2020届二轮复习平面向量教案（全国通用）
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1．向量的基本概念
(1)既有大小又有方向的量叫做向量．
(2)零向量的模为0，方向是任意的，记作0.
(3)长度等于1的向量叫单位向量．
(4)长度相等且方向相同的向量叫相等向量．
(5)方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共线向量．零向量和任一向量平行．
2．共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa.
3．平面向量基本定理
如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
4．两向量的夹角
已知两个非零向量a和b，在平面上任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作a与b的夹角．
5．向量的坐标表示及运算
(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a±b＝(x1±x2，y1±y2)，λa＝(λx1，λy1)．
(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)．
6．平面向量共线的坐标表示
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a与b共线．
7．平面向量的数量积
设θ为a与b的夹角．
(1)定义：a·b＝|a||b|cosθ.
(2)投影：＝|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影．
8．数量积的性质
(1)a⊥b⇔a·b＝0；
(2)当a与b同向时，a·b＝|a|·|b|；当a与b反向时，a·b＝－|a|·|b|；特别地，a·a＝|a|2；
(3)|a·b|≤|a|·|b|；
(4)cosθ＝.
9．数量积的坐标表示、模、夹角
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
(1)a·b＝x1x2＋y1y2；
(2)|a|＝；
(3)a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0；
(4)cosθ＝.
【误区警示】
1．两向量夹角的范围是[0，π]， a·b>0与〈a，b〉为锐角不等价；a·b<0与〈a，b〉为钝角不等价．
2．点共线和向量共线，直线平行与向量平行既有联系又有区别．
3．a在b方向上的投影为，而不是.
4．若a与b都是非零向量，则λa＋μb＝0⇔a与b共线，若a与b不共线，则λa＋μb＝0⇔λ＝μ＝0.
高频考点一 平面向量的概念及运算
例1．【2017课标1，理13】已知向量a，b的夹角为60°，|a|=2，|b|=1，则| a +2 b |= .
【答案】
【解析】利用如下图形，可以判断出的模长是以2为边长的菱形对角线的长度，
所以.
【变式探究】已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝________.
解析：基本法：∵a∥b，∴a＝λb
即(m,4)＝λ(3，－2)＝(3λ，－2λ)
∴故m＝－6.
速解法：根据向量平行的坐标运算求解：
∵a＝(m,4)，b＝(3，－2)，a∥b
∴m×(－2)－4×3＝0
∴－2m－12＝0，∴m＝－6.
答案：－6
【变式探究】(1)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝( )
A．(－7，－4) B．(7,4)
C．(－1,4) D．(1,4)
【举一反三】向量的三角形法则要保证各向量“首尾相接”；平行四边形法则要保证两向量“共起点”，结合几何法、代数法(坐标)求解．
(2)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝( )
A. B.
C. D.
解析：基本法一：设＝a，＝b，则＝－b＋a，＝－a＋b，从而＋＝＋＝(a＋b)＝，故选A.
基本法二：如图，＋＝＋＋＋＝＋＝(＋)
＝·2＝.
答案：A
高频考点二 平面向量数量积的计算与应用
例2．（2018年全国I卷理数）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则=
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】D
【解析】根据题意，过点（–2，0）且斜率为的直线方程为，与抛物线方程联立，消元整理得：，解得，又，所以，从而可以求得，故选D.
【变式探究】已知向量＝，＝，则∠ABC＝( )
A．30° B．45°
C．60° D．120°
解析：基本法：根据向量的夹角公式求解．
∵＝，＝，∴||＝1，||＝1，·＝×＋×＝，
∴cos∠ABC＝cos〈，〉＝＝.
∵0°≤〈，〉≤180°，∴∠ABC＝〈，〉＝30°.
速解法：如图，B为原点，则A
∴∠ABx＝60°，C∠CBx＝30°，∴∠ABC＝30°.
