2020届 二轮复习 集合、简易逻辑与不等式 作业 (2) 练习

集合、简易逻辑与不等式  一、单选题1．集合，，则（ ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根据交集的概念，可直接求出结果.【详解】因为，，所以；故选D【点睛】本题主要考查集合的交集，熟记概念即可，属于基础题型.2．实数满足，则 的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】依题意的可行域如图所示，由得，在图中作直线，并平行移动得到一系列平行直线，可知当直线经过点时，所求的最小，最小值为.故选：C点睛：线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.3．给出下列四个命题：若为的极值点，则”的逆命题为真命题；“平面向量，的夹角是钝角”的充分不必要条件是；若命题，则  ；命题“，使得”的否定是：“，均有”．其中不正确的个数是    A．3 B．2 C．1 D．0【答案】A【解析】【分析】对于中，举例，即可判断其错误，对于中，平面向量，的夹角是钝角或平角，即可判断其错误。对于，利用命题否定的定义即可判断其错误，对于，利用特称命题的否定即可判断其正确，问题得解。【详解】对于中，当时，，但不是极值点，故错误.对于中，.即，它等价于平面向量，的夹角是钝角或平角，所以 “平面向量，的夹角是钝角” ；故错误对于中，为，故错误.对于中，利用特称命题的否定即可判断其正确.故选：A【点睛】本题主要考查了逆命题的真假判断、特称命题的否定，还考查了充分、必要条件的判断，还考查了数量积的定义，属于基础题。4．已知，满足条件，则目标函数从最小值变化到1时，所有满足条件的点构成的平面区域的面积为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图所示，所求面积即为图中红色阴影部分的面积e 故选a 5．已知全集，集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】求得集合，得到或，再根据集合的交集运算，即可求解.【详解】由题意，集合，，则或，所以.故选：B.【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中熟记集合的交集、并集和补集的概念和运算，以及正确求解集合是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6．集合的子集个数（  ）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】D【解析】由x2−4=0，解得：x=±2，故A={−2,2},故子集的个数是22=4个，本题选择D选项.7．若变量满足约束条件，则的最大值是（    ）A．5 B．4 C．1 D．－5【答案】B【解析】分析：画出不等式组表示的可行域，利用线性规划的知识求解可得所求．详解：画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．由，变形得．平移直线，结合图形可得，当直线经过可行域内的点A时，直线在y轴上的截距最大，此时z取得最大值．由，得，故，∴．故选B．点睛：利用线性规划求目标函数最值的步骤①作图：画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的直线l；②平移：将l平行移动，以确定最优解所对应的点的位置；③求值：解有关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值．8．如果-1<a<b<0，则有 ( )A．< B．< C．< D．<【答案】A【解析】略9．实数满足，则的最大值为A．-4 B．0 C．2 D．3【答案】D【解析】由得，平移直线，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，此时最大，代入目标函数得到，即目标函数的最大值为故选10．与命题“若，则”等价的命题是　　A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】C【解析】【分析】根据原命题与其逆否命题为等价命题，转化求逆否命题即可.【详解】其等价的命题为其逆否命题：若x2-2x-3≠0，则x≠3.【点睛】本题考查原命题与其逆否命题等价性以及会写逆否命题，考查基本应用能力.  二、填空题11．设函数的定义域为集合A，则集合中元素的个数是_____．【答案】5【解析】【分析】由函数的定义域为集合A,知,由此能求出集合中元素的个数.【详解】函数的定义域为集合A,
,

,
,
故集合中元素的个数是5个.
