2020届 二轮复习 集合、简易逻辑与不等式 作业 练习

集合、简易逻辑与不等式  一、单选题1．下列命题中，假命题的是……………………（）A．若为实数，则 B．若，则为实数C．若为实数，则    为实数 D．若为实数，则为实数【答案】D【解析】若为实数，则 ；若，则为实数；若为实数，则为实数； ，因此D错2．若x、y满足不等式，则z=3x+y的最大值为（  ）A．11    B．﹣11    C．13    D．﹣13【答案】A【解析】试题分析：作出不等式组对应的平面区域，根据z的几何意义，利用数形结合即可得到最大值．解：不等式组对应的平面区域如图：由z=3x+y得y=﹣3x+z，平移直线y=﹣3x+z，则由图象可知当直线y=﹣3x+z经过点A时直线y=﹣3x+z的截距最大，此时z最大，此时M=z=3×+5×=17，由，解得，即A（4，﹣1），此时z=3×4﹣1=11，故选：A．考点：简单线性规划．3．已知集合，，则等于（   ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意可得：，结合交集的定义可知：= .本题选择A选项.4．已知，则下列不等式成立的是(   )A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由于，可以根据分式、根式、对数式、指数式对应的函数的单调性直接分析即可.【详解】∵，∴，，，.只有B正确．故选B．【点睛】本题考查基本初等函数的单调性并利用单调性比较大小，难度较易.5．抛物线的焦点为，准线为，是抛物线上的两个动点，且满足，设线段的中点在上的投影为，则的最大值是（     ）A．2 B． C． D．1【答案】D【解析】设，连接，由抛物线定义，得，在梯形中，，由余弦定理得，，配方得，又，，得到，即的最大值为，故选D.【 方法点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，以及余弦定理与基本不等式的应用，属于难题. 与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.6．设m,n为正整数,m>1,n>1,且log3m·log3n≥4,则m+n的最小值为(　　)A．15 B．16C．17 D．18【答案】D【解析】【分析】由题意结合均值不等式的结论可得mn≥34，据此可得m+n的最小值为18.【详解】∵4≤log3m·log3n≤∴(log3mn)2≥16,∴mn≥34.∴m+n≥≥2×32=18,当且仅当m=n时等号成立.则m+n的最小值为18.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查对数的运算法则，基本不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．设全集，，，则等于（ ）A．    B．    C．    D． 【答案】B【解析】【详解】试题分析：分析题意可知，，∴，故选B．考点：集合的运算．8．    下列命题中正确的是(　　)A．若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p∧q”为真命题B．“sinα＝”是“α＝”的充分不必要条件C．l为直线，α，β为两个不同的平面，若l⊥β，α⊥β，则l∥αD．命题“∀x∈R,2x>0”的否定是“∃x0∈R,2x0≤0”【答案】D【解析】试题分析：对于选项，由命题间的逻辑连接词可知，若命题为真命题，命题为假命题，则命题“且”为假真命题，即选项是错误的；对于选项，由三角函数的图像及其性质可知，当时，，不能推出，但当时，，所以“”是“”的必要不充分条件，即选项是错误的；对于选项，由空间直线与平面的位置关系可知，若,则或，即选项是错误的；对于选项，由全称命题的否定为特称命题可知，选项是正确的．故应选．考点：1、命题及其真假判断；2、充分条件与必要条件．9．若变量，满足约束条件，则的最大值为（ ）A． B． C． D．【答案】C【解析】作出可行域如图所示：作直线，再作一组平行于的直线，当直线经过点时，取得最大值，由得：，所以点的坐标为，所以，故选C．考点：线性规划． 10．设是直角坐标平面上的任意点集，定义．若，则称点集“关于运算*对称”．给定点集，，，其中“关于运算 * 对称”的点集个数为A．    B．    C．    D．【答案】B【解析】试题分析：将带入，化简得，显然不行，故集合A不满足关于运算对称，将带入，即，整理得，显然不行，故集合B不满足关于运算对称，将带入，即，化简得，故集合C满足关于运算对称，故只有一个集合满足关于运算对称，故选B.考点：新定义问题的求解.11．已知非零实数满足，则下列不等式成立的是（ ）.A． B． C． D．【答案】D【解析】试题分析：由于，因此，，由于正负不确定，因此其余三个不能确定.考点：大小关系.12．已知U为全集，集合M，N⊆U，若M∩N＝N，则(　　)A．∁UN⊆∁UM B．M⊆∁UNC．∁UM⊆∁UN D．∁UN⊆M【答案】C【解析】【分析】依题意可知，由此可知.【详解】由于，所以，故，所以选C.【点睛】本小题主要考查集合交集的概念，考查子集的概念以及补集的概念.原来，取补集后则是.属于基础题.  二、填空题13．已知实数满足，则的最大值是______________．【答案】7【解析】作可行域，如图，则 过点A（1,5）时取最大值7点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.14．已知集合，若 ，则整数的最小值是________．【答案】11【解析】【分析】解不等式得到集合，根据得到，然后分析、尝试可得整数的最小值．【详解】由，解得，所以A＝{x|1<x<2 016}．由，解得0<x<2m，所以B＝{x|0<x<2m}．由A⊆B，可得2m≥2 016，因为210＝1 024,211＝2 048，所以整数m的最小值为11．故答案为11．