2020届 二轮复习 集合、简易逻辑与不等式 作业 (2) 练习
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集合、简易逻辑与不等式 一、单选题1.已知集合,,则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】依题意得,所以.点睛:本题主要考查集合的交集的概念,考查一元二次不等式的解法,考查了集合的三要素.集合的三要素是:确定性、互异性和无序性.在研究一个集合的过程中,首先要确定研究对象是什么,然后常常是解一元二次不等式,要注意是取两边还是取中间.最后根据题目求交集并集或者补集. 2.(2010•上海)若x0是方程的解,则x0属于区间( )A.(,1) B.(,) C.(,) D.(0,)【答案】C【解析】试题分析:由题意x0是方程的解,根据指数函数和幂数函数的增减性进行做题.解:∵,,∴x0属于区间(,).故选C.考点:函数的零点与方程根的关系.3.关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0的解集中,恰有3个整数,则a的取值范围是 ( )A.(4,5) B.(-3,-2)∪(4,5)C.(4,5] D.[-3,-2)∪(4,5]【答案】D【解析】试题分析:解不等式得得范围是或,解集中有3个整数,所以的范围是[-3,-2)∪(4,5]考点:一元二次不等式解集4.方程组的解集不可以表示为( )A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由方程组的解集所表示的集合应为点集,根据集合的表示方法,即作出判定,得到答案.【详解】由题意,方程组的解集所表示的集合应为点集,根据集合的表示方法,可得方程组的解集可表示为A、B、D的形式,而集合为两个元素的数集,所以不正确,故选C.【点睛】本题主要考查了集合的表示方法,其中解答中熟记集合的表示方法,准确判定是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.5.已知集合,则满足的集合的个数是( )A.2 B.3 C.4 D.9【答案】C【解析】试题分析: ,所以集合B中一要含有元素c,而集合A中的两个元素可以在B中也可不在,故满足条件的集合B有,,,共4个;故选C.考点:集合的并运算.6.下列结论中成立的是 A.且 B.C.且 D.【答案】B【解析】【分析】根据基本不等式的性质以及特殊值法的应用判断即可.【详解】对于A,令,,,,显然错误;对于B,根据基本不等式的性质,正确;对于C,符合题意但a>b对于D,令,,显然错误;故选:B.【点睛】本题考查了基本不等式的性质以及特殊值法的应用,是一道基础题.7.“”是“方程表示双曲线”的 ( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若方程表示双曲线,则,解得,则的范围小于,所以“”是方程表示双曲线的充分不必要条件,故选A.8.已知集合,,则( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合,由此求得.【详解】由,解得,所以.故选:B.【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算,考查一元二次不等式的解法,属于基础题. 二、填空题9.设函数的根都在区间[-2,2]内,且函数在区间(0,1)上单调递增,则b的取值范围是 。【答案】【解析】试题分析:因为函数(b为常数),所以的根都在区间[-2,2]内,所以;又因为函数在区间(0,1)上单调递增,所以在区间(0,1)上恒成立,所以综上可得:。考点:导数的应用.10.设,满足,则的取值范围为__________.【答案】【解析】由题意,先作出约束条件的可行域图形,如图中阴影部分,将目标函数转化为,在图中作出平行直线,在可行域范围内平行移动直线,则当移到顶点处时,有,由于可行域向上无限延展,所以目标函数的取值范围为.点睛:此题主要考查不等式中简单线性规划求最优解的问题,以及数形结合法在此类问题中的应用,属于中低档题型,也是常考题型.解此类问题过程中,常用图解法来求解,图解法很直观,首先在平面直解坐标系上画出可行域,再画出目标函数的等值线,将目标函数的等值线平移得到最优解.11.已知实数满足约束条件,则的最小值为______.【答案】3【解析】【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求得最优解的坐标,代入目标函数得答案.【详解】由约束条件作出可行域如图,
联立,解得 ,
化目标函数z=2x+y为y=-2x+z,
由图可知,当直线y=-2x+z过点A时,直线在y轴上的截距最小,z有最小值为3.
