.]

12．(2019·安庆二模)已知正数x，y，z满足logx＝logy＝logz＞0，则下列结论不可能成立的是(　　)

A.＝＝   B.＜＜

C.＞＞   D.＜＜

B　[设logx＝logy＝logz＝k＞0，

则＝2k－1，＝3k－1，＝5k－1，

∴k＝1时，＝＝，

k＞1时，＜＜， 

0＜k＜1时，＞＞.故选B.]

【押题1】　如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱A1B1，CD的中点，点M是EF上的动点(不与E，F重合)，FM＝x，过点M与直线AB的平面将正方体分成上、下两部分，记下面部分的体积为V(x)，则函数y＝V(x)的大致图象是(　　)

C　[由题易知V(x)＝当x∈时，V(x)以越来越快的速度增大；当x∈时，V(x)以越来越慢的速度增大，故选C.]

【押题2】　若函数f(x)＝lg(10x＋1)＋ax是偶函数，则实数a＝________，函数g(x)＝x2－|x|＋a的零点有________个．

－　2　[∵f(x)是偶函数，则f(－x)＝f(x)，

即lg(10－x＋1)－ax＝lg(10x＋1)＋ax，即2ax＝lg(10－x＋1)－lg(10x＋1)＝lg－lg(10x＋1)＝－x，

则2a＝－1，得a＝－，则g(x)＝x2－|x|－，

由g(x)＝x2－|x|－＝0得|x|＝＝，

则|x|＝(舍去负值)，则x＝±，即g(x)有两个零点．]