2020届二轮复习 直线与圆 课时作业（全国通用） 练习

第1讲　直线与圆

一、选择题

1．已知直线l1过点(－2，0)且倾斜角为30°，直线l2过点(2，0)且与直线l1垂直，则直线l1与直线l2的交点坐标为(　　)

A．(3，)　　　　　　 B．(2，)

C．(1，)  D．

解析：选C．直线l1的斜率k1＝tan 30°＝，因为直线l2与直线l1垂直，所以直线l2的斜率k2＝－＝－，所以直线l1的方程为y＝(x＋2)，直线l2的方程为y＝－(x－2)，联立解得即直线l1与直线l2的交点坐标为(1，)．

2．圆C与x轴相切于T(1，0)，与y轴正半轴交于A、B两点，且|AB|＝2，则圆C的标准方程为(　　)

A．(x－1)2＋(y－)2＝2

B．(x－1)2＋(y－2)2＝2

C．(x＋1)2＋(y＋)2＝4

D．(x－1)2＋(y－)2＝4

解析：选A．由题意得，圆C的半径为＝，圆心坐标为(1，)，所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－)2＝2，故选A．

3．已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是(　　)

A．内切  B．相交

C．外切  D．相离

解析：选B．圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)可化为x2＋(y－a)2＝a2，由题意，M(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝，所以a2＝＋2，解得a＝2.所以圆M：x2＋(y－2)2＝4，所以两圆的圆心距为，半径和为3，半径差为1，故两圆相交．

4．(2019·皖南八校联考)圆C与直线2x＋y－11＝0相切，且圆心C的坐标为(2，2)，设点P的坐标为(－1，y0)．若在圆C上存在一点Q，使得∠CPQ＝30°，则y0的取值范围是(　　)

A．[－，]  B．[－1，5]

C．[2－，2＋]  D．[2－2，2＋2]

解析：选C．由点C(2，2)到直线2x＋y－11＝0的距离为＝，可得圆C的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5.若存在这样的点Q，当PQ与圆C相切时，∠CPQ≥30°，可得sin∠CPQ＝＝≥sin 30°，即CP≤2，则≤2，解得2－≤y0≤2＋.故选C．

5．在平面直角坐标系内，过定点P的直线l：ax＋y－1＝0与过定点Q的直线m：x－ay＋3＝0相交于点M，则|MP|2＋|MQ|2＝(　　)

A．  B．

C．5  D．10

解析：选D．由题意知P(0，1)，Q(－3，0)，因为过定点P的直线ax＋y－1＝0与过定点Q的直线x－ay＋3＝0垂直，所以MP⊥MQ，所以|MP|2＋|MQ|2＝|PQ|2＝9＋1＝10，故选D．

6．(一题多解)(2019·河南郑州模拟)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线x－ky＋1＝0与圆C：x2＋y2＝4相交于A，B两点，＝＋，若点M在圆C上，则实数k的值为(　　)

A．－2  B．－1

C．0  D．1

解析：选C．法一：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(k2＋1)y2－2ky－3＝0，则Δ＝4k2＋12(k2＋1)>0，y1＋y2＝，x1＋x2＝k(y1＋y2)－2＝－，因为＝＋，故M，又点M在圆C上，故＋＝4，解得k＝0.

法二：由直线与圆相交于A，B两点，＝＋，且点M在圆C上，得圆心C(0，0)到直线x－ky＋1＝0的距离为半径的一半，为1，即d＝＝1，解得k＝0.

二、填空题

7．过点(，0)引直线l与曲线y＝相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于________．

解析：令P(，0)，如图，易知|OA|＝|OB|＝1，

所以S△AOB＝|OA|·|OB|·sin∠AOB＝sin∠AOB≤，

当∠AOB＝90°时，△AOB的面积取得最大值，此时过点O作OH⊥AB于点H，

则|OH|＝，

于是sin∠OPH＝＝＝，易知∠OPH为锐角，所以∠OPH＝30°，

则直线AB的倾斜角为150°，故直线AB的斜率为tan 150°＝－.