故答案为5.【点睛】本题考查集合的交集及其运算,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答,注意一元二次不等式的合理运用.12．已知实数满足不等式组 ，则的最大值为__________.【答案】【解析】试题分析：可行域为一个三角形ABC及其内部，其中，所以直线过点C时取最大值8.考点：线性规划【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.13．已知，且恒成立，则正数的取值范围是__________．【答案】【解析】 ，所以 点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.14．设实数满足约束条件，若，则的最小值是           ．【答案】-2【解析】试题分析：实数满足约束条件的区域如图所示，目标函数在点处取得最小值-2．考点：线性规划．15．已知集合A={x|-2≤x≤3}，B={y|y=x2+2}，则A∩B= ______ ．【答案】【解析】∵集合，，∴故答案为． 三、解答题16．设命题p：，，命题q：若命题为假命题，为真命题，求实数a的取值范围．【答案】或【解析】【分析】求出命题p，q为真命题的等价条件，结合复合命题真假关系进行求解即可．【详解】解：若：，，则判别式，得，由得，得，若命题为假命题，为真命题，则p，q一个为真命题，一个为假命题，若p真q假，则得，若p假q真，则得，综上或，即实数a的取值范围是或．【点睛】本题主要考查复合命题真假关系的应用，求出命题为真命题的等价条件是解决本题的关键注意要进行分类讨论．17．某渔业公司今年年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元.从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元.该船每年捕捞总收入50万元.(1)问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？(2)问捕捞几年后平均利润最大，最大是多少？【答案】（1）当捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元．（2）当捕捞7年后年平均利润最大，最大是12万元【解析】　试题分析：（1）先求出该船捕捞n年后的总盈利y的表达式，是关于n的二次函数，开口向下，在顶点处取得最大值；（2）先求出年平均利润的表达式，再用基本不等式求出最大值。试题解析：(1)设该船捕捞n年后的总盈利y万元．则y＝50n－98－[12×n＋×4]＝－2n2＋40n－98＝－2(n－10)2＋102∴当捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元．(2)年平均利润为＝－2(n＋－20)≤－2(2－20)＝12，当且仅当n＝，即n＝7时上式取等号．所以，当捕捞7年后年平均利润最大，最大是12万元．点睛：本题应用题，考查学生阅读理解能力和解决问题的能力，属于中档题。本题关键是读懂题意，列出表达式。18．在我校高二年段即将准备开展的数学竞赛活动中，规定评选一等奖和二等奖的人数之和不超过10人，一等奖人数比二等奖人数少2人或2人以上，一等奖人数不少于3人，且一等奖奖品价格为30元，二等奖奖品价格为20元，怎样合理安排可以使得本次活动购买奖品的费用最少？【答案】本次活动购买奖品的最小费用为190元.【解析】【分析】先根据条件列出线性约束条件，再根据条件画出可行域，根据目标函数画直线，找出最优解，求出最值．【详解】设一等奖人数为x，二等奖人数为y，本次活动购买奖品的费用为，目标函数为：，约束条件为画出满足条件的平面区域，联立，得设直线：，通过平移直线，易知z在点处取得最小值190，本次活动购买奖品的最小费用为190元．【点睛】本题考查的是线性规划问题，还考查了学生分析问题的能力和数学建模的能力已知两个变量间的关系，求它们的线性和最小，根据条件列出线性约束条件，再根据条件画出可行域，根据目标函数画直线，找出最优解，求出最值找最优解时注意斜率和倾斜角大小关系．19．已知函数.（1）若在上恒成立，求实数的取值范围；（2）若函数，求函数的值域.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【分析】（1）由参变量分离法得出在上恒成立，构造函数，考查该函数在的单调性，利用单调性得出，于此可得出实数的取值范围；（2）先得出，换元，将问题转化为求函数在上的值域问题求解，然后分、、三种情况讨论，可得出函数在上的值域，即为函数的值域.【详解】（1）当时，，由得，即，构造函数，其中，则，所以，函数在区间上为增函数，则，由于不等式在上恒成立，所以，，因此，实数的取值范围是；（2）由题意可得，令，则，其中.①当时，，该函数的值域为；②当时，由于二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，此时，函数在上单调递减，所以，，此时，该函数的值域为；③当时，由于二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，此时，该函数在上单调递减，在上单调递增，则，此时，该函数的值域为.综上所述：当时，函数的值域为；当时，函数的值域为.【点睛】本题考查不等式恒成立的问题，同时也考查了函数值域的求解，解题的关键就是利用换元法将函数的值域进行转化，考查化归与转化思想，属于中等题.20．已知函数，，，.（1）求集合（2）若，比较与的大小【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)计算出A集合,然后解出B集合,结合交集运算性质,即可.