2020二轮复习(理)　圆锥曲线的定义、方程及性质作业 练习

专题限时集训(十)　圆锥曲线的定义、方程及性质

[专题通关练]

(建议用时：30分钟)

1．(2019·贵阳一模)抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F到准线l的距离为2，则C的焦点坐标为(　　)

A．(4,0)　　　　　　 B．(2,0)

C．(1,0)   D.

C　[因为抛物线焦点到准线的距离为2，所以p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x，抛物线的焦点坐标为(1,0)，选C.]

2．(2019·沈阳一模)若点(，0)到双曲线C1：－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线的距离为，则双曲线的离心率为(　　)

A.   B.

C.或   D.

A　[双曲线的渐近线方程为y＝±x，即ay±bx＝0，由题知(，0)到渐近线的距离为，即＝，由a2＋b2＝c2得b＝c,3(c2－a2)＝2c2，即c2＝3a2，得e＝＝，故选A.]

3．若中心在坐标原点的椭圆的长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是(2，0)，则椭圆的标准方程为(　　)

A.＋＝1   B.＋＝1

C.＋＝1   D.＋＝1

D　[设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，依题意得，＝＝2⇒a＝2b，∵c＝2，c2＝a2－b2，

∴(2)2＝(2b)2－b2⇒b2＝20，得a2＝4b2＝80，故所求椭圆的标准方程为＋＝1.]

4.如图，椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，∠F1PF2＝120°，则a的值为(　　 )

A．2　　　　　　 B．3

C．4 D．5

B　[因为b2＝2，c＝，所以|F1F2|＝2.

又|PF1|＝4，|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF2|＝2a－4，由余弦定理得

cos  120°＝＝－，解得a＝3.]

5．过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F且倾斜角为锐角的直线l与C交于A，B两点，过线段AB的中点N且垂直于l的直线与C的准线相交于点M，若|MN|＝|AB|，则直线l的倾斜角为(　　)

A．15° B．30°

C．45° D．60°

B　[分别过A，B，N作抛物线准线的垂线，垂足分别为A′，B′，N′(图略)，由抛物线的定义知|AF|＝|AA′|，|BF|＝|BB′|，|NN′|＝(|AA′|＋|BB′|)＝|AB|，因为|MN|＝|AB|，所以|NN′|＝|MN|，所以∠MNN′＝60°，即直线MN的倾斜角为120°，又直线MN与直线l垂直且直线l的倾斜角为锐角，所以直线l的倾斜角为30°，故选B.]

6．[易错题]若方程－＝1表示椭圆，则实数m的取值范围是________．

∪　[由题意可知

解得－2＜m＜－1且m≠－.]

7．若三个点(－2,1)，(－2,3)，(2，－1)中恰有两个点在双曲线C：－y2＝1(a＞0)上，则双曲线C的渐近线方程为________．

y＝±x　[由于双曲线的图象关于原点对称，故(－2,1)，(2，－1)在双曲线上，代入方程解得a＝，又因为b＝1，所以渐近线方程为y＝±x.]

8．[易错题]若椭圆的对称轴是坐标轴，且短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到同侧顶点的距离为，则椭圆的方程为________．

＋＝1或＋＝1　[由题意，得所以

所以b2＝a2－c2＝9.

所以当椭圆焦点在x轴上时，椭圆的方程为＋＝1；当椭圆焦点在y轴上时，椭圆的方程为＋＝1.

故椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.]

[能力提升练]

(建议用时：20分钟)

9．(2019·全国卷Ⅰ)双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为(　　)

A．2sin 40° B．2cos 40°

C.   D.

D　[由题意可得－＝tan 130°，

所以e＝＝＝

＝＝.

故选D.]

10．(2019·珠海质检)过点M(1,1)作斜率为－的直线l与椭圆C：＋＝1(a＞b＞0) 相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为________．

　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意得，

∴b2(x1＋x2)(x1－x2)＋a2(y1＋y2)(y1－y2)＝0，

∴2b2(x1－x2)＋2a2(y1－y2)＝0，

∴b2(x1－x2)＝－a2(y1－y2)．

∴＝－＝，∴a2＝3b2.

∴a2＝3(a2－c2)，∴2a2＝3c2，∴e＝.]

[点评]　点差法适用范围：与弦的中点轨迹有关、与弦所在直线斜率有关.

11．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，△ABC的顶点都在抛物线上，且满足＋＋＝0，则＋＋＝________.

0　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，F，由＋＝－，得＋＝－，y1＋y2＋y3＝0.因为kAB＝＝，kAC＝＝，kBC＝＝，所以＋＋＝＋＋＝＝0.]

12．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且点在该椭圆上．

(1)求椭圆C的方程；

(2)过椭圆C的左焦点F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AOB的面积为，求圆心在原点O且与直线l相切的圆的方程．

[解](1)由题意可得e＝＝，

又a2＝b2＋c2，

所以b2＝a2.

因为椭圆C经过点，

所以＋＝1，

解得a2＝4，所以b2＝3，

故椭圆C的方程为＋＝1.

(2)由(1)知F1(－1,0)，设直线l的方程为x＝ty－1，

由消去x，得(4＋3t2)y2－6ty－9＝0，

显然Δ＞0恒成立，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则y1＋y2＝，y1y2＝－，

所以|y1－y2|＝

＝＝，

所以S△AOB＝·|F1O|·|y1－y2|

＝＝，

化简得18t4－t2－17＝0，

即(18t2＋17)(t2－1)＝0，

解得t＝1，t＝－(舍去)．

又圆O的半径r＝＝，

所以r＝，

故圆O的方程为x2＋y2＝.

【押题1】　经过点(2,1)，且渐近线与圆x2＋(y－2)2＝1相切，则下列说法正确的编号有________．

①该双曲线的离心率为2；

②该双曲线的一条渐近线方程为 y－x＝0；

③该双曲线的标准方程为－＝1.

①②　[设双曲线的渐近线方程为y＝kx，即kx－y＝0，由渐近线与圆x2＋(y－2)2＝1相切可得圆心(0,2)到渐近线的距离等于半径1，由点到直线的距离公式可得＝1，解得k＝±，即渐近线方程为y±x＝0，故②正确；因为双曲线经过点(2,1)，所以双曲线的焦点在x轴上，可设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，将点(2,1)代入可得－＝1，由得故所求双曲线的方程为－＝1，故③错误，又离心率e＝＝2，故①正确，综上可知①②正确．]

【押题2】　已知|MN|＝1，＝3 ，当N，M分别在x轴，y轴上滑动时，点P的轨迹记为E.

(1)求曲线E的方程；

(2)设斜率为k(k≠0)的直线MN与E交于P，Q两点，若|PN|＝|MQ|，求k.

[解]　(1)设M(0，m), N(n,0)，P(x，y)，由|MN|＝1得m2＋n2＝1.

由＝3，得(x，y－m)＝3(n，－m)，

从而x＝3n，y－m＝－3m，

∴n＝，m＝－，

∴曲线E的方程为＋＝1.

(2)直线MN为y＝kx＋t，∴n＝－.①

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

将MN的方程代入到E的方程并整理，可得(4＋9k2)x2＋18ktx＋9t2－36＝0，

∴x1＋x2＝.

∵|PN|＝|MQ|，所以MN的中点和PQ的中点重合，

∴＝－，②

联立①②可得k2＝，故k＝±.

[点评]　向量条件转化，一是向坐标转化，建立坐标间关系，二是挖掘向量条件的几何意义如共线、中点、垂直.