2020二轮复习(理)　选修4－4　坐标系与参数方程作业 练习

专题限时集训(十五)　选修4－4　坐标系与参数方程

(建议用时：20分钟)

1．(2019·长春高三质量监测一)已知直线l的参数方程为(t为参数，0≤α＜π)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ2＋1＝2ρcos θ＋4ρsin θ.

(1)求圆C的直角坐标方程；

(2)若直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2，求α的值．

[解](1)圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x－4y＋1＝0.

(2)将直线l的参数方程代入到圆C的直角坐标方程中，有t2－4tsin α＝0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝4sin α，t1t2＝0.由|AB|＝|t1－t2|＝＝|t1＋t2|＝4sin α＝2，得sin α＝，所以α＝或α＝.

2．在平面直角坐标系中，将曲线C1向左平移2个单位长度，再将得到的曲线上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的，得到曲线C2，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cos θ.

(1)求曲线C2的参数方程；

(2)已知点M在第一象限，四边形MNPQ是曲线C2的内接矩形，求内接矩形MNPQ周长的最大值，并求周长最大时点M的坐标．

[解](1)由ρ＝4cos θ得曲线C1的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4，经过变换后的曲线对应的方程为＋y2＝1，即曲线C2的普通方程，

∴曲线C2的参数方程为(α为参数)．

(2)设四边形MNPQ的周长为l，点M(2cos α，sin α)，

则l＝8cos α＋4sin α＝4＝4sin(α＋φ)，其中cos φ＝＝，sin φ＝＝.

∵0＜α＜，∴φ＜α＋φ＜＋φ，∴sin＜sin(α＋φ)≤1，

∴当α＋φ＝＋2kπ，k∈Z时，l取得最大值，此时α＝－φ＋2kπ，k∈Z，lmax＝4，

∴2cos α＝2sin φ＝，sin α＝cos φ＝，M.

3．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝4.

(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝8，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；

(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值及此时B点的极坐标．

[解](1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ＞0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1＞0)．

由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.

由|OM|·|OP|＝8，得＝8，所以C2的极坐标方程为ρ＝2(sin θ＋cos θ)(ρ＞0)．

所以C2的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.

(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB＞0)，由题设及(1)知|OA|＝4，ρB＝2(sin α＋cos α)，

于是△OAB的面积S＝·|OA|·ρB·sin∠AOB

＝·4·2(sin α＋cos α)·

＝4

＝2|cos 2α|

≤2，

当α＝0时，S取得最大值2，此时ρB＝2(sin 0＋cos 0)＝2.

所以△OAB面积的最大值为2，此时B点的极坐标为(2,0)．

【押题】　在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是(t为参数)．在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C：ρ＝4cos θ.

(1)当m＝－2，α＝时，判断直线l与曲线C的位置关系；

(2)当m＝1时，若直线l与曲线C相交于A，B两点，设P(1,0)，当||PA|－|PB||取得最大值时，求直线l的倾斜角．

[解](1)由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ，将代入，得曲线C的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4，所以曲线C是以(2,0)为圆心，2为半径的圆．

由直线l的参数方程为(t为参数)，得直线l的普通方程为x－y＋2＝0.

所以圆心(2,0)到直线l的距离d＝＝2，又圆C的半径为2，

故直线l与曲线C相切．

(2)由题知，直线l为经过点P(1,0)且倾斜角为α的直线，把代入(x－2)2＋y2＝4，整理得t2－2tcos α－3＝0，Δ＝(－2cos α)2＋12＞0，

设点A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝2cos α，t1·t2＝－3＜0，所以t1，t2异号，

则||PA|－|PB||＝|t1＋t2|＝|2cos α|≤2，

当|cos α|＝1，即α＝0时，||PA|－|PB||取得最大值2.

所以当||PA|－|PB||取得最大值时，直线l的倾斜角α＝0.