(2)将代入中，运用作差法，判定与0的关系，即可。【详解】（1）由，得，所以或故，又所以(2)由，得又，所以，即【点睛】本道题考查了集合的交集运算性质，考查了运用作差法比较大小，注意比较大小，运用作差法，所得结果与0的关系，即可。21．已知等差数列的公差，数列满足，集合.（1）若，求集合；（2）若，求使得集合恰好有两个元素；（3）若集合恰好有三个元素：，是不超过7的正整数，求的所有可能的值.【答案】（1）；（2）或；（3）【解析】【分析】（1）根据正弦函数周期性的特点，可知数列周期为，从而得到；（2）恰好有两个元素，可知或者，求解得到的取值；（3）依次讨论的情况，当时，均可得到符合题意的集合；当时，对于，均无法得到符合题意的集合，从而通过讨论可知.【详解】（1），    ，，，，，由周期性可知，以为周期进行循环（2），，恰好有两个元素或即或或（3）由恰好有个元素可知：当时，，集合，符合题意； 当时，，或因为为公差的等差数列，故    又，故当时，如图取，，符合条件  当时，，或因为为公差的等差数列，故    又，故当时，如图取，，符合条件当时，，或因为为公差的等差数列，故    又，故当时，如图取时，，符合条件当时，，或因为为公差的等差数列，故    又，故当时，因为对应个正弦值，故必有一个正弦值对应三个点，必然有，即，即，,不符合条件；当时，因为对应个正弦值，故必有一个正弦值对应三个点，必然有，即，即，不是整数，故不符合条件；  当时，因为对应个正弦值，故必有一个正弦值对应三个点，必然有或若，即，不是整数，若，即，不是整数，故不符合条件；综上：【点睛】本题考查三角函数、数列、函数周期性的综合应用问题.解题的难点在于能够周期，确定等量关系，从而得到的取值，再根据集合的元素个数，讨论可能的取值情况，通过特殊值确定满足条件的；对于无法取得特殊值的情况，找到不满足条件的具体原因.本题对于学生的综合应用能力要求较高，属于难题.22．（2015秋•昌平区期末）对于任意的n∈N*，记集合En={1，2，3，…，n}，Pn=．若集合A满足下列条件：①A⊆Pn；②∀x1，x2∈A，且x1≠x2，不存在k∈N*，使x1+x2=k2，则称A具有性质Ω．如当n=2时，E2={1，2}，P2=．∀x1，x2∈P2，且x1≠x2，不存在k∈N*，使x1+x2=k2，所以P2具有性质Ω．（Ⅰ）写出集合P3，P5中的元素个数，并判断P3是否具有性质Ω．（Ⅱ）证明：不存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使E15=A∪B．（Ⅲ）若存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使Pn=A∪B，求n的最大值．【答案】（Ⅰ）集合P3，P5中的元素个数分别为9，23，P3不具有性质Ω．（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）14【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知条件能求出集合P3，P5中的元素个数，并判断出P3不具有性质Ω．（Ⅱ）假设存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使E15=A∪B．其中E15={1，2，3，…，15}，从而1∈A∪B，由此推导出与A具有性质Ω矛盾．从而假设不成立，即不存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使E15=A∪B．（Ⅲ）当n≥15时，不存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使Pn=A∪B．n=14，根据b=1、b=4、b=9分类讨论，能求出n的最大值为14．解：（Ⅰ）∵对于任意的n∈N*，记集合En={1，2，3，…，n}，Pn=．∴集合P3，P5中的元素个数分别为9，23，∵集合A满足下列条件：①A⊆Pn；②∀x1，x2∈A，且x1≠x2，不存在k∈N*，使x1+x2=k2，则称A具有性质Ω，∴P3不具有性质Ω．证明：（Ⅱ）假设存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使E15=A∪B．其中E15={1，2，3，…，15}．因为1∈E15，所以1∈A∪B，不妨设1∈A．因为1+3=22，所以3∉A，3∈B．同理6∈A，10∈B，15∈A．因为1+15=42，这与A具有性质Ω矛盾．所以假设不成立，即不存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使E15=A∪B．…..（10分）解：（Ⅲ）因为当n≥15时，E15⊆Pn，由（Ⅱ）知，不存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使Pn=A∪B．若n=14，当b=1时，，取A1={1，2，4，6，9，11，13}，B1={3，5，7，8，10，12，14}，则A1，B1具有性质Ω，且A1∩B1=∅，使E14=A1∪B1．当b=4时，集合中除整数外，其余的数组成集合为，令，，则A2，B2具有性质Ω，且A2∩B2=∅，使．当b=9时，集中除整数外，其余的数组成集合，令，．则A3，B3具有性质Ω，且A3∩B3=∅，使．集合中的数均为无理数，它与P14中的任何其他数之和都不是整数，因此，令A=A1∪A2∪A3∪C，B=B1∪B2∪B3，则A∩B=∅，且P14=A∪B．综上，所求n的最大值为14．考点：元素与集合关系的判断；集合的含义．