【点睛】本题考查不等式的解法和集合间的包含关系，考查运算能力和转化能力，属于基础题．15．设、满足约束条件，若目标函数的最大值为，则的最大值为          .【答案】.【解析】试题分析：如图所示，作出不等式组所表示的可行域如下图的阴影部分所表示，直线与直线交于点，作直线，由于，则可视为直在轴上的截距的倍，当直线经过可行域上的点时，直线在轴上的截距最大，此时取最大值，即，因此.考点：1.线性规划；2.基本不等式16．设集合，，若，则实数的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】根据可判断，求出即可【详解】因为，所以，所以.【点睛】本题考查根据空集的概念求解参数问题，属于基础题 三、解答题17．已知命题p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实根，命题q：不等式mx2－2(m＋1)x＋m＋1＜0对任意的实数x恒成立．若“p或q”为假，求实数m的取值范围．【答案】【解析】【分析】由已知推导出命题或,命题，由或为假，知和都是假命题，由此能求出实数的取值范围.【详解】∵方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实根，∴m2－4＞0.∴m＜－2或m＞2.又不等式mx2－2(m＋1)x＋m＋1＜0恒成立，∴∴m＜－1.∵“p或q”为假，∴p，q都为假．由得－1≤m≤2.∴实数m的取值范围为{m|－1≤m≤2}．【点睛】解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：（1）原命题与其非命题真假相反；（2）或命题“一真则真”；（3）且命题“一假则假”.18．已知集合，  ，求A∩B，A∪B， .【答案】，，【解析】试题分析：求 时借助数轴即可求得正解，求 时可将其转化为 ，再利用数轴即可求得正解.试题解析：19．已知在平面直角坐标系中，，（），其中数列、都是递增数列.（1）若，，判断直线与是否平行；（2）若数列、都是正项等差数列，它们的公差分别为、，设四边形的面积为（），求证：也是等差数列；（3）若，（），，记直线的斜率为，数列前8项依次递减，求满足条件的数列的个数.【答案】（1）不平行；（2）证明见解析；（3）9个.【解析】【分析】（1）确定A1（3，0），B1（0，4），A2（5，0），B2（0，7），求得斜率，可得A1B1与A2B2不平行；（2）因为{an}，{bn}为等差数列，设它们的公差分别为d1和d2，则an＝a1+（n﹣1）d1，bn＝b1+（n﹣1）d2，an+1＝a1+nd1，bn+1＝b1+nd2，从而可得，进而可证明数列{Sn}是等差数列；（3）求得，根据数列{kn}前8项依次递减，可得an﹣a+b＜0对1≤n≤7（n∈Z）成立，根据数列{bn}是递增数列，故只要n＝7时，7a﹣a+b＝6a+b＜0即可，关键b1＝a+b≥﹣12，联立不等式作出可行域，即可得到结论．【详解】（1）由题意A1（3，0），B1（0，4），A2（5，0），B2（0，7），所以，，因为，所以A1B1与A2B2不平行．（2）因为{an}，{bn}为等差数列，设它们的公差分别为d1和d2，则an＝a1+（n﹣1）d1，bn＝b1+（n﹣1）d2，an+1＝a1+nd1，bn+1＝b1+nd2由题意所以[b1+（n﹣1）d2]}，所以，所以Sn+1﹣Sn＝d1d2是与n无关的常数，所以数列{Sn}是等差数列（3）因为An（an，0），Bn（0，bn），所以又数列{kn}前8项依次递减，所以0，对1≤n≤7（n∈Z）成立，即an﹣a+b＜0对1≤n≤7（n∈Z）成立．又数列{bn}是递增数列，所以a＞0，故只要n＝7时，7a﹣a+b＝6a+b＜0即可．又b1＝a+b≥﹣12，联立不等式作出可行域（如右图所示），易得a＝1或2，当a＝1时，﹣13≤b＜﹣6即b＝﹣13，﹣12，﹣11，﹣10，﹣9，﹣8，﹣7，有7个解；当a＝2时，﹣14≤b＜﹣12，即b＝﹣14，﹣13，有2个解，所以数列{bn}共有9个．【点睛】本题考查数列与解析几何的综合，考查等差数列的定义及线性规划知识，考查了分析问题解决问题的能力，综合性强．20．近几年，电商行业的蓬勃发展也带动了快递业的高速发展.某快递配送站每天至少要完成1800件包裹的配送任务，该配送站有8名新手快递员和4名老快递员，但每天最多安排10人进行配送.已知每个新手快递员每天可配送240件包裹，日工资320元；每个老快递员每天可配送300件包裹，日工资520元.(1)求该配送站每天需支付快递员的总工资最小值；(2)该配送站规定:新手快递员某个月被评为“优秀”，则其下个月的日工资比这个月提高12%.那么新手快递员至少连续几个月被评为“优秀”，日工资会超过老快递员?(参考数据: ，，.)【答案】（1）2560；（2）新手快递员至少连续5 个月被评为“优秀”，日工资会超过老快递员【解析】试题分析：（1）安排新手快递员人，老快递员人，根据题目列出二者所满足的关系式，是二元不等式组设目标函数为，画出可行域，分析图像得到最值即可，注意最值点必须是整数点；（2）设新手快递员连续个月被评为“优秀，根据题意列出式子得到，解出不等式即可。 (1)设安排新手快递员人，老快递员人，则有，即，该配送站每天需支付快递员总工资为.作出可行域如图所示.作直线，平移可得到一组与平行的直线，由题设是可行域内的整点的横、纵坐标.在可行域内的整点中，点使取最小值，即当过点时，最小，即(元)，即该配送站每天需支付快递员的总工资最小值为2560元. (2)设新手快递员连续个月被评为“优秀”，日工资会超过老员工，则由题意可得.转化得，两边求对数可得，所以 ，又因为，所以最小为5，即新手快递员至少连续5 个月被评为“优秀”，日工资会超过老快递员.点睛：这个题目是实际应用题目，考查了学生构建模型的能力，处理实际问题的能力，问题转化的能力，解决线规的问题的能力；一般先根据题目条件，建立数学模型，用数学表达式表示题目中的条件。注意结合实际，分析问题，自变量的取整问题等。