答案：－

8．已知圆O：x2＋y2＝4到直线l：x＋y＝a的距离等于1的点至少有2个，则实数a的取值范围为________．

解析：由圆的方程可知圆心为(0，0)，半径为2.因为圆O到直线l的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线l的距离d<r＋1＝2＋1，即d＝＝<3，解得a∈(－3，3)．

答案：(－3，3)

9．(2019·高考浙江卷)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________．

解析：法一：设过点A(－2，－1)且与直线2x－y＋3＝0垂直的直线方程为l：x＋2y＋t＝0，所以－2－2＋t＝0，所以t＝4，所以l：x＋2y＋4＝0.令x＝0，得m＝－2，则r＝＝.

法二：因为直线2x－y＋3＝0与以点(0，m)为圆心的圆相切，且切点为A(－2，－1)，所以×2＝－1，所以m＝－2，r＝＝.

答案：－2　

三、解答题

10．已知点M(－1，0)，N(1，0)，曲线E上任意一点到点M的距离均是到点N的距离的倍．

(1)求曲线E的方程；

(2)已知m≠0，设直线l1：x－my－1＝0交曲线E于A，C两点，直线l2：mx＋y－m＝0交曲线E于B，D两点．当CD的斜率为－1时，求直线CD的方程．

解：(1)设曲线E上任意一点的坐标为(x，y)，

由题意得＝·，

整理得x2＋y2－4x＋1＝0，即(x－2)2＋y2＝3为所求．

(2)由题意知l1⊥l2，且两条直线均恒过点N(1，0)．设曲线E的圆心为E，则E(2，0)，设线段CD的中点为P，连接EP，ED，NP，则直线EP：y＝x－2.

设直线CD：y＝－x＋t，

由解得点P，

由圆的几何性质，知|NP|＝|CD|＝，

而|NP|2＝＋，|ED|2＝3，

|EP|2＝，

所以＋＝3－，整理得t2－3t＝0，解得t＝0或t＝3，

所以直线CD的方程为y＝－x或y＝－x＋3.

11．在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0，1)，当m变化时，解答下列问题：

(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；

(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．

解：(1)不能出现AC⊥BC的情况，理由如下：

设A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2满足x2＋mx－2＝0，所以x1x2＝－2.

又C的坐标为(0，1)，故AC的斜率与BC的斜率之积为·＝－，所以不能出现AC⊥BC的情况．

(2)证明：BC的中点坐标为(，)，可得BC的中垂线方程为y－＝x2(x－)．

由(1)可得x1＋x2＝－m，所以AB的中垂线方程为x＝－.

联立又x＋mx2－2＝0，

可得

所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为(－，－)，半径r＝.

故圆在y轴上截得的弦长为2＝3，即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．

12．在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心在直线l上．

(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；

(2)若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．

解：(1)因为圆心在直线l：y＝2x－4上，也在直线y＝x－1上，所以解方程组得圆心C(3，2)，

又因为圆C的半径为1，

所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝1，

又因为点A(0，3)，显然过点A，圆C的切线的斜率存在，设所求的切线方程为y＝kx＋3，即kx－y＋3＝0，

所以＝1，解得k＝0或k＝－，

所以所求切线方程为y＝3或y＝－x＋3，

即y－3＝0或3x＋4y－12＝0.

(2)因为圆C的圆心在直线l：y＝2x－4上，

所以设圆心C为(a，2a－4)，

又因为圆C的半径为1，

则圆C的方程为(x－a)2＋(y－2a＋4)2＝1.

设M(x，y)，又因为|MA|＝2|MO|，则有

＝2，

整理得x2＋(y＋1)2＝4，其表示圆心为(0，－1)，半径为2的圆，设为圆D，

所以点M既在圆C上，又在圆D上，即圆C与圆D有交点，

所以2－1≤≤2＋1，

解得0≤a≤，所以圆心C的横坐标a的取值范围为.