故答案为3.【点睛】本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.12.已知实数满足:,且,则的取值范围是 .【答案】【解析】试题分析:因,故,故当时,;又,所以,由于,因此当时,是的增函数,所以当时,;当时,,,当且仅当取等号,所以,故应填.考点:不等式的性质及运用.【易错点晴】本题设置的是一道含双变量的函数的值域问题.求解时先运用消元的数学思想,将两个变量消掉变为只含一个变量的函数,然后再运用分类整合思想分别求出该函数的的最大值和最小值,从而确定其取值范围.求解时,先确定,;后将不等式变为,进而可得.令,然后分和两种情形求解.最后求得其取值范围是.13.下列若干命题中,正确命题的序号是______________.①“a=3”是直线ax+2y+2a=0和直线3x+(a一l)y-a+7 =0平行的充分不必要条件;②△ABC中,若acosA="bcos" B,则该三角形形状为等腰三角形;③两条异面直线在同一平面内的投影可能是两条互相垂直的直线;④函数的最小正周期是【答案】①③【解析】试题分析:①直线ax+2y+2a=0和直线3x+(a一l)y-a+7=0平行可得或,因此“a=3”是直线ax+2y+2a=0和直线3x+(a一l)y-a+7 =0平行的充分不必要条件;②acosA=bcosB或,因此三角形为等腰三角形或直角三角形;③两异面直线垂直,则在同一平面内的投影可能是两条互相垂直的直线;④考点:1.直线平行的判定;2.正弦定理解三角形;3.直线位置关系;4.三角函数化简与性质14.已知下列命题: (1)若∥∥,且,则∥;(2)若,则;(3).则假命题的序号为__________.【答案】(2)(3)【解析】【分析】向量数量积不满足消去律和结合律.【详解】(1)因为有规定,所以向量平行满足传递性,故(1)是真命题;(2)若,所以或或,故(2)是假命题;(3)等式的左边可以是一个与共线的向量,右边可以是一个与共线的向量,所以等式不一定成立,故(3)是假命题.15.下列命题的否定形式中为真命题的个数是 。①所有的实数的平方是正数;②任何实数都是方程的根;③被8整除的整数能被4整除④若一个四边形是正方形,则它的四条边相等【答案】2个【解析】【分析】利用零的平方不是正数判断①;利用零不是方程的根判断②;根据8是4的倍数判断③,根据正方形的定义判断④.【详解】下列命题的否定形式中为真命题的个数是 。对于①,零的平方不是正数,所有的实数的平方是正数错误;对于②,零不是方程的根,任何实数都是方程的根错误;对于③,因为8是4的倍数,所以被8整除的整数能被4整除正确;对于④,根据正方形的定义知,若一个四边形是正方形,则它的四条边相等正确,所以正确命题有2个,故答案为2个.【点睛】本题主要考查命题真假的判断,属于基础题.16.使“”成立的一个充分不必要条件是___________【答案】的真子集都可以【解析】【分析】由x2+2x﹣3<0解得﹣3<x<1,因此-3<x<1的真子集是不等式x2﹣2x﹣3<0成立的一个充分不必要条件【详解】由x2+2x﹣3<0解得﹣3<x<1,因此的真子集都可以是不等式x2+2x﹣3<0成立的一个充分不必要条件.故答案为:的真子集都可以【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法、充分必要条件的判定,属于基础题. 三、解答题17.已知函数的定义域为R.(1)求a的取值范围; (2)若函数f(x)的最小值为,解关于x的不等式x2+x+4a2-6a<0.【答案】(1);(2)【解析】【分析】(1)由函数的定义域是,得出恒成立,分两种情况讨论可求出的取值范围;(2)利用配方法求得的最小值是,求出的值,代入不等式,利用一元二次不等式的解法求解集即可.【详解】(1)∵函数的定义域为R,∴ax2+2ax+1≥0恒成立,当a=0时,1≥0恒成立.当a≠0时,则有,解得0<a≤1,综上可知,a的取值范围是[0,1].(2)∵,又∵0≤a≤1,∴当x=-1时,,由题意得,∴a=,∴不等式x2+x+4a2-6a<0可化为x2+x-2<0.解得,∴不等式的解集为.【点睛】本题考查函数的定义域、二次函数的图象与性质以及一元二次方程的根与系数的关系,属于中档题. 对于定义域为求参数的题型,主要有三种:(1)根式型, ,只需 ;(2)对数型,,只需,(3)分式型,,只需.18.已知集合,.(1)当时,求;(2)若,求实数的范围.【答案】(1)(2).【解析】【试题分析】(1)先求得.当时,,由此求得的值,进一步求得的值.(2)由(1)知,由此列不等式组来求得的范围.【试题解析】(1)易知,当时,,∴.(2)由(1)知,∵,,∴,且,∴,∴实数的取值范围为.19.已知.(I)求不等式的解集;(II)若关于的不等式有解,求实数的取值范围.【答案】(I);(II)或.【解析】试题分析:(I)根据分类讨论将不等式化为三个不等式组求解即可.(II)画出函数的图象,由图象求得函数的最小值为4,解不等式可得所求范围.试题解析:(I)不等式即为,等价于 ①或 ② 或③由①得;由②得;由③得此不等式组无解.综上.∴不等式的解集为.(II)由题意得,画出函数的图象如图所示: 其中,由图象可得函数的最小值为4.由题意知,即 , 解得或.∴实数的取值范围为.20.已知函数的定义域为,集合是不等式的解集.(1) 求,;(2) 若, 求实数的取值范围.【答案】(1)A=,;(2).【解析】试题分析:(1)由 0,得,由,得:得;(2)由得,从而,即可得解.试题解析:(1)由 0,得或,即A=.由,得:.所以或,即.(2) 由得., 故当时, 实数的取值范围是.点睛:解答本题时要注意以下几点:(1)在解题中注意A⊆B、A∩B=A、A∪B=B这几个关系式的等价性,要善于将问题进行转化,这是解决此类问题的一种极为有效的方法. (2)对于数集关系问题,往往要利用数轴进行分析;当根据求参数的范围时,一定要分和两种情况进行讨论.21.已知全集R,集合, .(1)求、;(2)若集合是集合A的子集,求实数k的取值范围.【答案】(1),;(2)或.【解析】试题分析:(1)集合,即,画出数轴表示集合,观察图形得:,又,,所以;(2)若集合为集合的子集,而显然集合为非空集合,因此应满足或,解得或.本题主要考查集合的运算,集合间的关系.试题解析:(1)∵,∴,∴,∴.∴.又∵,∴,(2)∵集合是集合的子集∴或,∴或. 即实数k的取值范围为.考点:1、集合的运算;2、集合间的关系.22.已知命题P:任意“,”,命题q:“存在”若“p或q”为真,“p且q”为假命题,求实数的取值范围。【答案】【解析】试题分析:命题任意“,”,只需,对恒成立,而在上是增函数,时,,即:;命题“存在”,只需,即:,根据“p或q”为真,“p且q”为假命题,只要一真一假即可.试题解析:命题任意“,”,只需,对恒成立,而在上是增函数,时,,即:;命题“存在”,只需,即:.则,,根据“p或q”为真,“p且q”为假命题,只要一真一假即可.(1)若真假,则,(2)假真,则,综上所述:的取值范围是考点:1.恒成立问题的极端原理;2.一元二次不等式;3.复合命题的真假;