答案：A
【变式探究】(1)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
【举一反三】当向量以几何图形的形式(有向线段)出现时，其数量积的计算可利用定义法；当向量以坐标形式出现时，其数量积的计算用坐标法；如果建立坐标系，表示向量的有向线段可用坐标表示，计算向量较简单．
【考点定位】平面向量的应用、线性规划.
7. 【2014高考北京卷理第10题】已知向量、满足，，且（），则 .
【答案】
【解析】当，则，于是，因为，所以，
又因为，所以.
【考点定位】平面向量的模
8. 【2014高考湖北卷理第11题】设向量，，若，则实数 .
【答案】
【解析】
因为，，
因为，所以，解得.
【考点定位】平面向量的坐标运算、数量积
10. 【2014江西高考理第15题】已知单位向量与的夹角为，且，向量与的夹角为，则= .
【答案】
【解析】因为所以
【考点定位】向量数量积及夹角
11. 【2014辽宁高考理第5题】设是非零向量，已知命题P：若，，则；命题q：若，则，则下列命题中真命题是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知，命题P是假命题；命题q是真命题，故为真命题.
【考点定位】命题的真假
12. 【2014全国1高考理第15题】已知为圆上的三点，若，则与的夹角为_______．
【答案】．
【解析】由，故三点共线，且是线段中点，故是圆的直径，从而，因此与的夹角为
【考点定位】平面向量基本定理
13. 【2014全国2高考理第3题】设向量a,b满足|a+b|=，|a-b|=，则ab = ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 5
【答案】A
【解析】因为=10，，两式相加得：，所以，故选A.
【考点定位】本小题主要考查平面向量的模、平面向量的数量积等平面向量
14. 【2014高考安徽卷理第15题】已知两个不相等的非零向量两组向量和均由2个和3个排列而成.记，表示所有可能取值中的最小值.则下列命题的是_________（写出所有正确命题的编号）.
①有5个不同的值.
②若则与无关.
③若则与无关.
④若，则.
⑤若，则与的夹角为
，∴，∴，故⑤错误.所以正确的编号为②④
【考点定位】平面向量的运算、平面向量的数量积.
15. 【2014四川高考理第7题】平面向量，，（），且与的夹角等于与的夹角，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】 D.
【解析】 由题意得：，选D.
法二、由于OA，OB关于直线对称，故点C必在直线上，由此可得
【考点定位】向量的夹角及向量的坐标运算.
16. 【2014浙江高考理第8题】记，，设为平面向量，则（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】Ｄ
【解析】根据向量运算的几何意义，即三角形法则，可知与的大小不确定，由平行四边形法则及余弦定理可知，所对的角大于或等于，故，故选Ｄ
【考点定位】向量运算的几何意义.
17. 【2014重庆高考理第4题】已知向量，且，则实数=（ ）
D.
【答案】C
【解析】因为所以
又因为，所以，，所以，，解得：
故选C.
【考点定位】平面向量的坐标运算、平面向量的数量积.
19. 【2014大纲高考理第4题】若向量满足：则 （ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】B．
【解析】把①代入②得故选B．
【考点定位】1.向量垂直的充要条件；2. 平面向量的数量积运算．
20. 【2014高考陕西第18题】在直角坐标系中，已知点，点在三边围成的区域（含边界）上
（1）若，求；
（2）设，用表示，并求的最大值.
【答案】（1）；（2），1.
【解析】（1）因为
所以
即得
所以
（2）
即
两式相减得：
令，由图可知，当直线过点时，取得最大值1，故的最大值为1.
【考点定位】平面向量的线性运算、线性规划.学+科网
21.【2014高考上海理科第16题】如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则的不同值的个数为（ ）
（A）1 (B)2 (C)4 (D)8
【答案】A
【解析】如图，与上底面垂直，因此，
．
【考点定位】数量积的定义与几何意义．
22.【2014高考上海理科第14题】已知曲线C：，直线l：x=6.若对于点A（m，0）,存在C上的点P和l上的点Q使得，则m的取值范围为 .
【答案】
【解析】由知是的中点，设，则，由题意，，解得．
【考点定位】向量的坐标运算．
